第五章数列讲解学习

第五章数列

第五章数列 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(每小题 5分，共60分)

1. (2016·湖南二校期中)设等差数列{a n }前项和为S n ，若a 2＋S 3＝－4，a 4＝3，则公差为(D)

A. －1

B. 1

C. 3

D. 2

解析 a 2＋S 3＝4a 2＝－4，a 2＝－1，故d ＝a 4－a 22

＝2，选D. 2. 已知等比数列{a n }中，若a 4＝10，a 8＝52

，那么a 6＝(B) A. －5 B. 5 C. ±5 D. 25

解析 ∵等比数列{a n }中，a 4＝10，a 8＝52

， ∴?????a 1

q 3＝10，a 1q 7＝52，解得?????a 1＝－202，q ＝－22或?

????a 1＝202，q ＝22. ∴a 6＝a 1q 5＝－202×????－225＝5或a 6＝a 1q 5＝202×???

?225＝5.故选B. 3. 已知等比数列{a n }的前三项依次为a －2，a ＋2，a ＋8，则a n ＝(C) A. 8×????32n B. 8×???

?23n C. 8×???

?32n －1 D. 8×????23n －1 解析 (a ＋2)2＝(a －2)(a ＋8)，a ＝10，∴数列首项为

8，公比为32.∴a n ＝8×????32n －1，故选C.

4. (2015·乌鲁木齐三诊)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＋a 25＝5，则一定有

(D)

A. a 6是常数

B. S 7是常数

C. a 13是常数

D. S 13是常数

解析由S 4＋a 25＝5????4a 1

＋4×32d ＋(a 1＋24d)＝5a 1＋6d ＝1a 7＝1，∴S 13＝（a 1＋a 13）×132

＝13a 7＝13.故选D. 5. (2015·浙江高考)已知数列{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则(B)

A. a 1d>0，dS 4>0

B. a 1d<0，dS 4<0

C. a 1d>0，dS 4<0

D. a 1d<0，dS 4>0

解析 ∵等差数列{a n }的公差d ≠0，a 3，a 4，a 8成等比数列，

∴(a 1＋3d)2＝(a 1＋2d)(a 1＋7d)a 1＝－53d ，∴S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d)＝－23

d ，

∴a 1d ＝－53d 2＜0，dS 4＝－23

d 2＜0，故选B. 6. 已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是(D)

A. ???

?－72，＋∞ B. (0，＋∞) C. [－2，＋∞) D. (－3，＋∞)

解析 ∵{a n }是递增数列，∴a n ＋1＞a n .

∵a n ＝n 2＋λn ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，

∴λ＞－2n －1对于n ∈N *恒成立，∴λ＞－3.

7. (2015·福建高考)若a ，b 是函数f(x)＝x 2－px ＋q(p>0，q>0) 的两个不同的零点，且a ，b ，－2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于(D)

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

解析由根与系数的关系得a ＋b ＝p ，a·b ＝q ，则a>0，b>0，当a ，b ，－2适当排序

后成等比数列时，－2必为等比中项，故a·b ＝q ＝4，b ＝4a

.当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a 是等差中项时，2a ＝4a －2，解得a ＝1，b ＝4；当4a

是等差中项时，8a

＝a －2，解得a ＝4，b ＝1，综上所述，a ＋b ＝p ＝5，p ＋q ＝9，故选D. 8. 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项和S 3的取值范围是(D)

A. (－∞，－1]

B. (－∞，0)∪(1，＋∞)

C. [3，＋∞)

D. (－∞，－1]∪[3，＋∞)

解析 ∵等比数列{a n }中，a 2＝1，

∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2????1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q

. ∴当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q

≥1＋2q·1q ＝3；当公比q<0时，S 3＝1－????－q －1q ≤1－2－q·???

?－1q ＝－1. ∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.

9. (2015·北京高考)设数列{a n }是等差数列. 下列结论中正确的是(C)

A. 若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0

B. 若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0

C. 若0a 1a 3

D. 若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0

解析先分析四个答案，A 举一反例a 1＝2，a 2＝－1，a 3＝－4，a 1＋a 2>0，a 2＋a 3<0，A 错误；B 举同样反例a 1＝2，a 2＝－1，a 3＝－4，a 1＋a 3<0，而a 1＋a 2>0，B 错误；下面针对C 进行研究，{a n }是等差数列，若0 0，设公差为d ，则d>0，数列各项均

为正，由于a 22 －a 1a 3＝(a 1 ＋d)2－a 1(a 1＋2d)＝a 21＋2a 1d ＋d 2－a 21－2a 1d ＝d 2>0，则

a 22>a 1a 3

a 2>a 1a 3.故选C. 10. 在圆x 2＋y 2＝10x 内，过点(5，3)有n 条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{a n }

的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差d ∈????13，23，那么n 的取值集合为(A)

∴(x －5)2＋y 2＝25，圆心为(5，0)，半径为5.故最长弦长a n ＝10，最短弦长a 1＝8， ∴10＝8＋(n －1)d(n ≥2，n ∈N *)，

11. 设曲线y ＝2 014x n ＋1(n ∈N *)在点(1，2 014)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，

令a n ＝log 2 014x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2 013的值为(D)

解析 ∵y′＝2 014(n ＋1)x n ，

∴在点(1，2 014)处的切线方程是y －2 014＝2 014(n ＋1)(x －1)，

∴x n ＝n n ＋1

， ∴a 1＋a 2＋…＋a 2 013＝log 2 014(x 1·x 2·…·x 2 013)

＝log 2 014????12×23

×…×2 0132 014 ＝log 2 01412 014

＝－1. 12. 定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：

①f(x)＝x 2；②f(x)＝2x ；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(C)

22n ＝22n ， ∴②不满足，排除A ，D ；

④∵f(x)＝ln|x|，

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