复数知识点与历年高考经典题型
复数知识点与历年高考经
典题型
Prepared on 22 November 2020
数系的扩充与复数的引入知识点（一）
1．复数的概念： （1）虚数单位i ；
（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集
3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。 应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 4．复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；
（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （6）特殊复数的运算：
① n
i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；
③ 若ω=-21
+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.
5．共轭复数与复数的模
（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).
（2）复数z=a+bi 的模
, 且2||z z z ?==a 2+b 2.
6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等
规定为a+bi=c+di a c b d =???=?. 由这个定义得到a+bi=0?0
0a b =??
=?.
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 7．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。
8．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i 2=－1结合到实际运算过程中去。 如(a+bi)(a －bi)= a 2+b 2
9．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得
到，即22
()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i
c di c di c di c
d ++-++-==++-+.
10．复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。 （二）典型例题
例1．使不等式m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m ＝ .
例2．证明：i z
i z +-＝1．
数系的扩充与复数的引入(历年高考经典题型)（二）
一、选择题
1.设复数z 满足(1-i)z=2 i,则z= ( ) +i +i
2.
=-+2
)1(21i i
（ ） A. i 2
11--
B. i 2
11+-
C. i 2
11+
D. i 2
11-
3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）
A.A
B.B
C.C
D.D
4.已知i 是虚数单位,则(-1+i)(2-i)= ( ) +i +3i +3i +i
5.
2
1i
=+（ ）
A.2
D.1 6.
()3
=（ ）
A.8-
B.8
C.8i -
D.8i 7.已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( )
+5i +5i
8.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为(
) +i
C. 5+i
9.若复数z 满足|34|)43(i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A. 4-
B. 5
4
-
C. 4
D. 5
4
10.复数)()2(2
为虚数单位i i
i z -=，则=||z （ ） B. 41 D.5
11. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若12||0z z -=, 则12z z =
B. 若12z z =, 则12z z =
C. 若,21z z = 则2112·
·z z z z = D. 若,21z z = 则2122z z =
12.设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若20z ≥, 则z 是实数 B. 若20z <, 则z 是虚数 C. 若z 是虚数, 则20z ≥
D. 若z 是纯虚数, 则20z <
13.复数z=i·(1+i )(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
14.已知集合M={1，2，zi },i 为虚数单位，N=｛3，4｝，M ∩N=｛4｝，则复数z= ( ) A. -2i
B. 2i
C. -4i
15.复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 16.设i 是虚数单位，_
z 是复数z 的共轭复数，若22z zi z ?+= ，则z = （ ）
A.1+i
B.1i
C.1+i -
D.1-i 17.设i 是虚数单位，若复数10
()3--
∈a a R i
是纯虚数，则a 的值为 （ ）
18.在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 19.在复平面内，复数i （2-i ）对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
20.已知复数z 的共轭复数i 21z += (i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
21.复数的()12Z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 22.若复数z 满足iz =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A. （2,4）
B.（2,-4）
C. (4,-2)
D(4,2)
23.若i(i)34i x y +=+，,x y ∈R ，则复数i x y +的模是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
24.复数1
1
z i =
-的模为（ ） 25.在复平面内，复数z=i
1i
2+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于
（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 二、填空题
26.已知a,b ∈R ,i 是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi= . 27.已知复数512i
z i
=
+（i 是虚数单位），则z = 28.设m ∈R,m 2+m-2+( m 2-1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m= . 29. i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若
123i z =-，则2z = .
30.设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为