微分方程练习及答案

第四章 微分方程练习题

一、选择题（每小题6分，24分） 1.方程0)1(2

='--y x y x 的通解是（ ） （A ）2

1x C y -=（B ）2

1x C y -=

（C ）22

1x Cxe

y -=（D ）

C x x y +-=22

1

2.微分方程''-'=y yy 203

满足条件'=-=y y (),()0101的解是（ ）

（A ）y x 3313=+ （B ）x y 331=-（C ）y x 331

3=-+ （D ）x y 3

3

1=-+ 3.设二阶常系数线性齐次方程021=+'+''y p y p y 的特征方程有两个相等的

实根21r r =，则此方程的通解是（ ） （A ）x r x

r xe c e

c 1221+ （B ）x r e x c x c 1)(221+（C ）)sin cos (12112x r c x r c e x r + （D ）x r c 2

4..微分方程x

xe y y y 265=+'-''的一个特解应具有形式为 ( ) (c b a ,,为常数) (A))(2c bx ae

x

++ (B)x e b ax 2)(+ (C)x e b ax x 22)(+ (D)x e b ax x 2)(+

二、填空题（每小题6分，共24分） 1.

03)(233=-+dy xy dx y x 的通解y = .

2.0742

2=++y dx dy

dx

y d 的通解y = . 3.以x y sin 1=，x y cos 2=为特解的最低阶常系数齐次线性方程是 _____ 4.微分方程微分方程'=+-y y x x cos sin 的通解是 _________________ 三、解答下列各题（每小题13分，52分）

1.求微分方程满足初始条件的解： ''-'-=='=???y y y y y 20

0105

(),()

2. 求微分方程112+''=x y 的通解.

3. 求微分方程x

e y y y =+'-''34的通解.

4. 求微分方程

x

y

x y dx dy tan +=的通解.

第十二章 微分方程 知识点列表

测试题C 参考答案及评分标准

一、1.C 解：原方程分离变量整理得：

dx x x

y dy )1

(-= 两端积分得 12

2

1ln ln C x x y +-= 故

1

22

1ln c x x

e e

e y -= 即22

1x Cxe

y -=

2.C 解：令p y =' 则dy dp p dx dp y ==

''，原方程变为：023=-yp dy

dp

p 当0≠p 时，分离变量得：

ydy p

dp 22

= 两端积分得：C y p +=-2

1 将'=-=y y (),()0101代入得 C=0 ,从而21y p =-

或21

y

y -=' 得C x y +-=331 又1)0(=y 得C=3

1

，故方程的解为y x 3313=-+ 3.A 解：见课本304页表格。

4.D 解：所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且

.2,)()(==λλx p e x p x f m x m 型，且是

与所给方程对应的齐次方程为：065=+'-''y y y 它的特征方程为0

652

=+-r r 有两个实根.3,221==r r 由于2=λ是特征方程的单根，所以特解应设为：

=*y x e b ax x 2)(+

二、1. Cx y x =-3

3

2

解：原方程改写成：33

)

(3)(1x

y x y dx dy += 令dx du x u dx dy u x y +==则, 方程化为dx x du u u 121332=- 积分得2

3

12x

C u -=，将u x y =代入， 得Cx y x =-3

32

2. )3sin 3cos (212x C x C e x

+-

解：由题意知，特征方程为0742

=++r r 解得：i r i

r 323221--=+-= 从而

方程的通解为=y )3sin 3cos (212x C x C e x

+-

3.0=+''y y

解：由题意知，i i -,为特征方程的根，故特征方程可设为012

=+r

从而最简线性齐次方程为0=+''y y 4. x Ce x

sin +

解：原方程写成'-=-y y x x cos sin 是一阶线性微分方程，可得通解为

{}

x Ce x e x x C e y x x x sin d )sin (cos +=-+=?-

三、1.解：特征方程为

022=--λλ，特征根为1,221-==λλ ………4分

通解为： x x

e C e

C y -+=221

……..…8分

又5)0(;1)0(='=y y 即：???=-=+5

21

2121C C C C

解得：1,

221-==C C

…………….12分

故原问题的解为：x x

e e

y --=22

…………….13分

2. 解：'=+++y x x C ln()121 ………………………………………………………5分

y x x x x x

x C x C =++-+++?

ln()d 1122

12……………………………11分

21221)1ln(C x C x x x x +++-++=……………………………………16分

3.解： 特征方程0342

=+-r r 的根为：11=r ，32=r ………4分

对应齐次方程通解为

x x c e C e C y 321+=

……………7分

设特解为x

p Axe y =代入方程得

x p e x

y 2

-=过且过

……………10 分

所求通解为

x

x x p c xe e C e C y y y 21321-

+=+=

……………13分 4. 解：这是齐次方程，以u x

y

=及u dx du x dx dy +=代入，…………2分

则原方程变为u u u dx du x tan +=+，即x

u

dx du tan =

…………………4分 将上式变量分离，得x

dx

udu =cot ，…………………6分

两边积分得cx u =sin ，此外方程还有解0tan =u 及0sin =u

若要cx u =sin 允许0=c ，则0sin =u 包含在其中，…………9分

故原方程的通解是cx x

y

=sin C 为任意的常数.

…………………11分