答案：D
3．(2017·青岛模拟)若关于x 的不等式4x
－2x ＋1
－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围
为________． 解析：∵4x
－2x ＋1
－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x －2
x ＋1
≥a 在[1,2]上恒成立，
令y ＝4x
－2
x ＋1＝(2x )2
－2×2x
＋1－1＝(2x
－1)2
－1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x
≤4，
由二次函数的性质可知，当2x
＝2，即x ＝1时，y 有最小值0.∴a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] [误区警示]
1．二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．
2．解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．
基本不等式
[方法结论]
基本不等式的常用变形
(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)a 2
＋b 2
≥2ab ，ab ≤?
??
??a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
(3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
(4)a ＋1a
≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1
a
≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号
成立．
[题组突破]
1．(2017·合肥第二次质量检测)若a ，b 都是正数，则?
????1＋b a ?
??
??1＋4a b 的最小值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：因为a ，b 都是正数，所以? ????1＋b a ? ??
??1＋4a b
＝5＋b a ＋4a b
≥5＋2
b a ·4a
b
＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号，选项C 正确． 答案：C
2．(2017·郑州第二次质量检测)已知正数x ，y 满足x 2
＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________．
解析：由题意得，y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2
＋32x ＝32? ??
??
x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，
等号成立． 答案：3
3．(2017·泰安模拟)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9
b －1的最小值为________．
解析：法一：因为1a ＋1
b
＝1，所以a ＋b ＝ab ，(a －1)(b －1)＝1，
所以
1a －1＋9b －1≥21a －1·9b －1
＝2×3＝6. 法二：因为1a ＋1
b
＝1，所以a ＋b ＝ab ，
1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )(1a ＋1b
)－10≥16－10＝6. 法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6.
答案：6 [误区警示]
利用基本不等式求最值
已知x ＞0，y ＞0，则：
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2
4
(简记：和定积最大)．
线性规划问题及交汇点
线性规划是代数与几何的桥梁，是数形结合思想的集中体现．传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点．但是，近年来这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向，即将它与函数、方程、数列、平面向量、解析几何等知识交汇在一起考查．
[典例](1)(2016·高考浙江卷)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l
上的投影．由区域????
?
x －2≤0，x ＋y ≥0，
x －3y ＋4≥0
中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则
|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2
D ．6
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0
的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由?
??
??
x ＝2，
x ＋y ＝0得C (2，－2)．由?
??
??
x －3y ＋4＝0，
x ＋y ＝0
得D (－1,1)．所以|AB |＝|CD |＝＋
2
＋－2－
2
＝3 2.故选C.
答案：C
(2)(2017·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1.若AP →＝xAB →＋yAD →
，则3x ＋2y 的最大值为________．
解析：|AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×(－12)＝(3x ＋2y )2－3(3x )(2y )≥(3x ＋2y )
2
－34
(3x ＋2y )2 ＝14(3x ＋2y )2.又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2
≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝1
2
时， 3x ＋2y 取得最大值2. 答案：2 [类题通法]
1．数形结合思想是解决线性规划问题中最常用到的思想方法，在应用时要注意作图的准确性． 2．转化思想是求解线性规划与其他知识交汇问题的关键，要根据交汇知识点，抓住其联系点、转化求解，同时注意数形结合思想运用．
[演练冲关]
1．(2017·惠州模拟)已知x ，y 满足约束条件????
?
x －y ≥0x ＋y ≤2，
y ≥0
若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a
等于( ) A ．3 B ．2 C ．－2
D ．－3
解析：不等式组????
?
x －y ≥0x ＋y ≤2
y ≥0
表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2,0)，由?
??
??
x －y ＝0
x ＋y ＝2，
得B (1,1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在点O (0,0)处取得最大值，
最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D ；当a ＝2或a ＝3时，z ＝ax ＋y 在点A (2,0)处取得最大值，
∴2a ＝4，∴a ＝2，故选B.
答案：B
2．(2017·济南模拟)点(x ，y )满足不等式|x |＋|y |≤1，Z ＝(x －2)2
＋(y －2)2
，则Z 的最小值为________．
解析：|x |＋|y |≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z ＝(x －2)2
＋(y －2)2
的几何意义是点(x ，y )到点P (2,2)距离的平方，由图可知Z 的最小值为点P (2,2)到直线x ＋y ＝1距离的平方，即为(2＋2－12
)2＝9
2.
答案：9
2
3．已知点O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域????
?
x ＋y ≥2，x ≤1，
y ≤2，
上的一个动
点，OA →·(OA →－MA →)＋1
m
≤0恒成立，则实数m 的取值范围是________．
解析：因为OA →＝(－1，－2)，OM →＝(x ，y )，所以OA →·(OA →－MA →)＝OA →·OM →
＝－x －2y .
所以不等式OA →·(OA →－MA →
)＋1m ≤0恒成立等价于－x －2y ＋1m ≤0，即1m
≤x ＋2y 恒成立．设z ＝x ＋2y ，
作出不等式组表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点D (1,1)时取得最小值，
最小值为1＋2×1＝3；当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点B (1,2)时取得最大值， 最大值为1＋2×2＝5.所以x ＋2y ∈[3,5]，于是要使1m ≤x ＋2y 恒成立，只需1m ≤3，解得m ≥13
或
m <0，
即实数m 的取值范围是(－∞，0)∪??????13，＋∞.
答案：(－∞，0)∪????
??13，＋∞
