两点间的距离公式、直线的倾斜角与斜率

两点间的距离公式、直线的倾斜角与斜率

学习目标

（1）掌握两点间的距离公式及中点公式，并能运用公式解题. （2）掌握直线的倾斜角的定义及范围. （3）掌握直线的倾斜角与斜率之间的关系.

概念公式

1、已知点A ),(11y x 、点B ),(22y x ，则221212)()(y y x x AB -+-=

2、（1）直线的倾斜角定义：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角α就叫做直线l 的倾斜角。

（2）倾斜角α的范围：πα<≤0 注意写成区间是[)π,0. 3、直线斜率公式k =_______________= （两种）；

特殊：当倾斜角?=90α时，直线没有斜率。当倾斜角?=0α时，直线斜率0=k ； 当倾斜角??<<900α时，斜率0>k ；当倾斜角??<<18090α时，斜率0

习题讲解

知识点、两点间的距离公式的应用：

一、选择题中第1题：

1.已知点A (4，3),点B （2,1），则AB =--------------------------------（ ） A ．2

B ．22

C ．32

D ．3

【略解】由两点距离公式得：

()()223142)()(2

2221212=-+-=

-+-=y y x x AB 答案为： B

知识点、直线的倾斜角与斜率公式的应用：

一、选择题中的第2、第3、第4题：

2.已知直线l 过点)0,0(A 和)3,3(--P ，则直线l 的倾斜角为-----------------------------（ ） A ． 4

π

B ． 4

5π

C ． 4π 或45π

D ．4

π

-

【略解】设直线l 的倾斜角为α. 直线l 的斜率为：13

3

1212=--=--=

x x y y k 1t a n ==∴αk

又 直线倾斜角α的范围为：πα<≤0 4

π

α=∴ .

答案为：A

3.已知).1,2(),,32(-+a N a a M 若直线MN 的倾斜角为直角，则a 的值为------（ ） A ． 1 B ．-5

C ．-1

D ．0

【略解】 直线MN 的倾斜角为直角的横坐标相等和点N M ∴ 即232-=+a a 得出a 的值。 答案为： B

4. 已知直线l 的倾斜角为α，若,5

1

cos sin =+αα则直线l 的斜率为-----（ ） A ．4

334或- B ．4

3-34或-

C ． 3

4- D ．34

【略解】 5

1cos sin =

+αα 又 1cos sin 2

2=+αα ???????=-=∴54cos 53sin αα 或???????

-

==53cos 54sin αα 又 πα<≤0 0s i n ≥∴α

???

????-==∴53

cos 54sin αα 34cos sin tan -===∴αααk

答案为：C

知识点、两点间的距离公式的应用：

二、填空题中第5题和第8题：

5.已知点A (2,1)和点B (0,y )的距离≥AB 22，则y 的范围是 .

【略解】由两点距离公式得：22)1()20(22≥-+-=y AB 解此不等式可得结果。

答案为：13-≤≥y y 或

知识点、 中点公式的应用：

二、填空题中的第6题：

6、已知点),4(n Q 是点)2,3(R 和点)6,(-m P 连线的中点，则=+n m .

【略解】：

由中点坐标公式得：???????

-=+=2622

34n m 2,5-==∴n m

∴3=+n m

答案为：3.

二、填空题中第7题：

7.若三点A (2,2)，B (a ,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1

b = 。

【略解】 A (2,2)，B (a ,0)，C (0，b )共线 AC AB k k =∴

2

02

220--=

--∴

b a 4)(24++-=∴b a ab )(2b a ab +=∴ ab ≠0 ab b a )(21+=∴ 2

1

11=+∴b a

答案为：

2

1

知识点、两点间的距离公式的应用： 8.已知R x ∈,则842222+-++-=x x x x y 的最小值= 。

【略解】：先将式子变形：2222)20()2()10()1(-+-+-+-=

x x y

此题转化为：求y 的最小值，即点)0,(x 分别到点)1,1(、)2,2(的距离之和的最小值。

作图分析：得出10)12()12(22min =++-=y

答案为：10

三、解答题中第9题：

9． 在ABC ?中，已知三点A （2,1），B （-1,2），C (5，2),试判断ABC ?的形状，并求出ABC ?的面积。

【解】：由两点距离公式得：AB =10)12()21(22=-+-- AC =10)12()25(2

2

=-+- BC =6)22()15(22=-++

∴AB =AC ABC ?为等腰三角形。

33-1062

1

212=??=??=

?高BC S ABC ∴ABC ?的面积为3.

本节课中涉及到的三个知识点的综合应用：

三、解答题中的第10、第11题：

10. 已知矩形ABCD 中，顶点),3,1(-A ),4,2(-B 现它的对角线BD AC 和交点M 在x 轴上，求另两个顶点D C 和的坐标。

作出简图：

【解】：设点M 的坐标为（m,0），点C 的坐标为),(11y x ，点D 的坐标为),(22y x

由题意得：???

???

?

+=+-=2302

111y x m 3,1211-=+=∴y m x ∴点C 的坐标为 )3,12(-+m

???

???

?+=+-=2402222y x m 4,2222-=+=∴y m x ∴点D 的坐标为 )4,22(-+m

矩形ABCD CD BC ⊥∴ 1-=?∴CD BC k k 即：

11

3

43243-=+-?+--m

∴5-=m

∴点C 的坐标为 )3,9(--，点D 的坐标为 )4,8(--。

【思考】课后请同学们用向量的方法去求出m 的值.( CD BC ⊥ 0=?∴)

11.已知三角形的顶点)5,0(A ，)2,1(-B ，),6(m C -，BC 中点为D ，当AD 的斜率为1时，求m 的值及AD 的长王新敞

作出简图

【解】：设点D 的坐标为),(y x 。

由题意得：???

????

+-=-=222

61m y x 21,25m y x +-=-=∴ ∴点D 的坐标为 )21,25(m +--。

AD 的斜率为1 102

55

21=---+-∴m 7=∴m

点D 的坐标为 )2

5

,25(-

225)525()025(22=

-+--=∴AD ∴AD 的长为

22

5

。 知识点、直线的倾斜角与斜率公式的应用：

三、解答题中第12题：

12.已知直线1l 的倾斜角的正弦值为,2

1

直线l 的斜率是1l 的斜率的2倍，求直线l 的斜率.

【解】：由题意得：直线1l 的倾斜角为α，则2

1

sin =

α， πα<≤0 ?=∴30α或?150

得出结论：直线l 的斜率为：3

3

=k 或33-=k .

课堂总结

1、已知点A ),(11y x 、点B ),(22y x ，则221212)()(y y x x AB -+-=

2、（1）直线的倾斜角定义：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角α就叫做直线l 的倾斜角。

（2）倾斜角α的范围：πα<≤0 注意写成区间是[)π,0。 3、直线斜率公式k =_______________= （两种）；

特殊：当倾斜角?=90α时，直线没有斜率。当倾斜角?=0α时，直线斜率0=k ； 当倾斜角??<<900α时，斜率0>k ；当倾斜角??<<18090α时，斜率0

班级__________姓名_____日期2015年_____月____日

单二数学暑期学生自主学习讲义

第14课 直线的方程（p42-44）

命题：朱正良 审核：王建新

学习目标

（1）掌握直线的点斜式方程；要让学生认识到点斜式方程的局限性. （2）掌握直线的斜截式和截距式方程；理解以上两种类型方程的适用条件.

（3）掌握直线的一般式方程，会运用待定系数法求方程，会运用直线方程解决有关问题.

概念公式

1、直线方程：⑴两点式： ； ⑵点斜式： ；

⑶斜截式： ； ⑷截距式： ；

⑸一般式： ；（注意各种形式的方程的限制条件）

习题讲解

一、选择题：

1. 已知直线l 过点A （3，-1），倾斜角为?90，则直线l 方程为-------------（ ） A ．x －3＝0 B ．y +1＝0 C ．x +3y ＝0 D ．y +1＝x -3

【略解】： 直线l 的倾斜角为?90 ∴直线l 方程为：3=x 即x －3＝0 答案为：A

2.已知0≠b ，则过点（1，-1）的直线023=++a by ax 的斜率是-----------（ ） A. 31- B. 31 C. 3- D. 3

【略解】： 直线023=++a by ax 过点（1，-1）

∴1=x 1-=y 满足上式 即023=+-a b a b a =∴ 又 直线023=++a by ax 的斜率b a k 3-= 3

1

-=∴k 答案为： A

3.直线x +6y +2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是-----------------------------（ ） A.21

3, B.--213, C.--1

2

3, D.－2，－3

【略解】：直线x +6y +2=0的变形为：

13

12=-+-y

x

∴直线在x 轴的截距是-2 直线在y 轴上的截距是3

1-

。

或者（方法二）：当0=x 时，31-

=y ，说明直线在y 轴上的截距是3

1

-； 当0=y 时，2-=x ，说明直线在x 轴的截距是-2。

答案为：B

4.若直线1l ：y ＝kx －1与直线2l ：x ＋y －1＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是

( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－∞，－1]

C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

【略解】：由题意得：???=-+-=011y x kx y ???

????>+-=>+=∴0

11012k k y k

x

?

??>->∴11

k k 1>∴k 。

答案为：C

二、填空题：

5．设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为 。

【略解】： A 、B 为x 轴上两点，|PA |＝|PB |

∴0=+AP PB k k 1-=∴PB k

又P (2，3) PB ∴直线方程为：)2(3--=-x y 从而得出结果。 答案为： 05=-+y x

6.过两点(－1,1)和(0,3)的直线在y 轴上的截距为 。

【略解】：直线方程为：)0()

1(01

33----=

-x y 即x y 23=-

当0=x 时3=y ∴该直线在y 轴上的截距为3.

答案为：3

7.已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)(a 1≠a 2)的直线方程为 。

【略解】： 两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)

013211=++∴b a 013222=++b a 0)(3)(22121=-+-∴b b a a 3

2

2121-=--=

∴a a b b k

∴过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)(a 1≠a 2)的直线方程为：

)(3

2

22a x b y --=- 即：0323222=--+b a y x

又 13222-=+b a ∴ 所求直线方程为：0132=++y x .

答案为：0132=++y x

8.已知直线l 过点)1,4(P ，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的方程为 。

作出简图：

【略解】：设点A 的坐标为)0,(a )0(>a ，点B 的坐标为),0(b )0(>b

则直线AB 的方程为：1=+b

y

a x 又直线l 过点)1,4(P ∴114=+

b a 又三角形面积公式为82

1

==?ab S OAB 解之得：2,8==b a

12

8=+∴y

x l 的方程为：直线 即：084=-+y x

答案为: 084=-+y x

三、解答题：

9. 已知直线l 方程21)y x -=-过点(1,2)P ，求过点P 且与直线l 所夹的锐角为30的

直线m 的方程．

作出简图：

【解】： 直线l 的斜率为3 ∴直线的倾斜角为?

60

由题意得：直线m 的倾斜角为?

30或?

90. （1）当m 的倾斜角为?

30 3

3

30tan =

=?k m ∴的方程为：)1(3

3

2-=

-x y 即06333=+--y x . （2）当m 的倾斜角为?

90 m ∴的方程为：1=x

m ∴的方程为：06333=+--y x 或1=x .

10.已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，求OAB S ? 面积的最小值.

作出简图：

【略解】：设点A 的坐标为)0,(a )0(>a ，点B 的坐标为),0(b )0(>b

则直线AB 的方程为：

1=+b

y

a x 又直线l 过点)1,2(P ∴112=+

b a 三角形面积公式为ab S OAB 2

1

=? b

a b a 122112?≥=+

8≥∴ab 42

1

≥=

∴?ab S OAB .4最小值为O A B

S ?∴

11.过点P (3,0)作一直线m ，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线m 的方程。

作出简图：

【解】：设在直线l 1上的点A 的坐标为),(b a 则022=--b a 再设直线l 2上的点B 的坐标为),(y x 则x ＋y ＋3＝0

???

????+=+=∴2023y b x a ???-=-=∴b y a x 6

∴ 03)(6=+-+-b a 9=+∴b a

解上述两个方程，得出311=a 316=b ∴点A 的坐标为)3

16

,311(

∴所求直线AB 的方程为：)3(33

110

3160---=-x y

即：248-=x y

12.设直线l 的方程为62)12()32(2

2-=-+---m y m m x m m .根据下列条件分别确定

实数m 的值.（1）在x 轴上的截距是-3；（2）斜率是-1.

【解】：（1）在x 轴上的截距是-3. 由题意得：当0=y 时，3-=x

62)32(32-=---∴m m m

解之得：3

5

3-==m m 或

当3=m 时，0200=-y x 不合题意舍去；当3

5

-

=m 时，符合题意； 3

5

-=∴m .

（2）斜率是-1.

即1-=-=B A k 1)12(322

2-=-+----∴m m m m （0122

≠-+m m ） 3

4

=

∴m 不合题意舍去）（1-=m .

课堂总结：

1、 掌握直线方程的几种形式：

⑴两点式： ； ⑵点斜式： ；