高考平面向量及其应用专题及答案 百度文库
一、多选题
1．若a →，b →，c →
是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→
=，则a b →→
= B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→
= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→
D ．若a b a b →
→
→
→
+=-，则a b →→
⊥ 2．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0?=?=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ?=，则a b a b +=- 3．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3
π
，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）
A ．△ABC 的外接圆面积是493
π
； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；
C ．b ＋c 可能等于16；
D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大
值是
4．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）
A ．1122
AE AB AC →
→→
=+
B ．2AB EF →→
=
C ．1133
CP CA CB →→→
=+
D ．2233
CP CA CB →
→→
=+
5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=
D ．0PA PB PC ++=
6．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）
A B
C D ．7．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++
D ．AB AC BD CD -+-
8．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
A ．2OA OD ?=-
B ．2OB OH OE +=-
C ．AH HO BC BO ?=?
D ．AH 在AB 向量上的投影为2-
9．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ?=
B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-
C ．若//AB C
D ，则A ?B ?C ?D 四点共线；
D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ?=，则四边形ABCD 为菱形. 10．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-
C ．()13,4e =-，234,55??=-
???
e D ．()12,6=e ，()21,3=--e
11．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+?与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上
12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
13．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()
m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-
C ．若ma mb =，则a b =
D ．若()0ma na a =≠，则m n =
14．对于ABC ?，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ?为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若8a =，10c =，60B ?=，则符合条件的ABC ?有两个
D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?是钝角三角形 15．下列说法中错误的是( )
A ．向量A
B 与CD 是共线向量,则A ，B ，
C ，
D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =
D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
二、平面向量及其应用选择题
16．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x
上，线段AB 为圆C
的直径，则PA PB ?的最小值为（） A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
72
17．已知非零向量AB 与AC 满足
0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ?
??
且1
2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
18．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则
::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）
A ．1∶2∶3
B ．1∶2∶1
C ．2∶1∶1
D ．1∶1∶2
19．在ABC ?中，设2
2
2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
20．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．2
3BG BE = B ．2CG GF = C ．1
2
DG AG =
D ．0GA GB GC ++=
21．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
22．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =?，
3
cos 5
A =
，则b 等于（ ）
A ．
35
B ．
107
C ．
57
D ．
52
14
23．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若
()2
2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）
A ．
45
B ．45
-
C ．
1517
D ．1517
-
24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230
OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ?的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．不能确定
25．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
3
4
B ．
58
C ．38
D ．
2
3
26．题目文件丢失！
27．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －
12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1
2
b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
28．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ?等于（ ）
A ．3
16
- B ．
316 C ．
12
D ．12
-
29．ABC ?中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ?一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
30．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3
C π
∠=
，且
sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：
①2a b =
②ABC ?的面积为
3
③ABC ?的周长为4+
④ABC ?外接圆半径3
R =
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
31．在ABC ?中，60A ∠=?，1b =，ABC S ?，则2sin 2sin sin a b c
A B C
++=++（ ）
A B C D ．
32．已知ABC 中，1,30a b A ?===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
33．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点
C ，
D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）
A ．10,2?? ???
B ．10,3?? ???
C ．1,02??
-
??? D ．1,03??- ???
34．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a
B c
=，则ABC ?一定是（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
35．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60?，则2a b -=（ ）
A B ．3
C
D
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一、多选题
1．ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；
对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，
∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．
故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．
2．BD 【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都
解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0?=?=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ?=，则(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b
+=+=++?=
+，
(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b -=
-=+-?=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
3．ABD 【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】
对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；
对于B ，根据正弦定
解析：ABD 【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】
对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理
2sin a R A =，可得R =ABC 的外接圆面积是249
3
S R ππ==
，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为
2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．
对于C ，22(sin sin )2[sin sin(
)]3
b c R B C R B B π
+=+=+-
114(cos )14sin()23
B B B π=+=+
14b c ∴+≤，故C 错误．
对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得
11
sin 22
ad bc A =，即sin bc A
d a
=
，再根据①中的结论，可得d =D 正确．
【点睛】
本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．
4．AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心
解析：AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →
→
→
→
→→→→→
→=+=+=+-=+, A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的；
根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →
→→→→→????
==?+=+ ? ?????
，
所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.
5．CD
转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
解析：CD 【分析】
转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】
由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=
0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=
故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
6．AB 【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】
中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，
当时，由余弦定理得：， 解得，
当时，由余弦定理得：， 解得 所以或
解析：AB
在ABC 中，根据4a =，5b =，由1
sin 2
ABC
S
ab C =
=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC
S
=
所以1
sin 2
ABC
S
ab C =
=
所以sin 2
C =
，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =c =故选：AB 【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：
解析：BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；
对于选项D ：()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=
选项D 正确. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
8．AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．
对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于
解析：AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，
对于3:11cos
42
A OA OD π=??=；故正确． 对于:22
B OB OH OA OE +==-，故正确．
对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32
||cos ||42
AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
9．BD 【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】
解：对于A ，，故A 错误；
对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若
解析：BD
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】
解：对于A ，00a ?=，故A 错误； 对于B ，若a b ⊥，则0a b ?=，所以2222
||2a b a b a b a b +=
++?=+，
2222
||2a b a b a b a b -=+-?=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；
对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；
对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ?=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD 【点睛】
本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.
10．ACD 【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】
A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；
B 中，不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属
解析：ACD 【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】
A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；
B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
11．C 【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简；
对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A
解析：C
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+； 对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；
B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ?=?，得||||(1cos )0a b θ?-=， 则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；
C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C 【点睛】
本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.
12．ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得
解析：ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
13．ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，
解析：ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.
14．BD 【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，
对于A ，若，则或， 当A ＝
解析：BD 【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ?中，
对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，
当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2
A B π
+=
时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，
对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B
=，即sin sin A B >成立．故B 正确；
对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，
∴222
cos 02a b c C ab
+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ?是钝角三角形，故D 正确；
综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
15．AD 【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B
解析：AD 【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确； 若,a b b c ==，则a c =，故C 正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】
本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．B
【分析】
将PA PB ?转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ?的最小值. 【详解】
()()()()
PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ?=+?+=+?
-2
222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 17．C 【分析】
AB
AB 和AC
AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ??
?+?= ?
??表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1
2
AB AC AB
AC
?
=
可求出A ∠，即得三角形形状。 【详解】
由题的，∵0AB AC BC AB AC ??
?+?= ???
，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB
AC
?
=
，∴1cos 2A =，∴3
A π
=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。 18．B 【分析】
延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。 【详解】
延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得
::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.
故选：B 【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。 19．D 【分析】
根据已知条件可得()
2
2
2AC AB AC AB BC AM BC -=+?=?，整理可得
()
0BC MC MB ?+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线
上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】
()()()
2
2
2AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+?-=+?=?
()
20BC AC AB AM ∴?+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ??-+-=?+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME +=
20BC ME ∴?= BC ME ?⊥
ME ?为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ?的外心 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 20．C 【分析】
由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案． 【详解】
ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G
为重心，则23BG BE =，2CG GF =，1
2
DG GA =且0GA GB GC ++=
故选：C 【点睛】
本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题． 21．D 【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】
解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===，
解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，
所以：22A B =或21802A B =?-，解得：A B =或90A B +=? 所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D ． 【点评】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 22．C 【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出． 【详解】 解：
3
cos 5
A =，(0,180)A ∈??．
∴4sin 5
A =，
34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=
．
sin C ∴= 由正弦定理可得：
sin sin b c
B C
=，
∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23．D 【分析】
由2
2
()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：
1
sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可． 【详解】
解：22()S a b c +=+，
2222S b c a bc ∴=+-+，
∴
1
sin 2cos 22
bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=， 因为22sin cos 1A A +=． 解得15
cos 17
A =-
或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．
15cos 17
A ∴=-
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．C 【分析】
根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】
由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ?的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ?的重心， 所以点O 既是123PP P ?的外心，又是123PP P ?的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】
本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 25．A 【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得
()21
13
m AP AB m AD +=
+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以11
33
DF DC AB ==， 所以()21
13
m AP AB m AD +=
+-.
因为E是BC的中点，
所以
11
22 AE AB BC
AB AD
=+=+.
因为AP AE
λ
=，
所以()
211
1
32
m
AB m AD AB AD
λ
+??
+-=+
?
??
，
则
21
3
1
1
2
m
m
λ
λ
+
?
=
??
?
?-=
??
，
解得
3
4
λ=.
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 26．无
27．D
【分析】
本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】
①如图可知AD＝AC＋CD＝AC＋
1
2
CB＝－CA－
1
2
BC
＝－b－
1
2
a，故①正确．
②BE＝BC＋CE＝BC＋
1
2
CA
＝a＋
1
2
b，故②正确．
③CF＝CA＋AE＝CA＋
1
2
AB＝b＋
1
2
(－a－b)
＝－
1
2
a＋
1
2
b，故③正确．