最新3高斯公式与斯托克斯公式汇总

3高斯公式与斯托克

斯公式

第二十二章曲面积分

§3 高斯公式与斯托克斯公式

授课章节：ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290--297）

教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用

教学重点：定理22.3, 定理22.4

教学难点：定理22.3,定理22.4

教学方法：讲练结合．

教学程序：1．引导

2．定理22.3,定理22.4

3．例题及部分习题练习

4．作业．P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。

一高斯公式

格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss）公式。

定理22.3设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成。若函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则

?Skip Record If...?，（1）

其中S取外侧。（1）式称为高斯公式。

证下面只证

?Skip Record If...?

读者可类似地证明

?Skip Record If...?

这些结果相加便得到了高斯公式（1）。

先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面

①若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用?Skip Record If...?表示。

?Skip Record If...?

及以垂直于?Skip Record If...?的边界的柱面?Skip Record If...?组成（图22－6），其中?Skip Record If...?。于是按三重积分的计算方法有

?Skip Record If...?

其中?Skip Record If...?都取上侧。又由于?Skip Record If...?在xy平面上投影区域的面积为零，所以

?Skip Record If...?

因此

?Skip Record If...?

对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。▌高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。

例1计算

?Skip Record If...?

其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧（即上节习题1（1））。

解应用高斯公式，所求曲面积分等于

?Skip Record If...?

?Skip Record If...?▌

若高斯公式中P＝x,Q=y,R=z,则有

?Skip Record If...?

于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积公式

?Skip Record If...?

二斯托克斯公式

斯托克斯（Stokes）公式是建立沿空

间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L

的积分之间的联系。

在讲下述定理之前，先对双侧曲面S

的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：

设有人站在S上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L的正向；若沿L行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线L的负向，这个规定方法也称为右手法则，如图22－7所示。

定理22.4设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线。若函数P、Q、R在S（连同L）上连续，且有一阶连续偏导数，则

?Skip Record If...?（2）

其中S的侧与L的方向按右手法则确定。

证先证

?Skip Record If...?（3）

其中曲面S由方程?Skip Record If...?确定，它的正侧法线方向数为?Skip Record If...?，方向余弦为?Skip Record If...?，所以

?Skip Record If...?

若S在xy平面上投影区域为?Skip Record If...?，L在xy平面上的投影曲线记为?Skip Record If...?。现由第二型曲线积分定义及格林公式有

?Skip Record If...?

因为

?Skip Record If...?

所以

?Skip Record If...?