重庆市育才中学2021届高三上学期入学考试数学试题

重庆市育才中学2021届高三上学期入学考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}04,A x x x Z =<<∈，集合{}2,B y y m m A ==∈，则A

B =（ ） A ．{}1 B ．{}1,2,3

C ．{}1,4,9

D ．?

2．已知1223p x q x +><<：

，：，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．设121i z i i +=

--，则||z =（）

A ．0

B ．1

C

D ．3

4．某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 5．若(21)65f x x +=+，则()f x 的解析式是

A ．()f x =32x +

B ．()f x =31x +

C ．()f x =31x -

D ．()f x =34+x 6．函数2()ln(1)f x x x =+-

的零点所在的区间是（ ） A ．1,12?? ??? B ．(1,1)e - C ．(1,2)e -

D ．(2,)e 7．设4log 9a =，122-=b ，1

3827c -??= ???

则（ ）

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．a c b >>

D ．c a b >> 8．函数32ln ||

()x x f x x -=的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（ ） A ．2()1y f x =+

B ．(21)y f x =+

C ．()y f x =-

D ．|()|y f x =

二、多选题

10．设非空集合P ，Q 满足P Q Q ?=，且P Q ≠，则下列选项中错误的是（ ）． A ．x Q ?∈，有x P ∈

B ．x P ?∈，使得x Q ?

C ．?∈x Q ，使得x P ?

D ．x Q ??，有x P ? 11．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的1x ，()20,2x ∈，且12x x ≠，都有

()()

12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ）．

A ．()f x 是偶函数

B ．()f x 的周期4T =

C ．()20220f =

D ．()f x 在()4,2--单调递减

12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Q y f x x C Q

∈?==?∈?其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( )

A ．函数()f x 是偶函数

B ．1x ?,2R x

C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立

C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T f x 对任意的x ∈R 恒成立

D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()

33C x f x ，,使得ABC ?为等腰直角三角形

三、填空题 13．151lg 2lg 222-??+- ???

=______． 14．若()y f x =的定义域为(]0,2，则函数()()21

f x

g x x =-的定义域是______. 15．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22??

-????

上所有实数解之和为______. 16．已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．

四、解答题

17．在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，已知

()3cos cos -=b c A a C ；

（1）求cos A 的值：

（2）已知2AB =，ABC 的面积为9

，求BC 的长. 18．为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间[]

2,4的有8人．

（I ）求直方图中a 的值及甲班学生平均每天学习时间在区间(]10,12的人数；

（II ）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为k ，求k 的分布列和数学期望．

19．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212

n n n S a a =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足：()21=+n n n b a a ，求数列1n b ??????

的前n 项和n T .

20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆Ω：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2

，直线l ：2y =上的点和椭圆Ω上点的最小距离为1.

（1）求椭圆Ω的方程：

（2）已知椭圆Ω的上顶点为A ，点B ，C 是Ω上的不同于A 的两点，且点B ，C 关于原点对称，直线AB ，AC 分别交直线l 于点E ，F .记直线AC 与AB 的斜率分别为1k ，2k .

①求证：12k k ?为定值；

②求AEF 的面积的最小值.

21．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，过A 、B 分

别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F .已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF ，如图2.

（1）若AF BD ⊥，证明：BDE 为直角三角形；

（2）若//DE CF ，CD =，求平面ADC 与平面ABFE 所成角的余弦值.

22．已知()sin f x x =，()ln g x x =，()21=--h x x ax .

（1）若[]0,1x ∈，证明：()()1≥+f x g x ；

（2）对任意(]0,1x ∈都有()()()0+->f x e

h x g x ，求整数a 的最大值.

参考答案

1．A

【分析】

先求得集合A ，由此求得集合B ，进而求得A B .

【详解】

依题意{}1,2,3A =，所以{}1,4,9B =，所以{}1A B ?=.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

2．B

【分析】 由题意:12p x +>?1x >或3x <-，利用充分条件和必要条件的概念即可得解.

【详解】 由题意:1212p x x +>?+>或121x x +<-?>或3x <-，

由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”；

由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”；

故p 是q 的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题.

3．B

【分析】

先将z 分母实数化，然后直接求其模．

【详解】 11122=2=211121

i i i i z i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（）

【点睛】

本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．

4．C

【分析】

第一段匀速慢，第二段停止，第三段加速，得出与学校的距离的变化情况，即可得出结论.

【详解】

由于开始匀速行驶，所以离学校的距离匀速减少，

中间一段停留，与学校距离没变，然后加速赶到学校，

与学校的距离在同样的时间段内减少的越来越快，

故选：C .

【点睛】

本题考查函数的图象以及函数的实际应用，属于基础题.

5．A

【分析】

令21x t +=换元，整理可得()()31532f t t t =-+=+，所以()32f x x =+

【详解】 令()()()121,,31532,322t x t x f t t t f x x -+=∴=

∴=-+=+∴=+，故选A 【点睛】

已知复合函数的表达式，求外层函数的表达式用换元法．

6．C

【分析】

根据对数函数的性质可得而(1)0f e -<且(2)0f >，利用零点存在定理可得结果.

【详解】

因为函数()()2ln 1f x x x =+-

在()0,∞+上单调递增且连续， 而22(1)ln(11)1011

f e e e e -=-+-=-<--， 2(2)ln(21)ln 3102

f =+-=->， 即()(1)20f e f -<，

所以，函数()()2ln 1f x x x

=+-

的零点所在的区间是()1,2e -，故选C. 【点睛】 本题主要考查零点存在定理的应用，属于中档题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.

7．C

【分析】

利用指数、对数函数的单调性，以及适当的中间量，即可得出答案.

【详解】 因为44233log 9log 8log 222a =>==,1

383272c -??== ???，12022231b -<==<， 所以a c b >>，

故选：C

【点睛】

本题考查指数、对数的大小比较，属于基础题.

8．A

【分析】

判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项．

【详解】

解：函数的定义域为{0}x

x ≠∣， 因为3322()ln ||

ln ||()()()x x x x f x f x x x -----===-，

所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,

又因为当0x >时，322

ln ln ()x x x f x x x x -==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．

9．B

【分析】

已知()f x 的定义域和值域，然后可根据各选项所给函数的特点分别分析函数的值域；这里的选项所给的均是常见的平移、伸缩、对称、翻折变换，可从这几个方面入手.

【详解】

()f x 的定义域为R ，值域为[1,2]-，即1()2f x -≤≤；

∴A．2()1[1,5]=+∈-y f x ，即2()1y f x =+的值域为[1,5]-，∴该选项错误；

B ．(21)[1,2]=+∈-y f x ，即(21)y f x =+的值域为[1,2]-，∴该选项正确；

C ．()[2,1]=-∈-y f x ，即()y f x =-的值域为[2,1]-，∴该选项错误；

D ．()[0,2]y f x =∈，即|()|y f x =的值域为[0,2]，∴该选项错误．故选B ．

【点睛】

函数图象常见的四种变换：平移、伸缩、对称、翻折.

平移：()()y f x y f x A =?=+；

伸缩：()()y f x y Af x =?=或者()y f Ax =；

对称：()()y f x y f x =?=-（关于x 轴对称）或者()y f x =-（关于y 轴对称）；

翻折：()|()|y f x y f x =?=（将x 轴下方图象翻折到上方）或者(||)y f x =（将y 轴右边图象翻折到左边）.

10．CD

【分析】

由两集合交集的结果推出Q 是P 的真子集，再根据真子集的概念进行判断.

【详解】

因为P Q Q ?=，且P Q ≠，所以Q 是P 的真子集，

所以x Q ?∈，有x P ∈，x P ?∈，使得x Q ?，CD 错误.

故选：CD

【点睛】

本题考查集合交集的概念、真子集的概念，属于基础题.

11．ABC

【分析】

由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--，即

()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，可判断A 的正误；由()()()422f x f x f +-=，令

2x =-，

可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=，得到()f x 的周期，可判断B 的正误；又()f x 在(0,2)递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD 是否正确.

【详解】

由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--，

即()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，A 正确；

由()()()422f x f x f +-=，令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=， 则()f x 的周期4T =，B 正确；

()2022(45052)(2)0f f f =?+==，故C 正确；

又()f x 在(0,2)递增，则(2,0)-递减，由周期4T

=，则()f x 在()4,2--单调递增，

故D 错误.

故答案为：ABC

【点睛】

本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.

12．ACD

【分析】

根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．

【详解】

对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确； 对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；

对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；

对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：

①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；

②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；

④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．

综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ?为等腰直角三角形，故选项D 正确．

故选：ACD ．

【点睛】

本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．

13．1-

【详解】 试题分析：15155lg 2lg 2()lg lg 42lg(4)2lg1021212222

-+-=+-=?-=-=-=-． 考点：对数的运算．

14．()0,1

【分析】

根据抽象函数的定义域的求法，求得()g x 的定义域.

【详解】

由于()y f x =的定义域为(]0,2，

故对()g x 有0220110

x x x <≤??<

故答案为：()0,1

【点睛】

本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.

15．7

【分析】

判断出()f x 的奇偶性和周期性，画出()f x 和cos y x π=在[]1,3-上的图象，根据对称性求得所求.

【详解】

依题意()f x 是定义在R 上的偶函数，由于()()11f x f x =+-，

所以()f x 是周期为2的周期函数.由于函数cos y x π=的最小正周期为22π

π=， 所以cos y x π=的最小正周期为1，且()()cos cos x x ππ-=，所以函数cos y x π=为偶函数.

画出()f x 和cos y x π=在[]1,3-上的图象如下图所示（画()f x 两个周期的图象，不影响后续分析）， 由图可知，在区间15,22??-????

上，两个函数图象的交点共7个，其中6个两两分别关于直线1x =对称，

有一个是()1,1，所以关于x 的方程()cos f x x π=在15,22??-????

上所有实数解之和为3217?+=.

故答案为：7

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，属于中档题.

16

．【分析】

由题意可得()()00f x g x =，()()00''f x g x =，联立后把b 用含有a 的代数式表示，再由导数求最值得答案．

【详解】

设()00,P x y ，

()'22f x x a =+，()24'a g x x

=． 由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，

即2200024x ax a lnx b +=+，①

2

00

422a x a x +=，②

解②得0x a =或02(x a =-舍)，

代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，

()'684214b a alna a a lna =--=-， 当140,a e ??∈ ???

时，'0b >，当14,a e ∞??∈+ ???时，'0b <．

∴实数b 的最大值是1144b e elne ??== ???

．

故答案为

【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．

17．（1）13；（2）3

. 【分析】

（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和差的正弦公式整理即可得结果；

（2）由（1）知1cos 3A =，所以sin A =，由面积公式可得AC 的值，再利用余弦定理即可求得BC 的长.

【详解】

（1）由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos B C A A C -=,

即3sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+ ，

所以()3sin cos sin sin B A A C B =+=，

因为sin 0B ≠，

所以3cos 1A =，得1cos 3A =

，

（2）由（1）知1cos 3A =，所以sin 3

A =，

1sin 29

ABC S AB AC A =???=，

即122AC ??=，解得：143AC =， 在ABC 中，由余弦定理得：

2222cos BC AB AC AB AC A =+-??

2

214141176161122233399???=+-???== ???，

所以3

BC =

【点睛】 本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，涉及两角和的正弦公式，属于中档题.

18．（I ）3；（II ）

127

. 【解析】 试题分析：（I ）由直方图能求出a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间

1012]（，的人数；（II ）由已知得ξ的所有可能取值为0123，，，，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望.

试题解析：（I ） 由直方图知，()0.150.1250.10.087521a ++++?=，解得0.0375a =，因为甲班学习时间在区间[]2,4的有8人， 所以甲班的学生人数为8400.2

=，所以甲、乙两班人数均为40人． 所以甲班学习时间在区间(]10,12的人数为400.03753?=（人）．

（II ）乙班学习时间在区间(]10,12的人数为400.0524??=（人）．

由⑴知甲班学习时间在区间(]

10,12的人数为3人，

在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，k 的所有可能取值为0，1，2，3．

()0434471035C C P k C ===，()133********

C C P k C ===， ()22344718235C C P k C ===，()3134474335C C P k C ===．

所以随机变量k 的分布列为：

112184120123353535357

Ek =?

+?+?+?=． 19．（1）12n a n =；（2）21n n T n =+. 【分析】

（1）利用11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?求得数列{}n a 的通项公式. （2）利用裂项求和法求得n T .

【详解】

（1）依题意0n a >，212n n n S a a =+

， 当1n =时，211112a a a =+，解得112

a =； 当2n ≥时，212n n n S a a =+，211112n n n S a a ---=+，两式相减并化简得 ()11102n n n n a a a a --??+--= ??

?，其中10n n a a ->+，所以1102n n a a ---=， 即()1122

n n a a n --=≥. 所以数列{}n a 的通项是首项为112a =

，公差为12的等差数列， 所以12

n a n =. （2）由（1）得()12n n n b +=，所以()1211211n b n n n n ??==- ?++??， 所以11111212231n T n n ???

?????=-+-++- ? ? ???+????

???? 122111n n n ??=-=??++??

.

【点睛】

本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，属于中档题.

20．（1）2

212

x y +=；（2

. 【分析】

（1）根据已知条件得到

,c b a

，结合222a b c =+求得,,a b c 的值，从而求得椭圆Ω的方程. （2）①设出,B C 两点的坐标，计算1212k k ?=-，由此证得结论成立. ②求得直线,AC AB 的方程，由此求得,E F 两点的坐标，由此求得EF 的最小值，进而求得AEF 的面积的最小值.

【详解】

（1

）依题意可知222

221c a b a b c ?=???-=??=+???

，解得1a b c ===，所以椭圆Ω的方程为2

212x y +=. （2）①设()()0000,,,B x y C x y --

，且00x <.则222200001,122

x x y y +=-=-. 001200

11,AC AB y y k k k k x x +-====， 所以20200012220000111122

x y y y k k x x x x -+--?=?===-为定值. ②直线AC 的方程为0011y y x x +-=?，令2y =解得001

F x x y =+， 直线AB 的方程为0011y y x x --=?，令2y =解得001

E x x y =-， 所以()()()()

000000020000011211111x y x y x x x EF y y y y y --+=-==+-+--

020002442

x x x x ===-，

由于00x <≤

00

14,2x x ≥≥， 也即EF

的最小值为所以AEF

的面积的最小值为

(

)1212?-=【点睛】

本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.

21．(1)证明见解析；

(2)

【分析】

（1）由AF BE ⊥，AF BD ⊥可得AF ⊥平面BFE ，得出AF DE ⊥，结合DE AE ⊥即可得出DE ⊥平面ABFE ，故而DE BE ⊥；

（2）求出CFE ∠的大小，以E 为原点建立空间坐标系，求出平面ACD 和平面ABFE 的法向量，计算两法向量的夹角即可得出二面角的大小．

【详解】

（1）证明：连接BE ，

由已知可知四边形ABFE 是正方形，AF BE ∴⊥，

又AF BD ⊥，BE DE E ?=， AF ∴⊥平面BDE ，又DE ?平面BDE ，

AF DE ∴⊥，

又DE AE ⊥，AE AF F ?=，

DE ∴⊥平面ABFE ，又BE ?平面ABFE ，

DE BE ∴⊥，即BDE ?为直角三角形．

（2）取CF 的中点M ，连结DM ，则四边形DEFM 是平行四边形，

2DM EF ∴==，112

CM CF ==

，又CD =