分形几何
《分形几何》课程学习报告
一、课程认识
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal一开始就定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。
该课程是非常重要的一门课程，虽然本课程在博士阶段学时设置较少，但是它在博士各专业研究领域内的应用非常广泛和重要，是一门前沿学科，要想掌握并灵活应用是要下一凡功夫的。结合分形几何在个人研究领域的应用，通过查阅资料及文献，与大家分享对该课程的一些认识，以与大家共勉。
1.分形几何的产生
客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺分形几何度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多多尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。
在二十世纪七十年代，法国数学家芒德勃罗(B.B.Mandelbrot)在他的著作中探讨了“英国的海岸线有多长”这个问题。这依赖于测量时所使用的尺度。
如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自
然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。
数学家柯赫(Koch)从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“Koch岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。
这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。
2.分形几何的内容
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
3.关于维数及测量
维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。
当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含
平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值呢？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。
对于我们上面提到的Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714...
定义设分成的最小的闭集(区间，圆面，球体)占全集的1/δ，充满全集的最小闭集的个数为N，若极限D=(δ→0)ln(N)/ln(1/δ)存在，则称D为此集合的分形维数。
4.分形几可的应用
分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。
在某些电化学反应中，电极附近沉积的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。
自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。
有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。
近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。
二、在本专业研究领域的应用与研究-故障方法提取
1 .概述
将分形理论运用到信号特征提取是一个有益的尝试，它拓宽了故障诊断领域的视野，从再现事物原貌的角度给人以启迪。从思维与方法方面为工程领域提供了一个新的角度。本研究从工程应用角度阐明了动力系统维数概念，推广了无标度域理论，系统阐述了信号的分形分析方法，并形成了设备故障诊断闭环监控模式，如图
1所示。
2. 信号有效分析区间确定
信号的有效分析区间的确定是准确把握信号特征、提高信号分析效率的关键。信号的有效分析区间包括信号分析的触发值以及信号分析的长度。触发值的选取应结合信号自身的特点，以获取尽可能包含特征信号的有效信号为原则。确定方法是对连续采样的信号进行离线统计分析，求解出不同时刻的正常背景噪声的最大值作为参考，最终以一个略大于此参考的取值作为信号分析的门坎值，即信号的触发值。下面着重介绍基于Hurst指数H确定信号有效分析长度的方法。
（1）确定研究对象
设为一离散时间序列，则时间序列增量的绝对值
式中h为时间间隔；N为时间序列的长度；TS(h)即为研究对象。
（2）选取时间间隔h
可选h=1，2,……,N-1。
（3）确定序列长度的实验值
N的取值原则: N<100时，N值对H的影响较大，可较密间隔地选取N值；N>100时，N值对H的影响较小，H值趋于平稳，N值的间隔可适当增大，一般取间隔为100个点 N的个数选取原则上，N的取值越多，得出的结论越精确；事实上，Ⅳ的取值数目应考虑实际分析效率。
（4）计算时间序列增量的均值
（5）计算H的值
对于得出的(h，E[TS(h)])，h=1，2，.....N-1，计算出相应的(1nh，lnE[TS(h)])，进行最小二乘直线拟合，拟合直线的斜率即为H值。
3 随机分形无标度域的理论改进及算法流程
对于机械设备而言，在不同工作状况下发出的声信号很大程度上反映出设备的运行状态，由于现场工况的复杂性，从声信号中准确提取出故障信号难度较大，分析故障信号的波形，不难发现其波形的轮廓与其它类信号有较大的差别。在实际应用中，运用分形几何定量描述复杂对象时，都需要找出实验曲线的无标度域，过去常用的方法是先做出实验曲线lnr--lnN(r)图形或lns一lnN(s)图形，然后凭肉眼观察并找出线性关系好的一段(即直线部分)作相关函数检验，若检验能够通过，就将该段作为无标度区域。经长期使用该方法后，发现它虽然在总体上是正确的，但却存在如下缺点：测量尺度的范围不确定；无标度域的选择缺乏客观标准；无标度域较窄且无明确边界，肉眼很难精确定出无标度域的上下限。由于相关函数检验标准较松，所以一些线性关系不太好的点也能通过检验。
鉴于上述原因，对传统的无标度域识别方法作了改进，形成了一套较为实用而严格的理论，并已用 C语言在微机上实现了该算法，下面作简单介绍：（1）改进的基本思想
实际系统的尺度变换受最大尺度和最小尺度所限，尺度之外的部分与所研究系统性质无关联。这两种尺度之间存在分形的实验曲线点的分布集中予三条线段构成的折线附近，中间一段即为无标度域。使用最小二乘直线拟合法，用三直线段拟合实验曲线，使得总体误差达到最小。
（2）分析步骤
确定研究对象：
设一离散时间序列为所研究的对象。
实验曲线的绘制：
①关联函数C(r)的提出
}中，任意两点的距离小于给定尺度r的点在关联函数C(r)是指在时间序列{v
i
所有点中占的比例，即
式中为时间序列中两点的距离小于给定尺度r的数目。
②测量尺度y的范围确定
对于具体的研究对象，测量尺度的取值范围为:
依次在r的范围内等间隔地取n个值，得测量尺度r的取值点。定义r的一般形式如下:
(5)
式中k为标度因子。对于不同的时间序列，标度因子k有以下选择原则：当时间序列变化平稳时，可令k>n，一般选k=2n；当时间序列变化不规则时，可令k=n n。
(3)关联函数C(r)的值域确定
对应每一个r，由式(3)计算出相应的C(r)，即得关联函数的值域。
(4)绘制实验曲线
以lnr为横坐标，lnC(r)为纵坐标依次描点、连线，所得的双对数曲线即为无标度域的实验曲线。
三、参考文献
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