解析几何椭圆双曲线抛物线专题突破讲义
椭圆、双曲线、抛物线
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．
(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．
例1 (1)(2017·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 23
＝1(a >0)的一个焦点与抛
物线y 2＝8x 的焦点重合，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C.13 D.19
(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9x
B ．y 2＝6x
C ．y 2＝3x
D ．y 2＝3x
跟踪演练1 (1)(2017届沈阳市东北育才学校模拟)已知双曲线与椭圆
x 2
9＋y 2
25＝1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于8
5
，则此双曲线的方程为( )
A.x 24－y 212＝1
B.y 24－x 212＝1
C.x 212－y 24＝1
D.y 212－x 2
4
＝1
(2)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( )
A.x 216＋y 29＝1(y ≠0)
B.y 225＋x 29＝1(y ≠0)
C.y 2
16＋x 2
9＝1(y ≠0) D.x 2
25＋y 2
9＝1(y ≠0) 热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a 2
＝b 2
＋c 2
，离心率为e ＝c a ＝22-1a
b
(2)在双曲线中：c 2
＝a 2
＋b 2
，离心率为e ＝c a ＝22
1a
b
2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b
a
x .注意离心率e
与渐近线的斜率的关系．
例2 (1)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右顶点
分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13
(2)(2017届百校大联考全国名校联盟联考)过双曲线
E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与E 的渐近线交于B ，C 两点，若BC →＋2BA →＝0，则双曲线E 的渐近线方程为 ( )
A ．y ＝±3x
B ．y ＝±4x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±2x
跟踪演练2 (1)(2017届株洲一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，F 1为
左焦点，A 为右顶点， B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( ) A.3－12 B.5－12 C.22 D.32
(2)已知双曲线C: x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0, b >0)的焦距为2c ，直线l 过点
? ??
??
23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M, N 两点，若||MN ＝423c ，则双曲
线C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±4x 真题体验
1．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近
线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________．
2．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________．
3．(2018·全国Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝3
5
x ，
则a ＝________.
4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b
＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 押题预测
1．(2018届江西师范大学附属中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝
1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )
A.62
B.5
2
C. 3 D ．2 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2，且点?
????1，32在该椭圆
上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为62
7，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．
解 (1)由题意可得e ＝c a ＝1
2
，
又a 2＝b 2＋c 2，
所以b 2
＝34a 2.因为椭圆C 经过点?
????1，32，所以1a 2＋9
434a 2＝1，
解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，
由?????
x ＝ty －1，x 2
4＋y
2
3
＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，
显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝
36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋1
4＋3t 2
，
所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627，
化简得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 2
2
＝－1718
(舍去)． 又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝1
1＋t 2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2
＝12
.
A 组 专题通关
1．(2017·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A
在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 2
4＝1 C.x 2
3－y 2＝1 D ．x 2－y 2
3
＝1 2．(2017届汕头模拟)若椭圆x 236＋y 2
16
＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，
F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )
A ．36
B ．16
C ．20
D ．24
3. (2017届常德一模)已知抛物线C: y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线
l 交抛物线C 于A ，B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为
5，则直线l 的斜率为( ) A ．±
2
2
B ．±1
C ．±63
D ．±6
2
4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图， F 1，F 2是
双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2
的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( ) A.13 B ．3 C. 5 D ．2
高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
高二数学椭圆双曲线抛物线测试题
高二《椭圆 双曲线 抛物线》测试题 班级 姓名： 一、选择题 （每小题5分 共40分） 1、抛物线28y x =的准线方程是 （ ） (A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- ２、双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 4、双曲线与椭圆15 22 =+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为 （ ） A ．13 2 2=-x y B ．1322 =-x y C ．13 2 2=-y x D ．13 22 =-y x 5、已知椭圆19162 2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59 B ．3 C ．7 79 D ．49 6、过抛物线焦点任意作一条弦，以这条弦为直径作圆，这个圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定 7、一动圆的圆心在抛物线y x 82 -=上，且动圆恒与直线02=-y 相切，则动圆必过定点（ ） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2） 8、以椭圆 116 252 2=+y x 的中心为顶点，以这个椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A 、B 两点，则|AB|=（ ） A 、 5 18 B 、 5 36 C 、 3 80 D 、 3 100 二、填空题（每小题5分 共25分） 9、抛物线的焦点为双曲线17 92 2=-y x 的左焦点，顶点在双曲线的中心，则抛物线方程为 10、抛物线y px p 2 20=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为 11、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。 12、设抛物线y x 24=被直线y x b =+2截得的弦长为35，则b 的值是 13、抛物线y x =2上的点到直线l x y ：--=20的最短距离是
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题九 解析几何第二十八讲 抛物线
专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 2019年 1.（2019全国II 理8）若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 2231x y p p + =的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1).求抛物线C 的方程及其准线方程； 3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3 2 的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若 4AF BF +=，求l 的方程； （2）若3AP PB =uu u r uu r ，求AB ． 4. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分 别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0， 5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：2 4=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则?FM FN = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．（2017新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：2 4y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与 C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于 D 、 E 两点，则||||AB DE +的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 3．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2 2(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为
椭圆、双曲线、抛物线综合测试题
椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一选择题（本大题共 是符合要求的） 2 y m J 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 1设双曲线 x 2 1的一个焦点为（ 0, 2），则双曲线的离心率为（）. 2 x 2椭圆 16 7 1的左、右焦点分别为 F 1, F 2，一直线经过 F i 交椭圆于A 、B 两点，则 ABF ?的周长为 A 32 B 16 C 3两个正数a 、 b 的等差中项是 ，等比中项是,6，则椭圆 1的离心率为（） 13 3 4设F 1、F 2是双曲线x 2 24 1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PR |=4|PF 2 |， 则PF 1F 2的面积为 A 4,2 8.3 C 24 D 48 2 x 5 P 是双曲线— 9 16 =1的右支上一点， M 、N 分别是圆（ x 5）2 1 和(x 5)2 y 2 =4 上的点，贝U | PM | |PN |的最大值为（ 6已知抛物线 x 2 4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点 M ,点 A(3, 2)，则 | PA| | PM | 的 最小值为（ A .10 10 C .10 D 10 2 7 一动圆与两圆 x 2 1 和 x 2 2 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ 椭圆 双曲线 D 抛物线 2 x 8若双曲线— a 2 y_ b 2 1(a 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 率为（ ）
S p FiF2=1^ 3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 _______________ 2 2 2 2 xy xy 14已知椭圆 1与双曲线 1 (m, n, p,q m n p q 16 已知双曲线a 2 "2= 1 a 2 的两条渐近线的夹角为 三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9抛物线y x 2上到直线2x y 0距离最近的点的坐标（ ) 3 5 (1,1) 3 9 D (2,4) A - J B C ,- 2 4 2 4 10已知c 是椭圆 2 2 x y 1 (a K b 0）的半焦距，则一 C 的取值范围（ ） a b a A (1, ) B (2 ) C (1,、 ② D (1,辽］ 11方程mx ny 2 0 与 mx 2 2 ny 1 (m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图 A D 2 12若AB 是抛物线y 2 2px(p 0）的动弦， 且 | AB | a(a 2 p ），则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ) 1 1 1 1 1 1 A a B -p C a -p D a — p 2 2 2 2 2 2 二填空题（本大题共 4个小题， 每小题 5分 ,共20分.把答案填写在题中横线上） 13设F i 、F 2分别是双曲线的左、右焦点, P 是双曲线上一点，且 o C .5 F 1PF 2 =60 R ,m n ），有共同的焦点F 1、 F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则 |PF 1|?|PF 2|= ----------------- 15已知抛物线x 2py(p 0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17 ，贝V p = 4 —,则双曲线的离心率为 3 象可能是（ ）
专题九 解析几何第二十七讲 抛物线
2 1 专题九 解析几何 第二十七讲 抛物线 2019 年 x 2 1.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆 + y = 1的一个焦点，则 3 p p p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019 浙江 21）如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧.记△AFG ,△CQG 的面积为 S 1 , S 2 . （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； S （2）求 1 的最小值及此时点 G 的坐标. S 2 3.(2019 全国 III 文 21）已知曲线 C ：y = x 2 ，D 为直线 y = - 上的动点，过 D 作 C 的两条切 2 线，切点分别为 A ，B . （1）证明：直线 AB 过定点： 5 （2）若以 E (0， 2 )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程. 1.解析（1）设 D ? t , - 1 ? , A (x , y )，则 x 2 = 2 y . 2 ? 1 1 1 1 ? ? 2
2 5 y 2 1 由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 1 + 1 2 = x ，整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0. 设 B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 . 故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 . 1 所以直线AB 过定点(0, ) . 2 x 1 - t （2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1 . 2 ? y = tx + 1 ?? 由? 2 ? y = x ?? 2 2 ，可得 x 2 - 2tx -1 = 0 . 于是 x + x = 2t , y + y = t (x + x )+1 = 2t 2 +1 . 1 2 1 2 1 2 设M 为线段AB 的中点，则 M ? t , t 2 + 1 ? . 2 ? ? ? 由于 EM ⊥ AB ，而 EM = ( t , t 2 - 2) ， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + ( t 2 - 2) t = 0 .解得 t =0或t = ±1. 当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2 + ? y - ? 5 ?2 ? ? ? = 4 ； 5 ?2 当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2 + y - ? ? ? = 2 . 2010-2018 年 一、选择题 1．（2017 新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点 F ，且斜率为 的直线交C 于点 M ( M 在 x 轴上方)， l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为 A ． B ． 2 C ． 2 D ． 3 3 2 3 3 2
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0 ⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右 解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 4 13 2 y ? 1 专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 答案部分 2019 年 ? p ?2 1．D 解析 由题意可得： 3 p - p = ? ? ? ，解得 p = 8 ．故选 D ． 2.解析（I ）由抛物线C : x 2 = -2 py 经过点 (2, -1) ，得 p = 2 . 所以抛物线 C 的方程为 x 2 = -4 y ，其准线方程为 y = 1. 3 3.解析 设直线l : y = x + t , A (x 1, y 1 ), B (x 2, y 2 ) ． 2 （1）由题设得 F ? 3 ,0 ? ，故| AF | + | BF |= x + x + 3 ，由题设可得 x + x = 5 ． 4 ? 1 2 2 1 2 2 ? ? ? y = 3 x + t 12(t -1) 由? 2 ，可得9x 2 +12(t -1)x + 4t 2 = 0 ，则 x + x = - ． ? ?? y 2 = 3x 1 2 9 从而- 12(t -1) = 5 ，得t =- 7 ．所以l 的方程为 y = 3 x - 7 ． 9 2 8 2 8 （2）由 AP = 3PB 可得 y 1 = -3y 2 ． ? y = 3 x + t 由? 2 ，可得 y 2 - 2 y + 2t = 0 ． ?? y 2 = 3x 所以 y 1 + y 2 = 2 ．从而-3y 2 + y 2 = 2 ，故 y 2 = -1, y 1 = 3 ． 代入C 的方程得 x = 3, x = 1 ．故| AB |= ． 1 2 3 3 4．解析（1）设 D ? t , - 1 ? , A (x , y )，则 x 2 = 2 y . 2 ? 1 1 1 1 ? ? 由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x ，故 1 + 1 2 = x ，整理得2 tx - 2 y +1=0. 1 1 1 x 1 - t 椭圆,双曲线,抛物线 特性总结 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 椭圆方程 图形特征 几何性质 范围 顶点 焦点 准线 对称性 长短轴 离心率 焦半径 弦长公式：|AB |＝ [ ]2 12 212 212 x x 4)x x ()k 1(|x x |k 1-+?+=-?+ 若用k ，y 1及y 2表示|AB |，则|AB |＝)0k (|y y |1k 1 212≠-?+ 标准方程 22a x －2 2b y ＝1（a ＞0，b ＞0） 2 2a y －2 2b x ＝1（a ＞0，b ＞0） 简图 中心 O （0，0） O （0，0） 顶点 A 1（－a ，0），A 2（a ，0） B 1（0，a ），B 2（0，－a ） 范围 |x|≥a |y|≥a 焦点 F 1（－c ，0），F 2（c ，0） F 1（0，－c ），F 2（0，c ） 准线 x ＝±c a 2 y ＝±c a 2 渐近线 y ＝±a b x y ＝±b a x 4. （1）当M （x 0，y 0）为22a x －22 b y ＝1右支上的点时，则|MF 1|＝ex 0＋a ，|MF 2|＝ex 0－a 。 （2）当M （x 0，y 0）为22a x －22 b y ＝1左支上的点时，|MF 1|＝－（ex 0＋a ），|MF 2|＝)a ex (0--。 （3）当M （x 0，y 0）为22a y －22 b x ＝1上支上的点时，|MF 1|＝ey 0＋a ，|MF 2|＝ey 0－a 。 （4）当)y ,x (M 00为 1b x a y 2 2 22=-下支上的点时，)a ey (|MF |01+-=，=|MF |2)a ey (0-- 5. 常用的公式结论： 4、常用的公式及结论： （1）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较其与 2x 、2y 项分母的大小即 可。若2 x 项分母大，则焦点在x 轴上；若2 y 项分母大，则焦点在y 轴上。 （2）对于椭圆的两种标准方程，都有 0b a >>，焦点都在长轴上，且a 、b 、c 始终满足 222b a c -= 5、直线与椭圆的位置关系 掌握直线与椭圆的位置关系，通过对直线方程与椭圆方程组成的二元二次方程组的解来讨论它们的位置关系。 （1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据Δ来讨论。 （2）对于直线与椭圆的位置关系，还可以利用 备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第五篇解析几何 专题10 解析几何中两类曲线相结合问题 【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ， 离心率为 2 ，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=. （1）求椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值. 【思路引导】 （1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，易知四边形P FPF ''为平行四边形，则 2PF PF PF P F a ''+=+=，可求得,,a b c ，即可求得椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，代入椭圆方程可得到00,x y 的关系式，然后分别求得,OFP OTP S S V V 的面积的表达式，即可得到四边形OFPT 面积的表达式，结合00,x y 的关系式，求OFPT 面积的最大值即可. 【详解】 （1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''， 因为P O PO '=，OF OF '=，所以四边形P FPF ''为平行四边形， 所以24PF PF PF P F a ''+=+==，所以2a =， 又离心率为 2 ，所以c =，1b =. 故所求椭圆C 的标准方程为2 214 x y +=，圆O 的标准方程221x y +=. （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则220014 x y +=，故22 0014x y =-. 所以22 2000222 314TP OP OT x y x =+-= =-，所以0TP x =， 所以0124 OTP S OT TP x = ?=V . 又()0,0O ，) F ，所以0012OFP S OF y y =?=V . 故0022OFP OTP OFPT x y S S S ??==++ ???四边形V V ==. 由220014x y +=，得1≤，即001x y ?≤， 所以22 OFPT S = ≤ 四边形， 当且仅当2 2 00142x y ==，即0x =02 y = 时等号成立. 【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动 抛物线 【考点梳理】 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 【教材改编】 1．(选修2-1 P 67练习T 2(4)改编)抛物线280x y +=的焦点坐标为( ) A ．()0,2- B ．()0,2 C ．10,32? ?- ?? ? D ．10,32?? ??? [答案] C [解析] 由280x y +=，得21 8 x y =-. 128p =，116 p =， ∴焦点为10,32? ?- ?? ?，故选C. 2．(选修2-1 P 73A 组T 2（1）改编)以1x =为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．22y x = B ．22y x =- C ．24y x = D ．24y x =- [答案] D [解析] 由准线1x =知，抛物线方程为：22y px =-（0p >）且12 p =，2p =， ∴方程为24y x =-，故选D. 3．(选修2-1P 73A 组T 3改编)M 是抛物线22y px =（0p >）位于第一象限的点， F 是抛物线的焦点，若5 F 2 p M = ，则直线F M 的斜率为( ) A ．43 B ．53 C ．54 D ．52 [答案] A [解析] 设()00,x y M ，由5 F 2 p M = ，得 05 22 p x p + =，∴02x p =. ∴220024y px p ==，取正根得02y p =. 即M 的坐标为()2,2p p ，又F 的坐标为,02p ?? ??? ， ∴F 204 322 p k p p M -= =- ，故选A. 4．(选修2－1 P 74A 组T 8改编)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽为( ) A ．2 3 m B ．2 6 m C ．4 2 m D ．4 3 m [答案] B [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py ，得p ＝ 1. ∴x 2＝－2y . 当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y ，得x 20＝6，∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m ．故选B. 5．(选修2－1 P 69例4改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B. 2 1、已知椭圆方程为 22 12332 x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ） A ．6 B ．3 C ． D ．2、椭圆2 2421x y +=的焦点坐标是（ ） A ．( B ．(0, C ．11(0,),(0,)22- D ．( 3、12F F ，是定点，且12FF =6，动点M 满足12MF +MF 6=，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 4、已知方程2 21x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．-1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 5、过点（3，-2）且与椭圆2 24936x y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ） A ． 2211510x y += B ．22 2211510x y += C ． 2211015 x y += D ．22 2211015x y += 6、若直线 1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点，那么2m 的值是（ ） A ． 1 2 B ． 34 C ． 23 D ． 45 7、已知椭圆C ：22 192 x y +=，直线l ：110x y +=，点P （2，-1），则（ ） A ．点P 在C 内部，l 与C 相交 B ．点P 在 C 外部，l 与C 相交 C ．点P 在C 内部，l 与C 相离 D ．点P 在C 外部，l 与C 相离 8、过椭圆C ：22 221x y a b +=的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为（ ） A ． 2 2b a B ． 2 b a C ． b a D ． 2b a 9、抛物线220x y +=的准线方程是（ ） 圆锥曲线第 3 讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l （ F l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这 个定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。 注 1：在抛物线的定义中，必须强调：定点 F 不在定直线l 上，否则点的轨迹就不是一个抛 物线，而是过点 F 且垂直于直线l 的一条直线。 注 2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l （ F l ） 的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事 实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1. 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： p ,0) ，准线为 x p （1） y 2 2 px （ p0），其焦点为F ( 2 2 ； （2） y 2 2 px （ p0 ），其焦点为F (p,0) ，准线为x p 2 2 ； F (0, p y p （3）x2 2 py （ p0 ) 2 ），其焦点为2，准线为； F (0, p p （4）x 2 2 py （ p )y ），其焦点为 2 ，准线为 2 . 2. 抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程 y 2 2 px （ p 0 ）或 x 2 2 py （ p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方， 等号的另一端是另一个变元的一次项， 抛物线方程的这个形式与其 位置特征相对应：当抛物线的对称轴为 x 轴时，抛物线方程中的一次项就是 x 的一次项，且 一次项 x 的符号指明了抛物线的开口方向； 当抛物线的对称轴为 y 轴时， 抛物线方程中的一 次项就是 y 的一次项，且一次项 y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 y 2 2 px （ p 0 ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围： x ， y R ； （2）顶点：坐标原点 O (0,0) ； （3）对称性：关于 x 轴轴对称，对称轴方程为 y ； （ 4）开口方向：向右； （ 5）焦参数： p ； F ( p ,0) （6）焦点： 2 ； p x （7）准线： 2 ； （ 8）焦准距： p ； （ 9）离心率： e 1； （10）焦半径：若 P(x 0 , y 0 ) 为抛物线 y 2 2 px （ p 0 ）上一点，则由抛物线的定义，有 PF x 0 p 2 ； （11）通径长： 2p . 注 1 ：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 y 2 2 px 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1设双曲线22 12 y x m -=的一个焦点为(0,2)-，则双曲线的离心率为( ). D 2椭圆22 1167 x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一直线经过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为（ ） A 32 B 16 C 8 D 4 3 两个正数a 、b 的等差中项是5 2 ，，则椭圆22221x y a b +=的离 心率为（ ） A 4设1F 、2F 是双曲线2 2 124 y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 31||PF =42||PF ， 则12PF F ?的面积为（ ） A B 5 P 是双曲线22 916x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和 22(5)x y -+=4上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 6已知抛物线24x y =上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点(3,2)A ，则 ||||PA PM +的最小值为（ ） 1 2 1 2 7 一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 8若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双 曲线的离心率为（ ） D 2 9抛物线2y x =上到直线20x y -=距离最近的点的坐标（ ） A 35,24?? ??? B (1,1) C 39,24 ?? ??? D (2,4) 10已知c 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的半焦距，则b c a +的取值范围（ ） A (1,)+∞ B )+∞ C D 11方程2mx ny +=0与22mx ny +=1(0,0,)m n m n >>≠表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（ ） 12若AB 是抛物线22(0)y px p =>的动弦，且||(2)AB a a p =>，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ） A 12 a B 12 p C 112 2a p + D 12a －12 p 二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题 B C D A 双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程： 122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+-椭圆双曲线抛物线经典求法及历年真题
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