等比数列的概念教学设计1.0
《等比数列的概念》教学设计
【教材分析】
【学情分析】
【教学目标】
【教学重难点】
【教学过程】
一、情景引入
播放视频“校园贷事件”。
师引导：为什么那么多中学生会轻信校园贷，卷入校园贷的风波呢？周老师认为，那是因为他们没有学好等比数列的概念也就是今天的这一课，要是学好了它，那么你的上当受骗率将会大大降低！那么我们就开始今天的课程。（师板书课题）
双12期间，小明第一天在网上买了价值200元的东西，第二天买了250元，第三天300元，以此类推，持续了一星期，请用数列表示每天花费的钱。
之后，小明同学不堪累累负债，在校园贷上以每月3分利（每月收取本金的30%）借款3000元，利息按每月结算，请用数列表示借贷后前六个月每月的本息。
预设：数列一：200,250,300,350,400,450,500
数列二：5
23.1
4
3
?
?
?
，
，
，
?，
3000?
3000
3.1
3000
3.1
3.1
3000
3000
3.1
第一个数列是什么数列？它有什么特点？
第二个数列和第一个数列相比，有什么特点？
数列三：2，4，8，16，32，··· ， 数列四：162
15411816121，，，，，···，
师问：数列三、四有什么特点？
数列二三四后一项与前一项的比值恒为一个定值，这个数列叫做等比数列。
【设计理念】
二、创设新知
（一）等比数列的概念
等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母 q(q ≠0)表示。
数学语言: {}{}为等比数列。则数列
为常数，且（若对于数列n n
n n a N n q q q a a a ),,0,*1∈≠=+练一练：判断下列数列是等比数列吗？如果是，求出公比q 。
（1）1，-3,9，-27，···
（2）2,4,8,1,3,9，···
（3）a,a,a,a,a,···
（4）1,0,1,0,1，···
（5），，，，，16
18141211···
（二）等比数列的通项公式
猜一猜：如果等比数列??????,,,,,,4321n a a a a a 的首项为1a ，公比为)0(≠q q ，那么q a a 12=
2123q a q a a ==
3134q a q a a ==
···
？=n a
由此，猜一猜等比数列{}n a 的通项公式：
11-=n n q a a ，其中0,01≠≠q a
证一证：（类比等差数列通项公式的证明过程—累乘法） 第一步：写一串 q a a 12=→
q a a =12 q a a 23=→q a a =2
3 q a a 34=→
q a a =34 ··· ···
q a a n n 32--=→q a a n n =--3
2 q a a n n 21--=→
q a a n n =--21 q a a n n 1-=→q a a n n =-1
第二步：各式相乘 11
21-32-342312----=???????n n n n n n n q a a a a a a a a a a a a 第三步：化简：
11-=n n q a a 即
11-=n n q a a ，其中0,01≠≠q a
师：公式里有几个未知项？
预设：n q a a n ,,,1
师：确定了什么，就可以确定一个等比数列的通项公式？
预设：q a ,1
师：确定了通项公式之后，再知道什么，就可以求出该数列的任意一项？n a n 与之间有什么关系？
预设：一一对应。
师：具体来讲，就是对于任意的n ，都有唯一确定的n a 与之对应，这
种关系又叫做 ？
预设：函数关系。
（三）等差数列与等比数列的对比
【设计理念】
三、巩固练习
例1 . 求等比数列4,2,1，2
1的第6项和第9项
师：本题考到了等差数列的通项公式，在本题中，n q a a n ,,,1四个未知项，当我们知道几个，求可以求出全部
预设：知道3个，求出剩下的一个。
师：知三求一。 练习一：求等比数列2，1，
22...,的公比q ，通项公式，第5项
例2 . 已知一个等比数列的第7项是12，第9项师27，求它的第一项和第二项。
师：本题考查了在不知道首项的情况下，列出方程组求出公比q 和首项1a ，再写出通项公式，求出第二项。
练习二：等比数列{}n a 的第2项是2，第5项是54，求第一项和公比。
例3：在2和8之间插入一个数G ，使得2，G ，8成等比数列，求G 的值。
一般地，如果a ，G ,b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项。
如果G 是a ，b 的等比中项，那么G
b a G ≡即 ab G =2（或ab G ±=）
练习三：求下列各组的等差中项和等比中项。
（1）2和18 （2）3-2与32+
练习四：在8和200之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的这3个数
四、课堂小结
这节课你收获了什么？
励志小故事：
每天进步百分之一的人，他的成就数列为：
3201.1,01.1,01.1 ......
一年后，该项为8.3701.1365=
每天退步百分之一的人，他的成就数列为：
3299.0,99.0,99.0
一年后，该项为03.099.0365=
等比数列教学设计
第五届全国高中青年数学教师优秀课大赛 教学设计 课题: 等比数列 (第一课时) 执教人: 韩灵 单位: 山西省太原市育英中学
1.1.1 正弦定理 教学目标︰ 1、通过实例，理解等比数列的概念 通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程。 2、 探索并掌握等比数列的通项公式 通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，通过与指数函数的图象类比，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。 3、 通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。 教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一， 探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点：等比数列与其对应函数的关系。 教学过程： 一、 创设情境,引入新课 在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，今天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例1。 ● 实例分析1：在《数学3》(必修)中，我们认识了二进制数。它是一串由“0”和“1”构 成的数。计算机存储数据时就是以二进制数的形式储存的。计算机存储的最基本单位是“位(bit)”，每一位只能存储一个“0”或一个“1”，所以1个位可以存储0、1两种不同的信息.如果有2个位，就可以存储00、01、10、11四种不同的信息.我们记n 个位共能储存的不同信息 n a 种，写出{ n a }的前5项。 【老师】首先请一位同学读题，最后一句话说的是什么含义呢？老师引导学生分析本题的含义，并画出树状图形象的表示。 【学生】通过观察，分析，理解题意，从而得到{ n a }的前5项为2,4,8,16,32。 ① ● 实例分析2：公元前5至前3世纪，中国战国时，《庄子》一书中有“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？ 【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。
等比数列教学设计(共2课时)
《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比
等比数列求和教案
《等比数列的前n项和》教学设计 教材：人教版必修五§2.5.1 教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n项和公式并能运用公式解决一些简单问题； （2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方 法，渗透方程思想、分类讨论思想； （3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n项和公式； （2）等比数列的前n项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教具：多媒体 教学过程： 一、复习提问 回顾等比数列定义，通项公式。 （1）等比数列定义：（， （2）等比数列通项公式： （3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。 二、问题引入： 阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨： 问题：如何求等比数列的前n项和公式 回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 （1）
（2） （1）+（2）得： 探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？ 学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。 探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？ 根据等比数列的定义： 变形： 具体： …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现： 由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。
等比数列的定义教学设计
等比数列的定义 广州市财经职业学校公共基础教学部丁勇 【授课班级】：10级会计17班 【学生人数】：55人 【授课使用的教材】：中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学基础模块（下）》【教学内容】：等比数列的定义 【教学目标】： 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题。 2.通过等比数列的研究逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。培养学生发现并解决问题的数学建模能力及运用方程思想计算的能力。 3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度。 【教学重点、难点】： 教学重点是等比数列的定义和等比数列通项公式的认识与应用。等比数列是一类特殊的数列，可以类比等差数列的学习方法来探究等比数列的特性。 教学难点是等比数列通项公式的形式及应用。 【教学方法】：探究式教学法，小组合作学习 【媒体选择】：Powerpoint制作的多媒体课件一套 【教学教具】：计算器、报纸若干 【教学过程】 一、复习提问 问题一：等差数列的定义？ 问题二：等差数列的通项公式推导？ 设计意图：通过复习等差数列知识，为本课等比数列的讲授做铺垫。便于学生将旧知识与新知识进行类比，利用熟悉的知识分散难点。 二、导入新课 问题一、细胞分裂：一个细胞，每隔一分钟后一分为二，第五分钟后有几个细胞？ 问题二、阅读课本趣味小故事。 引导学生通过“观察、分析、归纳”得出等比数列的定义及通项公式。教师用课件演示细胞分裂（草履虫细胞分裂短片），调动学生的积极性，并由此引导学生探寻等比数列的定义及通项公式。 设计意图：由特殊到一般，由具体到抽象，由低级到高级的顺序引出定义，学生易于接受。形象生动的视频资料便于学生对于问题一的理解分析。趣味性的问题可以提高学生的学
等比数列求和教案
课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标
●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程
等比数列求和(详细教案)
课 题 等比数列求和 学习内容与过程 知识点 1.等比数列前n 项和公式 （1）当{ EMBED Equation.3 |1 q 时， ① 或 ② （2）当q=1时， 注意：（1）知三求二：, q, n ，，五个中知道任意两个便可建立方程组求出另外两个； （2）当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②. （3）在判断是否为等比数列时需要注意讨论q 是否为零，例如a ，a ，a ，...；在利用等比数列求和公式时，需要讨论的是公比q 是否为1，例如 （4）等比数列求和公式的函数理解：当时，，它可以看作指数函数与常数函数的复合函数 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列它的前n 项和是 由 得 ∴当时， ① 或 ② 当q=1时， 公式的推导方法二： 有等比数列的定义， 根据等比的性质，有 即 （结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三： ＝ ＝＝ （结论同上） 例1 已知等比数列的前n 项和为，若，求数列的公比 （答案：） 变式1：求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和. 解：由 ， 从第5项到第10项的和为-=1008 变式2：一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？ 解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列 则：一天内获知此信息的人数为： 变式3：等比数列中， （答案：） 2. 等比数列前n 项和的性质 （1）在等比数列中，，...，也成等比数列，公差为
注意：是，...，成等比数列，而不是，...； （2）若项数为2n ，则 （3） （4）为等比数列 例2 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数 （答案：2,8） 变式1 一个项数是偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求 变式2 设是由正数组成的等比数列，是其前n 项和，证明；（2）求证：等比数列中有 变式3 已知等比数列中，求 3.等比数列常见应用题： ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为： .)1(1] )1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++- ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款： )1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1] )1(1)[1(12r r r a +-+-+. ⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率. ()()()()()()()()1111111......11121-++=?-+=+?++++++=+--m m m m m m m r r ar x r r x r a x r x r x r x r a 例3 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2009年起，每年年初到银行存入a 元，年利率p 保持不变，并按复利计算，到2019年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？
等比数列的定义(教案)
6.3.1 等比数列的定义 教学目的： 1．正确理解等比数列的定义；明确1n n a q a +=(不为零的常数)的意义； 2．培养学生的观察能力、归纳能力和解决问题的能力. 教学重点：等比数列的定义. 教学难点：定义的理解． 授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教学设计： 本节的主要内容是等比数列的定义，等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导． 等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:q a a n n =+1(常数). 例1是基础题目，有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a ，q ，n ，n a ，只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意：例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法. 从例4可以看到，若三个数成等比数列，则将这三个数设成是 a q ，a ，aq 比较好，因为这样设了以后，这三个数的积正好等于3a ，很容易将a 求出. 教学过程： 一、创设情境、兴趣导入： 观察 1. 将一张纸连续对折5次，列出每次对折纸的层数. 第1次对折后纸的层数为1×2=2（层）；第2次对折后纸的层数为2×2=4（层）； 第3次对折后纸的层数为4×2=8（层）；第4次对折后纸的层数为8×2=16（层）；
等比数列教学设计
等比数列 一教案描述 1.教案的背景 等比数列是另一类重要的特殊数列，研究方向、内容、方法与等差数列类似。首先，归纳出等比数列的定义，再导出等比数列的通项，最后是应用。我在教学设计中，通过创设一系列的问题情境把这些内容有机地串联起来，整个过程如一次重大战役，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的展开，增强创新意识的培养。 教学目标 (1)理解等比数列的定义及通项公式。掌握通项公式的推导方 法 （2）通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。 （3）通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。 2.教学过程设计 2.1创设情境，自学质疑 教师先借助电脑投影几个数列 ①-2,1,4,7,10,13,16,19,… ②8,16,32,64,128,256,… ③3,3,3,3,3,3,3,… ④243,81,27,9,3,1, , ,… ⑤31,29,27,25,23,21,19,… ⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,… ⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,… 然后提出下列问题 问题1：①我们已学过等差数列，以上数列哪些是等差数列？②如果不是，那么数列的后一项与前一项又具有怎样的共同特征？③能为这类数列命名吗？ 设计意图：是让学生体验类比及从特殊到一般和从一般到特殊的思想方法.这里教师的任务是：展示创设的问题情境，为学生观察、思考、讨论、交流等学习活动提供材料。 2.2合作交流，互动探究 （1）等比数列的定义 问题2：类比等差数列的概念，归纳等比数列的定义 讨论结果：①相邻两项的商是一个常数 ②每一项与前一项的比是同一个常数 ③从第二项起，后一项与前一项的比是同一个常数 对于这一问题，有了等差数列的基础，学生是可以概括出来的，尽管总结的语言很可能不太理想，教者也不要着急地照本宣科或越俎代庖，要相信学生在经历了一番挫折后会逐步完善他们的表达语言，
高中数学人教版必修等比数列教案(系列三)
课题: 2.4等比数列 授课类型：新授课 （第1） ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表
示（q ≠0即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q ) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2? 隐含：任一项00≠≠q a n 且 “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3? q = 1时，{a n }为常数。 2.等比数列的通项公式1: )0(111≠??=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===； … … … … … … … )0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 3.等比数列的通项公式2: )0(11≠??=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究：课本P56页的探究活动等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： 等比数列｛n a ｝的通项公式)0(111≠??=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x a y q q =（q >0）上的一些孤立的点。 当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a >，01q <<时，等比数列｛n a ｝是递减数列； 当10a <，q >1时，等比数列｛n a ｝是递减数列； 当0q <时，等比数列｛n a ｝是摆动数列；当1q =时，等比数列｛n a ｝是常数列。 [范例讲解] 课本P57例1、例2、P58例3 解略。 Ⅲ.课堂练习
等比数列的概念教学设计
《等比数列的概念》教学设计方案 教学目标 1.通过教学使学生理解的概念，推导并掌握通项公式. 2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力. 3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度. 教学重点，难点 重点、难点是的定义的归纳及通项公式的推导. 教学用具 投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讨论、谈话法. 教学过程 一、提出问题 给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片） ①－2，1，4，7，10，13，16，19，… ②8，16，32，64，128，256，… ③1，1，1，1，1，1，1，… ④243，81，27，9，3，1，，，… ⑤31，29，27，25，23，21，19，… ⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，… ⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，… ⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为）. 二、讲解新课 请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——. （这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步） （板书） 1.等比数列的定义（板书） 根据与等差数列的名字的区别与联系，尝试给下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出的定义，标注出重点词语. 请学生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是，当时，它只是等差数列，而不是.教师追问理由，引出对的认识： 2.对等比定义的认识（板书） （1）的首项不为0； （2）的每一项都不为0，即；
等比数列的概念(教案)
等比数列的概念 亳州三中 范图江 一、教学目标 1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。 二、教学重点、难点 重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。 难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。 三、教学过程 1、 导入 复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系 2、 探究发现，建构概念 问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗是什么 <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么也就是，这个公式在什么条件下成立 结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。 带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、 运用概念 例1 判断下列数列是否为等比数列： （1）1、1、1、1、1； （2）0、1、2、4、8； （3）1、11 1124816 -、、-、.
分析 （1）数列的首项为1，公比为1，所以是等比数列； （2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列； （3）数列的首项为1，公比为12- ，所以是等比数列. 注 成等比数列的条件：11;20;30n n n a q a q a +=≠≠. 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列： （1）1、2、1、2、1； （2）-2、-2、-2、-2； （3）11111392781--、、、、； （4）2、1、12、14、0. 分析 （1）3122122 a a a a ==，，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列； （2）首项是-2，公比是1，所以是等比数列； （3）首项是1，公比是13 -，所以是等比数列； （4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列. 例2 求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a ，8； （2）- 4，b ，c ，12 . 分析 在做这种题的时候，可以根据等比数列的定义，列出一个或多个等式来求解。 （1）8442a a a ==-，解得或； （2）22442,,1122b c b b c b c b c c c b ?=?-?=-=??????=-=????=??化简得解得. 例3等比数列{}n a 中， ①a 3=4，a 5=16，求a n ②a 1=2，第二项与第三项的和为12，求第四项。 随堂练习 P23练习题。 思考 由前面的练习5，等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 212321234321, , , a a q a a q a q a a q a q a q ====== …… 以此类推，可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗
等比数列的性质教学设计
3.1.2等比数列性质 【课程分析】等数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的性质。 【学情分析】学生已经学习了等差数列，对于等比数列学生对比等差数列学习较容易接受。 【学习目标】掌握等比数列的性质 一．导入新课 （一）回顾等比数列的有关概念 （1） 定义式：32121 (0)n n a a a q q a a a -====≠ （2） 通项公式：11n n a a q -= 导入本课题意：与等差数列类似，等比数列也是特殊的数列，它还有一些规律性质，本节课，就让我们一起来探寻一下它到底有一些怎样的性质。 二．推进新课 题：就任一等差数列｛a n ｝，计算a 7+a 10和a 8+a 9，a 10+a 40和a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律作一般化的推广吗？类比猜想一下，在等比数列中会有怎样的类似结论？ 引导探：… 性质1（板书）：在等比数列中，若m+n ＝p+q ，有a m a n ＝a p a q 探究二. (引导学生通过类比联想发现进而推证出性质2) 已知｛a n ｝是等比数列. （1）2537a a a =?是否成立？2519a a a =?成立吗？为什么？ （2）211(1)n n n a a a n -+=?>是否成立？你据此能得到什么结论？2()n n k n k a a a n k -+=?>是否成立？你又能得到什么结论？) 合作探：… 性质2（板书）：在等比数列中2()n n k n k a a a n k -+=?>（本质上就是等比中项） 探究三：一位同学发现：若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则232,,k k k k k S S S S S --也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？ 性质 数列{}n a 是公比为q )0(>q 的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项之和，则新构成的数列,......,...,,,)1(232n k kn n n n n n S S S S S S S ----仍为等比数列，且公比为n q 证明 ①当1=q 时，1na S n =， 则1)2()1()1(1 11111)2()1()1(==-----=-----na na na k na k na k kna S S S S n k n k n k kn （常数），所以数列}{)1(n k kn S S --是
高一数学：等比数列的前n项和(教案)
高中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 高中数学 / 高一数学教案 编订：XX文讯教育机构
等比数列的前n项和(教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于高中高一数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 教学目标 1.把握等比数列前项和公式,并能运用公式解决简单的问题. (1)理解公式的推导过程,体会转化的思想; (2)用方程的思想熟悉等比数列前项和公式,利用公式知三求一;与通项公式结合知三求二; 2.通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 3.通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的练习,培养他们实事求是的科学态度. 教学建议 教材分析 (1)知识结构 先用错位相减法推出等比数列前项和公式,而后运用公式解决一些问题,并将通项公式与前项和公式结合解决问题,还要用错位相减法求一些数列的前项和.
(2)重点、难点分析 教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想,错位相减法等),这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及,所以对等比数列前项和公式的要求,不单是要记住公式,更重要的是把握推导公式的方法. 等比数列前项和公式是分情况讨论的,在运用中要非凡注重和两种情况. 教学建议 (1)本节内容分为两课时,一节为等比数列前项和公式的推导与应用,一节为通项公式与前项和公式的综合运用,另外应补充一节数列求和问题. (2)等比数列前项和公式的推导是重点内容,引导学生观察实例,发现规律,归纳总结,证实结论. (3)等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出,提高学生学习的爱好. (4)编拟例题时要全面,不要忽略的情况. (5)通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量,但解指数方程难度大. (6)补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题. 教学设计示例
等比数列教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
七年级思品《创建新集体》教案 目标预设： 知识与能力：通过教学使学生认识到集体的重要性。树立共同的目标，各尽所能，发挥所长，奉献集体。 过程与方法：通过学生对心目中班集体的描绘，让学生了解到加强集体观念的重要性。 情感态度与价值观：使学生明白只有每个人热爱集体，团结协作、互相帮助、互相支持，创建出优秀的班集体，才能在集体中不断成长成材。 教学重难点： 重点：如何创建新集体 难点：如何创建新集体 教学准备：多媒体、图片、粉笔,学生课前准备好展示才艺的道具 教学过程： 一、导入新课 踏入初中生活，当每一位同学熟悉了新的班级、新同学之后，一个新的集体也就诞生了。通过学习，你们打算怎样去创造一个大家都为之自豪的班集体呢？ 二、新授 师：集体是个人成长的园地，我们知道一个良好的班集体对个人的成长发展确实太重要了，那么，同学们心目中的班集体是什么样子的？ 板书课题创建新集体 （一）共同的目标，前进的动力（板书） 活动1 想一想：你最喜欢的班级是怎样的？并说出自己的理由。（师生交流） 填一填： 我希望生活在、、的班集体中，因为在这样的集体中，我们。因此，我们都愿意生活在一个集体中。 提示：(1)可用“健康、活泼、团结、和谐、民主、奋进”或“目标一致，团结互助，人尽其才，民主和谐”之中任意三个词来描绘最喜欢的班级。因为，它能激发我们对学校生活的热爱，有助于同学间融洽关系的形成和纯洁友谊的建立，能为我们提供团结奋斗的不懈动力，能让我们认识到自己之所长，发挥自己的闪光点，能促进我们沟通协作、相互配合，在集体中不断成长。(只要言之有理即可) 师：我们生活在一个班级中，如果没有共同的期望，各想各的，各做各的，班级就像一盘散沙，不可能成为我们为之自豪的集体。所以我们首先要通过讨论总结出最喜欢的班级的模样，这样我们就有了共同的目标，就可以让我们的集体向着我们理想的方向发展，而共同的目标自然也就给了我们团结奋斗的不懈动力。 活动2 分组讨论：为创建优秀班集体提建议，并填表 我们心目中班集体的特点 创建优秀班集体可采取的措施 师：当然要想创建一个优秀的、理想的班集体并不是一件容易的事，这需要我们大家的共同努力：各尽所能，发挥所长，奉献集体 （二）各尽所能，发挥所长，奉献集体（板书） 活动3 看看你有哪些才智能为集体建设弹奏出美妙的“音符”。 如:我很热心，所以我可以做班级的收信员。
等比数列前n项和优秀教案
等比数列的前n项和 一、教学目标 1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。 二、教学重点与难点 重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 三、教学设想 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下： 四、教学过程 （一）创设问题情景 课前给出复习：等比数列的定义及性质 课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同
学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！] （二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出： 穷人30天借到的钱：4652 30)301(3021'30=?+=+++= S （万元） 穷人需要还的钱：=++++=292302221 S ? [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探 究， 292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到 302923022222++++= S ② 若②式减去①式，可以消去相同的项，得到： 1073741823 123030=-=S (分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元） 答案:穷人不能向富人借钱 （三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前n 项和公式？（学生很自然地模仿 以上方法推导） )1(11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S )2(111211n n n q a q a q a q a qS ++++=- （1）-（2）有n n q a a S q 11)1(-=- 推导等比数列前n 项和n S 的公式，教师引导讲完课本上的推导方法 后， 教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发 言） ?? ???≠--=--==1,11)1(1,111q q q a a q q a q na S n n n
等比数列的前n项和公式教学设计说明
《等比数列的前n项和公式》教学设计说明 河南省开封市第二十五中学姜黎黎 《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。下面，我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。 教材分析 等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 学情分析
就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前n 项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。 教学目标 在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。 在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。 在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。重点难点
重点：使学生掌握等比数列的前项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。 难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。 情境创设 《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求. 我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。当时的国王大为赞赏，就问他想要什么。达依尔说：“请在棋盘的64个方格上，第一格放1颗麦粒，第二格放2颗麦粒，第三格放4颗麦粒，依次类推，每一格放的麦粒数都是前一格的两倍，直到第64格，请您给我足够的麦粒以实现上述要求。”选择这个故事作为问题情景首先是因为经典永远是经典,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.其次,将学生的角色设计成国王的谋士，更加激发了学生的探究热忱，同时也让学生明白数学和生活息息相关，把学
数列求和教学设计
时磊5说- 数列求和教学设计 鹿城中学田光海高三数学 一、教材分析 数列的求和是北师大版高中必修5第一章第内容。它是等差数列和等比数列的延续，与前面学习的函数也有着密切的联系。它是从实际问题中抽离出来的数学模型，实际问题中有 广泛地应用。同时，在公式推导过程中蕴含着分类讨论等丰富的数学思想。 二、教法分析 基于本节课是专题方法推导总结课，应着重采用探究式教学方法。在教学中以学生的讨论和自主探究为主，辅之以启发性的问题诱导点拨，充分体现学生是主体，教师服务于学生的思路。 三、学法分析 在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的概念及通项公式，已经具备了一定的知识 基础。在教师创设的情景中，结合教师点拨提问，经过交流讨论，形成认识过程。在这个过程中，学生主动参与学习，提高自身的数学修养。让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。 四、三维目标 1知识与技能 理解掌握各种数列求和的方法，学会解析数列解答题，提高解决中难题的能力? 2过程与方法 通过对例题的研究使学生感受数列求和方法的多样性 3情感态度与价值观 感受数学问题的差异，但又能以不同的方法加以解决，进而体会到数学知识的灵活性 五、教学重点与难点 本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立如下教学重点与难点：重点：数列求和公式的推导及其简单应用。此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重 要思想，是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。为此，我给出了四种方法进行数 列求和，加深学生理解，突出重点。 难点：数列求和公式的推导及应用。在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的前n项和，可由此引发进行数列求和的专题学习，为此，我引导学生先进性等差与等比数列的复习。由此引入专题学习。
等比数列第一课时教案(汇编)
等比数列的定义教案 内 容： 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义； 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型：新授课 课时安排：1课时教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点：等比数列通项公式的探求。 教具准备：多媒体课件 教学过程： （一）复习导入 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？ （二）探索新知 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）－2，1，4，7，10，13，16，19，…（２）8，16，32，64，128，256，… （３）1，1，1，1，1，1，1，… （４）1，2，4，8，16，…263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠， 3.递推公式：1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 （1） 等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0； （3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 3．等比数列的通项公式： 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,