广州大学2016-2017实变函数试卷(A)参考答案(精品)

广州大学 2016-2017 学年第 一 学期考试卷参考答案

课程 实变函数 考试形式（闭卷，考试）

学院 专业 班级 学号 姓名_

一、（10分）设111,1,1,2,3,

,n A n n n ?

?=--+= ??

? 求{}n A 的上极限与下极限。

解：[]k lim {}1,1k k x A x A x A →∞

=∈=-存在无限多个，使…………………………5分 []lim {}1,1k k x A x k x A →∞

=∈=-当充分大，总有 ……………………………10分

二、（10分）证明：所有系数为有理数的多项式可数。 证明：先证任取非负整数n ，全体n 阶有理多项式的集合可数.

事实上，?n 阶有理数()12

0,,,,n

i i i n i a x a Q a a a =∈∑令与之对应，这一对应

显然是11-的。 ……………………4分 因为Q 可数，所以n Q 也可数。 ……………………6分 故全体n 阶有理多项式的集合可数. ……………………7分 而全体有理多项式等于

{}0

n n ∞=全体阶有理多项式，

作为可数集的并也是可数集. ……………………10分

三、（10分）证明：可数点集的外测度为零。

证明： 设{|1,2,}i E x i == …………………………2分

对任意0ε>,存在开区间i I ,使i i x I ∈,且||2i i

I ε

=

(在p R 空间中取边长为

的包方i x 的开区间i I ), …………………………5分 所以

1

i i I E ∞

=?，且

1

||i i I ε∞

==. …………………………8分

由ε的任意性得*0m E =. …………………………10分 四、（10分）若A B ?, B 可测，且+∞

*

。

证明：因为B 可测，于是对任意集合T 有：

***()()c m T m T B m T B =?+?。 …………………………3分

令T A B =?，则()()()()()***c m A B m A B B m A B B ?=??+??，即得到

***()m A m B m A B =+-。 …………………………8分

又因为+∞

*

。 ………………10分

五、（10分）若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足

*()m G E ε-<，证明：E 是可测集。

证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1

*m G E n

-<

。…3分 令 ∞

==1

n n G G ,则G 是可测集， …………………………5分

又因()()1

**n m G E m G E n

-≤-<

，对一切正整数n 成立，因 )(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。…………………8分

由)(E G G E --=知E 可测。 …………………………10分 六、（10分）叙述并证明鲁津定理。

鲁津定理：设()f x 为有限测度集E 上几乎处处有限的可测函数，则：对0ε?>，

存在闭集F E ?，使得()m E F ε-<且()f x 在F 上连续。………2分

证明：由于{:|()|}0mE x f x =+∞=，故不妨设()f x 为有限函数 ……………3分

(1) 当()f x 为简单函数时，令1

()()i n

i E i f x c x χ==∑，

1

(,n

i i i E E E ==?其中可测且两两不交）

0,()(1,2,,)i i i i i n

E E

F m E F i n εε?>-<=及每个，作中的闭子集，使

所以()f x 在i F 上连续，而i F 为两两不交闭集，故()f x 在i F F =上连续。

显然F 为闭集，且有1

1

()()n n

i i n i i m E F m E F εε==-≤-<=∑∑。……………6分

(2)当()f x 为一般可测函数时，存在简单函数列{()}n x ?在E 上收敛于()f x . 由叶果洛夫定理可知，对任意的0,2

ε

δ<<

,.. ()2

E E s t m E E δδε

δ??-<<

n E f δ?且在上一致收敛到

利用(1)的结果知0,n n F E δε??>?及每个，存在闭集，

12()()n n n n m E F x F ε

δ?+-<使且在上连续.1

n n F F F E ∞

==??令，则，且

1

()()()()2

n n m E F m E E m E F m E F δδδε

ε∞

=-=-+-≤

+-<∑

由{()}n x ?在F 连续及一致收敛于()f x ，

易知()f x 在闭集F 上连续。 ……………10分

七、（10分）设{}n f 为E 上非负可积函数列，证明：若lim

()0,n E

n f x dx →∞=?

则

()0n f x ?。

证明：对任意0>σ，由于n f 非负可知：

[][]?

?≥≤≤≥σσσn f E E

n n

n dx f dx

x f f mE .)( ………………4分

1

().n n E

mE f f x dx σσ

?≥?≤???

因此

1

lim lim ()0n n E

n n mE f f x dx σσ→∞

→∞?≥?==???

， ……………………8分

即.0)(?x f n 证毕。 ……………………10分

八、（10分）设32

,1()1,1c x

x Q x

f x x Q x ?∈??+=??∈?+? ，计算[0,1]

()f x dx ? 。

解：因为有理数集的测度为0， 故2

1

()1f x x =

+.. [0,1]a e ………4分 利用积分的性质得：122[0,1]

[0,1]011()114

f x dx dx dx x x π

===++??

?。 …10分 九、（10

分）求3

[0,1]

2

lim cos .1()

n nxdx nx →∞+?。

解：令32

()cos .1()

n f x nx nx =

+ 因为()n f x 在[0,1]上连续，所以

()n f x 在[0,1]上可测。 ………………2分

当1,()1n nx f x <≤≤；

当3

2

11,()1()

n nx f x nx

nx ≥≤

≤

≤ 所以()()1[0,1],n f x F x x ≤=?∈,且显然F 在[0,1]上可积。 ………………6分

故由Lebesgue 控制收敛定理知

33[0,1]

[0,1][0,1]

2

2

lim cos lim

cos 001()

1()

n n nxdx nxdx dx nx nx →∞→∞

===++?

?

?

。

……10分 十、（10分）设()f x 在[,]a b 上满足Lipschitz 条件：

121212|()()|||, ,[,],f x f x M x x x x a b -≤-?∈

其中0M >为一常数。证明：()f x 是[,]a b 上的有界变差函数。 证明：设012:n a x x x x b ?=<<<

<=为[,]a b 的任一分划，则 …………2分

()111

1

()()()n

n

i i i i i i f x f x M x x M b a --==-≤-=-∑∑。 …………7分

故()()b

a

V f M b a ≤-， …………9分

即f 是[,]a b 上的有界变差函数。 …………10分