计算机控制技术chap7-广东工业大学机电工程学院

广东工业大学机电工程学院机电教研室

《计算机控制技术》

讲义

（第七章）

=========2006－2007学年=========

授课单元13：25-26节

第7章计算机控制系统的直接设计方法

7.1 最少拍控制器设计方法

7.1.1控制量不加规定的最少拍控制器设计方法

本授课单元教学目标或要求

?了解连续域-离散化设计的基本原理

?掌握后向差分法和前向差分法的基本方法和计算过程

教学重点

?控制量不加规定的最少拍控制器设计方法

教学难点

?控制量不加规定的最少拍控制器设计方法

基本内容

第7章：计算机控制系统的直接设计方法

计算机控制系统设计通常是指：在已经确定的反馈控制系统结构情况下，按照所要求的系统性能指标和被控对象特性和数学模型，设计出数字控制器使控制系统达到预先要求的性能指标。

实际上我们所讲的计算机控制系统设计，是指数字控制器的设计，而并不涉及计算机控制系统的全部工程设计内容。

数字控制器的设计方法可以分为模拟化设计法和直接数字设计法。

模拟化设计法先将数字控制器看做是模拟控制器。采用连续系统设计的方法，首先设计模拟控制系统的模拟控制器，使模拟控制系统满足性能指标要求。然后，采用离散化的方法将设计好的模拟控制器离散化成数字控制器，最后构成数字控制系统。

这种方法对习惯于模拟控制系统设计的人来说比较容易理解和接受，但这种方法当采样周期较大时，系统实际达到的性能往往比预计的设计指标差。

直接数字设计法则首先将系统中被控对象加上保持器一起构成的广义对象离散化，得到相应的以脉冲传递函数、差分方程或离散系统状态方程表示的离散系统模型，然后利用离散控制系统理论，直接设计数字控制器。

由于直接设计法直接在离散系统的范畴内进行，避免了由模拟控制器向数字控制器转化，也绕过了采样周期对系统动态性能产生严重影响的问题，是目前采用较为广泛的计算机控制系统设计方法。

数字控制器的直接分析设计方法，可分为两大类：

1．快速系统离散域直接设计

所设计出来的控制器，当系统收到特殊类型输入作用时，在有限采样周期内，可以使误差趋于零。一个采样周期称为一拍，常把快速系统称之为最少拍系统。其性能指标：

1）．系统稳定；

2）．对某确定的典型输入信号，稳态误差等于零。

a．要求在采样点上稳态误差等于零，采样点之间误差不为零；

b．采样点和采样点之间误差均为零。

2．慢速系统离散域直接设计

所谓慢速系统一般是指被控对象具有大惯性、长滞后的性质。

7.1 最少拍控制器设计方法

首先我们从最简单的系统设计开始。

本节介绍的最少拍数字控制器设计方法是针对被控对象脉冲传递函数是稳定的，且输入为单位阶跃函数的情况。从设计结果可以看出，这个属于最少拍无纹波。

根据数字控制器的输出序列中的第一个值，即控制量的初值(0)u ，是否认为地加以规定，分两种情况，一是控制量的初值(0)u 不加规定；二是控制量的初值(0)u 加以规定。 7.1.1 控制量初值不加规定的最少拍数字控制器设计

如图所示。

*

(s)

离散域直接设计法就是首先将()G s 离散化，写出它的脉冲传递函数()[()]G

z Z G s =，则由该图得到下图。

在这种情况下，直接设计()D z 。 1．被控对象不含纯延迟环节

对于单位阶跃输入信号，()1()1

0,1,2,r k k k ===

通常，()p G s 不含有延迟环节时，离散后，()G z 的一般形式为

12112121

12()

()1()

n n n n b z b z b z B z G z a z a z a z A z --------+++==++++ 经过最少拍过渡时间，系统达到稳态，要求系数输出

()()1()()

c k r k k n

u k u n k n

==≥??

=≥? 系统输入、输出和控制量的z 变换为

112(1)

12(1)

1()1()(1)(2)1()(0)(1)(2)()n n n n R z z C z c z c z z z U z u u z u z u n z z -----+----+?

=?-????=+++++???

???=++++++??

?

??

上述式子说明，对于n 阶系统来说，经过n 个采样周期后，系统的输出()c k 等于()r k ，且等于1。控制

量()u k 经过n 个采样周期后保持为常数。

由上述三个式子，可以得出，闭环脉冲传递函数为

{}

(){

}

[][]121212(1)

1

12(1)

23(1)(2)

12()

()()

(1)(2)11(1)(2)1(1)(2)1(1)(2)(1)1(1)n

n n n n n n n n

C z z z z z R z c z c z z z z c z c z z z c z c z z z c z c c z c n z ???-------+-----+---+-+---Φ=

=+++??=+++++-?

?

??=++

+++??

??-++

+++?

?

=+-+

+--

因此，我们得到

12

(1)

(2)(1)1(1)

n c c c c n ???=??=-??

??=--? 同时，

{}

(){

}

[]1201212(1)

1

12(1)123(1)(2)

()

()()

(0)(1)(2)()1(0)(1)(2)()(0)(1)(2)()(0)(1)(0)n

n n n n n n n U z Q z q q z q z q z R z u u z u z u n z z z u u z u z u n z z u z u z u z u n z z u u u z -------+-----+----+-+-=

=++++??=++++++-??

??=+++

+++?

?

??-+++

+++?

?

=+-[][]12(2)(1)()(1)n

u u z u n u n z --+-+

+--

因此，我们得到

01

(0)

(1)(0)()(1)

n q u q u c q u n u n =??=-??

??=--? 有上述关系，可以得到

12011()

n n q q q u n ???+++=??

++

+=?

由图可以看出

()()()

()()1()()C z D z G z z R z D z G z Φ=

=+ ()()()

()1()()()e E z R z C z z z R z R z -Φ===-Φ

()()

()()()

C z z G z U z Q z Φ==

因此，

1201212121()()

()()1()1()1n n n

n q q z q z q z z Q z D z G z z z z z z

???------++++Φ===-Φ-Φ---- 可以看出，只要求出系数?和q ，即可得到()D z 表达式。

由()()

()()()

C z z G z U z Q z Φ=

=

得 12121212121212012121

2

000

121200

()

()()11n n n

n n

n n

n n

n

n n b z b z b z z G z Q z a z a z a z z z z q q z q z q z z z z q q q q q q

z z z q q q ??????------------------+++Φ==

++++++

+=

+++++

+

+

=

++++

对比系数得到

110110

2202200

n n n n q a q b q q a q b q q a q b q ???==??==????==?

由1201

1n

n i i q b ???=++

+==∑得，01

1

n

i

i q b

==

∑

因此，计算出0q ，即可求得数字控制器()D z 。

0(0)q u =为控制器输出的初值，取决于被控对象b 参数之和。

()

()121012011200121()()

()1()1()

1n n n n q a z a z a z q A z Q z D z z q B z q b z b z b z --------++++==

=-Φ--++

+ 而12112121

12()

()1()

n n n n b z b z b z B z G z a z a z a z A z --------+++==++++ 从这里可以看出，()D z 的分子中含有1()A z -，补偿()G z 的分母1()A z -。这样完全补偿，是假定被

控对象脉冲传递函数的所有极点都位于单位圆内部。只能用于稳定对象。因为假定极点补偿有一点偏移

11011111001111111

010*********()()1()()()()()()

()()()1()()()()()()11()()

()()()

q A z B z q B z A z q A z B z D z G z z q A z B z D z G z A z q B z A z A z q B z A z q A z B z A z ------------------Φ===-??+-??--≈

则闭环系统的特征方程约为被控对象的特征方程，这样，如果被控对象本身是不稳定的，则闭环控制系统也是不稳定的或者要到很久才能使误差等于零。

这样一来，有

12121212()

()()

n n n

n

n n

z z C z z z z z

R z z

??????-----++

+Φ==++

+=

特征方程为

1()()0n D z G z z +==

2．被控对象具有延迟的性质

对于具有延迟性质的被控对象，其传递函数可以写成如下形式：

1211212112()()1()

n d

d n n n b z b z b z B z G z z z a z a z a z A z ----------+++==++++

式中d 为延迟拍数。

要求系统性能达到

()()1()()

c k r k k n d

u k u n k n

==≥+??

=≥?

同样推理得

()1212()

()()n d n C z z z z z z R z ???----Φ=

=+++ 12012()()()n n U z Q z q q z q z q z R z ---==++++

01

1(0)n i i q u b ===∑

控制器脉冲传递函数为

()()120121*********()

()1()1()1()n n n d

n d

q a z a z a z Q z D z z q b z b z b z z q A z q B z z ----------++++==

-Φ-+++=

-

例：已知某闭环控制系统框图如图所示，采样周期4T s =，被控对象脉冲传递函数为

1231

123

0.065250.047930.00750()1 1.498630.704090.09978z z z G z z z z z

-------+-=-+- 针对单位阶跃输入，设计最少拍数字控制器()D z 。控制器输出()u k 不加限制。

解：

2341

123

1234

1234

1234123412312340.065250.047930.00750()1 1.498630.704090.0997800.065250.047930.007501 1.498630.704090.0997801z z z G z z

z z z z z z z z z z z b z b z b z b z a z a z a z a z ----------------------+-=-+-?++-=-+-+?+++=

++++4

- 因此，有

112233440

1.498630.065250.704090.047930.099780.00750

b a b a b a b a ==-??==??

==-??=-=?

对于单位阶跃输入来说，1

1

()1R z z -=

-，由()G z 表达式可知，被控对象为n ＝4得系统，在阶跃输的

情况下，经过4拍系统输出达到稳态。因此，令

12345()(1)(2)(3)1C z c z c z c z z z -----??=+++++?

? 12345

()(0)(1)(2)(3)(4)U z u u z u z u z u z z -----??=++++++

??

令

[][][]1234

12341234

()

()()

(1)(2)(1)(3)(2)1(3)C z z z z z z R z c z c c z c c z c z ????--------Φ=

=+++=+-+-+-

得1234(1)

(2)(1)(3)(2)1(3)

c c c c c c ????=??=-??=-??=-?

同时，

[][][][]1234

012341234

()

()()

(0)(1)(0)(2)(1)(3)(2)(4)(3)U z Q z q q z q z q z q z R z u u u z u u z u u z u u z --------=

=++++=+-+-+-+-

得01234(0)

(1)(0)(2)(1)(3)(2)(4)(3)

q u q u c q u u q u u q u u =??=-??

=-??=-??=-? 所以123401341(4)

q q q q u ????+++=??+++=?

由()()

()()()

C z z G z U z Q z Φ==得 123412341234

12341234

12341234

012341234

3

1

2

4

0000

1234

31240000

()

()()11b z b z b z b z z G z Q z a z a z a z a z z z z z q q z q z q z q z z z z z q q q q q q q q

z z z z q q q q ????????------------------------+++Φ==

+++++++=

+++++

+

+

=

++++

对比系数得到

110

110

220220

330330440

440

q a q b q q a q b q q a q b q q a q b q ????==??==??

==??==?

故，04

1

1

1

(0)9.462500.065250.047930.00750

i

i q u b

==

==

=++-∑

因此，112

2334414.18080

6.66250.6174

0.99420.45350

0.0710

q q q q ????=-=??==??

=-=??==-?

故

2

3

41

2

3

()0.61740.45350.0710()9.462514.1808 6.6625

0.9942

z z z z Q z z z z ------Φ=+

-=-+-

由图得 12

3234

4()9.462514.1808 6.66250.9942

()1()10.61740.45350.0710Q z z z z D z z z z z ?-------+-==

-Φ--+ 由此得

()234123451

()()()0.61740.45350.071010.6174 1.0710 1.000 1.000C z z R z z z z z z z z z --------=Φ=+--=+++

+

()123112341()()()9.462514.1808 6.66250.994219.4625 4.7183 1.9442 1.0000 1.0000U z Q z R z z z z z z z z z --------==-+--=-+++

+

图形见教材P168页的图7.4。 另解

1231

123

123

1231234

12340.065250.047930.00750()1 1.498630.704090.099781d

z z z G z z z z z

b z b z b z

z a z a z a z a z

---------------+-=-+-++=++++ 对比参数得1230.06525,0.04793,0.00750

1

b b b d ===-=

则03

1

1

1

(0)9.46250.065250.047930.00750

i

i q u b

==

==

=+-∑

故

()()()

()12012120121231

2

3

1

12321()

()1()19.46251 1.498630.704090.0997819.46250.065250.047930.007509.462514.1808 6.66250.994210.61740n n n d

n q a z a z a z Q z D z z q b z b z b z z z z z z z z

z

z z z z ------------------++++==

-Φ-+++-+-=

-+--+-=

--34

4.45350.0710z z ?--+

同样可以求得()C z 和()U z 。

作业：7.1

授课单元18：33-34节

第7章 计算机控制系统的直接设计方法 7.2 最少拍数字控制器的一般设计方法 7.2.1最少拍有纹波系统确定闭环脉冲传递函数的一般方法 本授课单元教学目标或要求

? 掌握和理解选择系统闭环传递函数所必需满足的约束条件

? 掌握最少拍有纹波的设计方法 教学重点

? 系统的稳定性条件和准确性条件 教学难点

? 掌握最少拍有纹波的设计方法 基本内容

第7章：计算机控制系统的直接设计方法 7.2 最少拍数字控制器的一般设计方法

7.2.1 最少拍有纹波系统确定闭环脉冲传递函数的一般方法

以下图为例来讲解。

系统的闭环脉冲传递函数为

()()()

()()1()()C z D z G z z R z D z G z Φ=

=+ ()()()

()1()()()

e E z R z C z z z R z R z -Φ===-Φ

因此，1()

()()1()z D z G z z Φ=-Φ

若()G z 已知，并根据性能指标要求确定()z Φ，则数字控制器就可以唯一确定。()D z 的设计可以归纳为如下几步：

1） 根据控制系统的性能指标及其他约束条件，确定出所需要的闭环脉冲传递函数()z Φ； 2） 根据上式确定计算机控制器的脉冲传递函数()D z ；

3） 根据()D z ，编制控制算法程序。

选取不同的闭环脉冲传递函数，()D z 也不同，但所选的()z Φ，必须使D(z)满足：

1)

()D z 是物理可实现的，即必须符合因果律。

2) ()D z 是稳定的，即D(z)的零、极点的分布必须满足稳定条件。

由此可以看出，()()D z G z 总是同时出现。但它们的零极点不允许相互抵销。因为当用()D z 的零点去抵消()G z 中的不稳定极点，理论上可以得到一个稳定的闭环系统。但是，建立在一个绝对的基础上，当系统参数产生漂移或辨识的参数有误差是时，可能引起闭环系统的不稳定。

显然，直接设计法的关键在于选择闭环脉冲传递函数()z Φ，下面讨论其选择的一般原则。

1．稳定性

广义被控对象的脉冲传递函数一般可以表示为：

1

'1

01

1

(1)1()()()(1)

u

m

i

Ts

i v

j

j z

b z

e

G z Z G s G z s

a z

---=-=-??-==

?

???

-∏∏

式中，设()G z 有u 个零点及v 个极点在z 平面的单位圆外或圆上，'()G z 是()G z 中其余的零极点。

数字控制器()D z 的脉冲传递函数为

1

11'1

(1)

1()

()

()()1()

1()

(1)()

v

j

j u m i i a z

z z D z G z z z z b z G z -=--=-ΦΦ=

=

-Φ-Φ-∏∏

为了避免使()G z 在单位圆外和圆内的零极点与数字控制器()D z 对消，同时又能实现对系统的补偿，选择系统的闭环传递函数时必须满足如下条件。

1） 对于1()z -Φ [ 即()e z Φ ] 的零点表达式中，包含()G z 在Z 平面单位圆外或单位圆上的所有极点。

1()z -Φ的零点并不影响其稳定性，又可以与()G z 中的不稳定极点相互抵消，使得输出信号稳定。这里

要注意的是，z ＝1这个点不算作单位圆上的极点。

1111()(1)()v j j z a z F z -=??

-Φ=-????

∏

式中，1()F z 为z -1

的多项式，且不包含不稳定极点j a 。它相当于v 个方程

()1,

1,2,

,j a j v Φ==

2） 对于()z Φ的零点表达式中，包含()G z 在Z 平面单位圆外或单位圆上的所有零点。()z Φ的零点并不影响其稳定性，又可以与()G z 中的不稳定零点相互抵消，使得数字控制器输出信号稳定。

121()(1)()u i i z b z F z -=??

Φ=-????

∏

式中，2()F z 为z -1的多项式，且不包含不稳定零点i b 。

2．准确性

所谓准确性就是系统在典型输入的作用下，稳态误差为零。

()()()

()1()()()

e E z R z C z z z R z R z -Φ=

==-Φ 则[]()1()()E z z R z =-Φ 为求得其稳态误差，根据Z 变换的终值定理，系统的稳态误差为：

[]111

1

lim ()lim(1)()lim(1)1()()ss t z z e e kT z E z z z R z --→∞

→→==-=--Φ

一般情况下，控制系统常用的典型输入信号及其z 变换为 单位阶跃输入函数时：

-11()1(),()-11-z r t t R z z z ==

=

单位速度输入函数时：

-1

2

-12(),()(-1)(1-)Tz Tz r t t R z z z ===

单位加速度输入函数：

22-12

3

-13(1)(1)

()/2,()2(-1)2(1-)T z z T z r t t R z z z ++===

所有信号有共同的表达形式：1()

()(1)q

A z R z z -=-。对于阶跃、速度、加速度输入信号来说，q 分别为1，

2和3。为使系统在()R z 作用下稳态误差为零，则必须要求

13()1()(1)()q E z z z F z -Φ=-Φ=-

式中，3()F z 是不含1(1)z --因子的关于z -1的多项式。这个式子等价于下面的q 个方程

'

(1)(1)1(1)0

(1)0q -Φ=??Φ=??

?

?Φ=?

3. 根据()D z 的物理可实现性

由()D z 的表达式可见，为了使()D z 中不会出现超前环节，有三个等价条件： a. ()D z 的分子关于z -1的多项式的最低次幂，不小于分子关于z -1的多项式的最低次幂 b. ()D z 的分子关于z 的多项式的最高次幂，不大于分母关于z 的多项式的最高次幂 c. ()D z 的幂级数展开式中，不出现z 的正幂次项 举例：

-10112

12...

()...

b b z D z a z a z --++=++，则物理不可实现 则分子z -1的最低次幂为0，分母最低次幂为1

1

11'1

(1)

1()

()

()()1()

1()

(1)()

v

j

j u m i i a z

z z D z G z z z z b z G z -=--=-ΦΦ==

-Φ-Φ-∏∏

所以，()z Φ必须包含()G z 中全部延迟因子z -m ，即

4()()m z z F z -Φ=

4．快速性

系统的快速性是指系统在输入信号的作用下，系统输出以最快速度达到稳定，也即误差()e kT 达到恒定或趋于零所需要的时间尽量最短。根据Z 变换的定义：

120()()(0)()(2)...()...

k k k E z e kT z e e T z e T z e kT z ∞

----===+++++∑

快速性指当K ≥N 时，()e kT 为恒定值或等于零。N 为尽可能小的正整数。

1()()

() ()()()()()(1)

E E E q

E z A z z E z z R z z R z z -Φ=

=Φ=Φ- 在特定的输入作用下，为了使()E z 是尽可能少的有限项。必须合理地选择()e z Φ。

若选择

15()(1)(),p E z z F z p q -Φ=-≥

5()F z 是不含1(1)z --因子的关于z -1的多项式。则15()(1)()()p q E z z F z A z --=-，可使()E z 是尽可

能少的有限项，这也被称为有限多项式控制模型，这个有点等同于准确性。

综合考虑上述分析，()z Φ必须选择为：

1

1

(1)0111

()(1)u

m

q v i

q v i z z

b z

z z ???----+-+-=??Φ=-+++??∏

式中，

m ——广义对象延迟拍数；

i b ——()G z 在Z 平面单位圆外或圆上的零点；

u ——()G z 在Z 平面单位圆外或圆上的零点数； v ——()G z 在Z 平面单位圆外或圆上的极点数；

q 值的确定方法：当典型输入为单位阶跃、单位速度、单位加速度时，分别为1、2、3。由此可以看出，()z Φ表达式中，有q v +个待定量，需要q v +个方程。系数?的求取方法：

'

(1)(1)1(1)0(1)0()1,1,2,

,q j a j v

-?Φ=?Φ=???

?Φ=??Φ==?

这里，j a ——()G z 在Z 平面单位圆外或圆上的非重极点；v ——()G z 在Z 平面单位圆外或圆上的非重极点个数。

但是，假如()G z 有单位圆上的极点时，1j a =，因此，()z Φ中待定系数法数目小于q v +个。这相当于稳定性与准确性存在一致的要求。通过下面例子来看看如何解决。

例 设系统结构如图所示，对象传递函数为()(1)p m K

G s s T s =+，已知10,0.025m K T T s ===，针对输入为

单位速度信号，试按最少拍有纹波设计D(z)，画出数字控制器和系统的输出波形。

解：广义对象的脉冲传递函数为

1

12

1111()()(1)10

(1)(0.0251)0.092(10.718)(1)(10.368)

p G s G z z Z s z Z s s z z z z ------??

=-??

????=-??

+??

+=

-- 由()G z 可以看出，没有单位圆上或外的零点，u ＝0，单位圆上的极点数为v ＝0，极点为z ＝1，延迟拍数为m ＝1。输入为等速度函数，因此，q ＝2。

()1101()z z z ??--Φ=+

对于等速度输入，有

'

(1)1

(1)0Φ=??Φ=?

因此，012,1??==-

故12

()2z z z --Φ=-，所以

-1-1-1-1

()21.7(10.5)(10.368)

()()()(1)(10.718)

e z z z D z G z z z z Φ--==Φ-+ 系统的输出为

11

2

23

12

()()()(2)23...(1-)

Tz C z z R z z z Tz Tz z ------=Φ=-=+++ Z 变换的定义可知，输出序列为

(0)0,(1)0,(2)2,(3)3,...............c c T c T T c T T ====

分析可知：经过两个采样周期后，c(kT)完全跟踪上r(kT) ，而且采样点上没有超调。也没有稳态误差。 我们考察D(z)的输出U(z)：

1-1-11

2

-12-121-1

-1-2-3-4()()()

()()()

(1)(10.368)(2)(1)(1)0.092(10.718)0.54340.30850.40320.1078C z z R z U z G z G z Tz z z z z z z z z z z z z ----Φ=

=--=---+=-+-

+

例 设系统结构如图所示，对象传递函数为10

()(0.11)

p G s s s =+，采样周期T=0.1s ，输入为单位速度信号，

试按最少拍有纹波设计D(z)。

解：广义对象的脉冲传递函数为

1011221221011111

()(1)[()]

10100

(1)[](1)[]

(0.11)(10)

1011-110(1)[]()[]

10(1)1

0.368(10.717)

(1)(10.368)

T G z z Z G s s

z Z z Z s s s s z Tz z z

z Z s s s z z z e z z z z z ---------=-=-=-++=-+-=+-+---+=

--

单位速度输入时，选择

12()(1)E z z -Φ=-

则

12()2z z z --Φ=-

因此

-1-1-1-1

() 5.435(10.5)(10.368)

()()()(1)(10.717)

E z z z D z G z z z z Φ--==Φ-+ 系统的输出为

1

1

2

2312

()()()(2)23...(1-)

Tz C z z R z z z Tz Tz z ------=Φ=-=+++ 1()()()e E z z R z Tz -=Φ=

Z 变换的定义可知，输出序列为

(0)0,(1)0,(2)2,(3)3,...............c c T c T T c T T ====

分析可知：经过两个采样周期后，c(kT)完全跟踪上r(kT) ，而且采样点上没有超调。也没有稳态误差。 我们考察D(z)的输出U(z)：

-1-11-12-1-1-12

-1-2-3-4()()()()()()

5.435(10.5)(10.368)(1)(1)(10.717)(1)0.54350.3180.39970.1149e U z D z E z D z R z z z z Tz z z z z z z z z -==Φ--=--+-=-+-

+

由此可以看出，D(z) 的输出是在正负之间脉动。

在本例中考察单位阶跃输入和单位加速度输入时的输出。

（1）当输入为单位阶跃信号时

12123

1

1()(2)

2...(1-)

Y z z z z z z z -----=-=++－ (0)0,(1)2,(2)1,(3)1,...............y y T y T e T ==== 分析可知：经过两个采样周期后，y(kT)跟上r(kT)。当k=1时，超调量达到100％。

（2）当为单位加速度输入时

2111

2

222324

1

(1)()(2) 3.57...2(1-)

T z z Y z z z T z T z T z z --------+=-=++ ,...

8)4T (e ,4.5e(3T ),22T )(y ,2T )1T (y ,0)0(y ;2t y ,...

7)4T (e ,3.5e(3T ),2T )(y ,0)1T (y ,0)0(y 222

22222

T T T T T T ===========

分析可知：经过两个采样周期后，系统趋于稳定，但存在稳态误差T 2。

例：设系统结构如图所示，对象传递函数为10

()(0.11)(0.051)

G s s s s =++，采样周期T=0.1s,输入为单位阶

跃信号，使用最小拍设计D(z)。

解：广义控制对象的脉冲传递函数为：

1111

0111

10.761(10.046)(1 1.13)

()(1)[()](1)(10.135)(10.0183)

z z z G z z Z G s s z z z -------++=----＝ 由G(z)可知：G(z) 有z -1项和大于1的零点。根据设计原则，当输入为阶跃信号时，

1,0,1,1q v u m ====。则选择闭环脉冲传递函数为

110()(1 1.13)z z z ?--Φ=+

0?为待定系数。Φ(z)是z -1的二次项，则Φe (z)也应是二次项。

故对于阶跃输入，有11()1()(1)(1)e z z z bz --Φ=-Φ=-+ b 为待定系数。两式联立，可求得 即00.47,0.53b ?==。

因此：1

1

()0.47(1 1.13)z z z --Φ=+，11()(1)(10.53)e z z z --Φ=-+

1111e (z)0.618(10.0813z )(10.135z )

D(z)G(z)(z)(10.046z )(10.53z )

----Φ--==

Φ++-1-1-1-2-3-1

1

Y(z)R(z)(z)0.47z (11.13z )

0.47z z z ...1z

=Φ=+=+++-

分析可知：为了消除G(z)单位圆外存在的零点对系统稳定性的影响，必须将调整时间从一拍延长至二拍。

总结： 针对某种典型信号而设计的最少拍系统，对于其他形式的输入时，系统就不是最少拍了，而且调节品质变坏。即这种方法对不同的输入函数适应性较差。

一般地说，为一种典型输入所设计的最少拍系统，用于阶次较低的输入函数时，系统将出现较大的超调，同时响应时间也增加，但是能保持在采样时刻稳态误差为0;反之，当用于阶次较高的输入函数时，输出不能完全跟踪输入，存在静差。

按最小拍原则设计数字控制系统，设计方法简单，数字控制器便于在计算机上实现，但存在不少缺点和问题。

1）存在着波纹。最少拍设计只在采样点上保证稳态误差为零。而在采样点之间的输出相应可能是波动的，或者振荡分散。实际上系统不稳定，存在输出波纹。较大的波纹是系统设计不能

允许。

2）系统适应性差。总是针对某种类型的典型输入信号设计的，对其他类型输入信号不一定是最少拍的，甚至存在很大的超调和静差。

3）对参数变化的灵敏度大。总是在结构和参数不变的条件下得到理性结构，当结构和参数发生变化时。系统性能会发生较大的变化。最少拍闭环系统所有的极点位于Z平面原点，理论上

可以证明，这一多重极点的参数灵敏度是较大的。

控制幅值的约束。最小拍原则设计的系统是时间最速系统，理论上讲，采用时间越小，调整时间越短。但实际上不可能，因为被控对象存在饱和特性，机构所能提供的能量是受到约束的，因此必须合理采用采样周期的大小。