《二次根式》说课稿
16.1 二次根式(2)
一、教材分析与处理
(一)教材的地位和作用:《二次根式》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册第十六章第一节.二次根式是在学习平方根基础上将具体数字抽象化,并且基于学习二次根式定义的基础上对二次根式的性质进行进一步的探究,本节课为学习二次根式的计算等知识做好了铺垫.
(二)教学目标:
知识与技能目标:a≥0)是一个非负数,掌握2=a(a≥0)
并利用它们进行计算和化简.
过程与方法目标:(a≥0)是
2=a(a≥0),运用结论解题;通
过具体数据的解答,探究=a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题.情感与价值目标:通过本节课的学习培养学生准确计算和化简的严谨的学习精神,培养学生观察、分析、发现问题的能力,并且通过探究感受学习的乐趣和获得成果的成就感,进一步增强学生自主参与意识. .
(三)教学重点与难点:
1.重点:a≥0)是一个非负数,并利用它们进行计算和化简.
2.难点:
二、学生情况分析及对策
八年级学生已经学习了算数平方根,而且基本能够理解算数平方根的意义,并且能根据算数平方根进一步扩展探究二次根式的定义及二次根式有意义的条件,但是对于二次根式的意义及运算结果探究不深,而且有些同学不能深入理解二次根式的意义,这样学习本节课就产生了一定的困难.根据学生的实际情况和特点,我采取由特殊到一般,有简到难逐一探究、突破难点的教学方法进行本节课的教学.
三、教法与学法
1.教法:回顾旧知探究新知,教师设计情境,提出问题,引导学生通过观察,由具体到抽象,得到二次根式的性质,培养学生由特殊到一般的思想方法,先大胆猜想,再进一步探究,最终得到结论,并借助多媒体演示教学,增强课堂实例的直观性和启发性.
2.学法:通过观察、猜想、分析、自主探究,得出二次根式的性质,增强数学思维能力.
3.教学手段:借助电脑多媒体课件及视频辅助教学。
目的是为了增强教学直观性、实效性,提高教学效率。
四、教学过程设计
预习任务
任务1 阅读教程P3-P4,思考:二次根式的性质是什么?
任务2 如何对2a进行化简?
一、回顾旧知,引入新课
知识回顾
(1)形如)0
(≥
a
a的式子叫做二次根式.
(2)二次根式有意义的条件:被开方数为非负数.
(3)如果一个正数的平方等于a,那么这个数叫做a的算术平方根.
设计意图:复习二次根式和算数平方根的定义,加深对二次根式和算术平方根的理解.
二、探究新知,运用新知
活动一: 性质1的探究
探究1 根据算数平方根的意义填空:
学生通过计算得出答案,并且教师播放微视频,进一步追问:由此你能得出什么结论?
教师利用多媒体展示问题,
设计意图:学生通过观察、大胆猜想结论、再验证自己的猜想,随后得出结论,培养学生科学探究的思维习惯.
活动二:性质1的运用
例2 计算:
学生独立完成计算,教师利用多媒体展示答案.
设计意图:通过计算例题,学生能利用二次根式性质1快速求解,灵活运用所学知识快速解决问题,并且加强了计算能力.
活动三: 性质2的探究
探究2 填空:
教师利用多媒体先展示问题,学生独立完成填空,得出答案,并且教师播放微视频,进一步追问由此可以得出什么结论,学生通过观察、猜想、验证得出结论;
设计意图:学生通过自己独立探究解答问题,并且得出二次根式性质2.
活动四:性质2的运用
例3 化简:
学生独立完成化简,可以利用旧知识完成,也可以运用新学习的二次根式性质2完成.
设计意图:一题多解,可以比较求解方法的难易,进而选出最快的求解办法,让学生意识到解决问题可以选择多种办法,增强学生的发散思维.
活动五:性质2的拓展
思考:
你认为,当a<0时,()=2a_________.
2,即
设计意图:增强学生对分类讨论解决问题的意识.
活动六:性质2的拓展巩固
1.说出下列各式的值:
(2) (3) (4) ()210-
设计意图:提高练习难度,遵循循序渐进的方法.
活动七:合作探究两个性质的区别
教师趁热打铁,提问二次根式的性质1和性质2有什么相同点和不同点?教师播放微视频. 学生比较性质1、2,发现不同点和相同点,并且概括出来.
设计意图:
的观察能力和语言表述能力.
活动八:新知再学习
教师指出:我们学过的式子都是用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数字或表示数字的字母连接起来的,我们称这样的式子为代数式.
三、反馈练习,巩固新知
活动九:新知强化训练
教师利用多媒体展示3道练习题.
设计意图:巩固所学二次根式的性质,并且灵活运用二次根式的性质解题.
四、归纳总结,形成能力
请谈谈本节课学到了什么知识?
设计意图:以问题的形式回顾本节课所学的知识,并且锻炼学生的语言表达能力.
五、分层作业,各有收获
考虑到学生的个体差异,为促使每一个学生得到不同程度的发展,同时促进学生对自己的学习进行反思,作业布置如下
1.必做题:
教材第5页习题16.1第2、4题.
2.选做题:
教材第5页习题16.1第7、8、9题
设计意图:巩固二次根式性质的运用.作业分为必做题和选做题,选做题为有余力的学生加以提高.
六、教学评价分析:
本节课教学设计主要是让学生通过自己的实践探究得出结论,通过探究、猜想、验证,从具体到抽象,从特殊到一般归纳出二次根式的性质,并且通过适量的计算化简感受二次根
式性质的应用.为了拓展学生的视野,
具体到抽象的思想方法以及分类讨论的思想方法,进一步激发学生的求知欲,提高学生的学
习能力,发展学生独立学习的品质.在教学过程中,学生容易与
.
培优专题:二次根式
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地,我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式,其中0 a≥。 根据二次根式的定义,我们知道:被开方数a的取值范围是0 a≥,由此我们判断下列式子有意义的条件: 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出: (0) a a =≥,在此我们可将其拓展为: a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () (1)、根据二次根式的这个性质进行化简: ①数轴上表示数a 的点在原点的左边,化简 2a ②化简求值: 1 a a= 1 5 ③已知, 1 3 2 m -<< ,化简2m ④______ =; ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. (2)、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-,则x的取值范围是___________. ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二.二次根式a的双重非负性质:①被开方数a是非负数,即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数,即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义,则x 应满足( ). A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .2 1 <x ≤3 例2(1)化简x x -+-11=_______. (2) x +y )2,则x -y 的值为( ) (A)-1. (B)1. (C)2. (D)3. 例3(1)若a 、b 为实数,且满足│a -2│+2b -=0,则b -a 的值为( ) A .2 B .0 C .-2 D .以上都不是 (2)已知y x ,是实数,且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数,求实数x y 的倒数。 三,如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时,有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识,这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值,可将其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数,根号前的符号不会发生改变;如果根号外的式子为负值,那么要先将根号前的符号变号,再将其其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、 根据上述法则,我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内: ①- ②(a -(2)、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四,拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分,应先判断已知实数的取值范围,从而确定其整数部分,再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例:(1)1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求ab —b 2的值。 (2)若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 (3 a ,小数部分为 b ,求a 2+b 2 的值。 (4)若________a a b a b ==是的小数部分,则。 5a a b -(的整数部分为a ,小数部分为b ,求的值。 2、巧变已知,求多项式的值。 32351 x x x x = +-+(1)、若的值。
二次根式与带有二次根式的方程
课题 二次根式与带有二次根式的方程 一、知识回顾 1、 例题 二次根式的混合运算 例1、计算与化简:113(184)18(32)2332 -+÷-÷+- 思维训练 1、计算(1)1211 2632122 3336 ---- (2)2 3 7(83)(4)(0)b a ab a b a b a a b a ---> (3)()ab ab a ab a b a ab --÷ -+(其中a>0,b>0,a ≠b ) 化简求值 化简求值时,一般是要把原式化简到最简,然后再代入求值 例2、已知223 a =+,求222168816 44a a a a a a a -+-+- -- 思维训练2、(1)已知,求2232421 x x x x --+- (2)11,5353 a b = =-+,求2 ()a b +的值。
(3)如果11123 a b -=+,32a b -=-,那么a 、b 两数有什么关系?为什么? 0的形式 一般情况下a (0a ≥)当一个式子中含有a a +-或a a --时,则a=0, 例3、若x 、y 为实数,已知22448 2 x x y x ---+=-,求3x y - 思维训练3、(1)若x 、y 为实数,且1 12214 y x x =-+-+ ,求;2x y + (2)已知a 、b 是实数,且,解关于x 的方程 (3)已知3 303 x y -+-=,求22 311y x y x x +-++的值。 2()a b c +的形式,(其中a 、b 、c 为常数) 当 里面含有二次根式时,一般考虑把根号里的被开方数化成完全平方的形式。 例4、化简423+ 思维训练4、化简(1)526+ (2)743-
(二次根式)
2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 二次根式 ◆知识讲解 1.二次根式 a≥0)叫做二次根式. 2.最简二次根式 同时满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不含根号);②被开方数中含能开得尽方的因数或因式.这样的二次根式叫做最简二次根式. 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式. 4.二次根式的性质 2=a(a≥0); │a│= (0) 0(0) (0) a a a a a > ? ? = ? ?-< ? ; (a≥0,b≥0); =b≥0,a>0). 5.分母有理化及有理化因式 把分母中的根号化去,叫做分母有理化;两个含有二次根式的代数式相乘,?若它们的积不含二次根式,则称这两个代数式互为有理化因式. 6.二次根式的运算 (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
◆例题解析 例1 填空题: (1-, 其中是二次根式的是_________(填序号). (2 x 的取值范围是_______. (3)实数a ,b ,c a -b │. o 【解答】(1)1) 3) 4) 5) 7). (2)由x -3≥0-2≠0,得x ≥3且x ≠7. (3)由图可知,a<0,b>0,c<0,且│b │>│c │ -a ,-│a -b │=a -b a - b │. 例2 选择题: (1)在下列各组根式中,是同类二次根式的是( ) A B C (2)在根式1) ,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) (3)已知a>b>0,的值为( ) A .2 B .2 C D .1 2 【解答】(1A 错.
二次根式易错题集知识讲解
二次根式易错题集 一、二次根式的概念: 二次根式的性质: 1.()0≥a a 是一个非负数。 2.()02≥=a a a 3.()()???-≥==002 a a a a a a 错题: 1.=25 5 2.()=-23 -(-3)=3 3.()=--2 1255-1=4 4.() =2 63()5469632 2 =?=?或()=2 63()()5454632 2 2 ==? 5.() =-- 2 666-=-- 6.= -2 5 5151512 2=?? ? ??= 7.根据条件,请你解答下列问题:(1)已知n -20是整数,求自然数n 的值; 解:首先二次根式有意义,则满足,020≥-n 所以,20≤n 又因为n -20是整数,所以根号内的数一定是一个平方数,即n -20必定可化为()0,202≥=-a a a n 且为整数这种形式,即 ()0,202≥=-a a a n 且为整数。所以满足条件的平方数2a 有0,1,4,9,16。所以.4,11,16,19,20=n (2)已知n 20是整数,求正整数n 的最小值 解:因为n 20是整数,所以根号内的数一定是一个平方数,即n 20必定可化为()为整数a a n 220=这种形式,即()为整数a a n 220=,而()为整数a a n 25420??=,4可以开平方,剩下不能开平方的数5,所以正整数n 的最小值就是5,因2555=?能被开平方。所以我们要把常数先进行分解,把能开平方的数分解出来,剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数,而字母的最小值就是这个不能 开平方的数。 7-2.(2)已知n -12是正整数,求实数n 的最大值; 解:因为n -20是正整数,所以满足,012 n -所以,12 n 所以根号内的数一定是一个平方数,即 n -20必定可化为()0,202 a a a n 且为整数=-这种形式,即()0,202 a a a n 且为整数=-。所以满足条件的平方数2a 有1,4,9。所以.3,8,11=n 最大值为11. 易错点:1.在计算或求值时,容易疏忽()0≥a a 是一个非负数。 2.在开方时,易出现()02 a a a =的错误。 3.二次根式的三个性质是正确进行二次根式化简、运算的重要依据。它们的结构相似,极易混淆,因此同学们必须弄清它们之间的区别与联系
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算