中职数学立体几何教案

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1． 平面及其表示

常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来

表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示竖

直的平面．请注意它们画法之间的区别．

如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步

骤进行．

一个平面通常用小写希腊字母α、β、γ、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面α”、“平面β”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分．

空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ?l ； ②点A 在平面α内，记作A ∈α，点A 不在平面α内，记作A ?α； ③直线l 在平面α内，记作l ?α；

④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ?m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ?m =?； ⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ?α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ?α=?； ⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α?β=l ，平面α与平面β不相交，记作α?β=?．

在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课内练习1

1. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？

2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面．

3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面．

4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α内，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ；

(3)直线l 与直线m 相交于平面α内的一点N ；

(4)直线l 经过平面α内的两点M 和N ．

5. 下面的写法对不对，为什么？

(1)点A 在平面α内，记作A ?α; (2)直线l 在平面α内，记作l ∈α；

(3)平面α与平面β相交，记作α?β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ?α≠?．

2. 平面的基本性质 基本性质：

图5-28

A B C D A 1

B 1

C 1

D 1 (第3题图) 图5-27(2)

β

D A B C D 图5-27(1) A D B

C

α

(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 如图5-29，直线l 上两点A ,B 在平面α 内，那么l 上所有的点都在平面α 内，这时我们可以说，直线l 在平面α 内或平面α经过直线l ．

这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内． 因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，那么延展的结果，它们 必定相交于一条直线．由此得平面的第二个基本性

质： (2)如果平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点的一条直线．

如图5-30，平面β 与平面γ 相交， C 是公共点，那么它们相交于过C 的直线l ．如果我们把一张纸摊平折起来，折痕一定是一条直线，就是这个道理．

(3)经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面． 这个性质也可以简单地说成：不在一直线上的三点确定一个平

面．如图5-31，A 、B 、C 三点不在同一直线上，经过这三点可以且只可

以画一个平面α．

现在你可以明白前面提出的问题了．凳子三条腿、照相机支架三条腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的．

从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：

①一条直线和直线外一点可以确定一个平面； ②两条相交直线可以确定一个平面；

③两条平行直线可以确定一个平面． 课内练习2 1. 判断题

(1)如图，我们能说平面α与平面β只有一个交点A 吗？ (2)如图,我们能说平面α与平面β相交于线段AB 吗?

(3)如图,我们能说线段AB 在平面α内,但直线AB 不全在平面α内吗? 2. 三角形一定是平面图形吗？为什么？ 3. 一扇门可以自由转动，

如果锁住，就固定了，如何解释？ 4. 怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？

小结 作业

图5-29

图5-30 l

β

γ ?

C 图5-31 α ? ? ? C B A (第1(1)题图) (第1(2)题图) β

A ? α ?

B (第1(3)题图) A ? α ? B

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1. 两条空间直线的位置关系

平面上两条直线的位置关系有两种：相交或平行．在空间中的两条直线是否也是如此呢？我们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线，能够找到平行

和相交的直线，但也能发现一些直线，它们既不平行也不相交．

把教室看成一个长方体ABCD -A 'B 'C 'D '（如图9-32），可以发现直线对BC 与AA '、AD 与D 'C 以及对角线B 'D '与AC 等等，它们不同

在一个平面内．

我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直线，也可以

说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线．因此，空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种：

(1) 没有公共点——平行

(2) 只有一个公共点——相交

(3) 既不相交也不平行——异面 (不可能同在一个平面上)．

在画异面直线时，要像图9-33那样，把两条直线明显地画在不同的平面内，这样就容易体现出 “异面”的特点． 课内练习1

1. 找出日常生活中异面直线的几个例子．

2. 画出图5-32中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来．

3. 两条直线分别在两个平面内，它们是否一定异面直线？

4. 能否把没有公共点的两条直线叫做平行线？

2. 空间的平行直线

平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的．例如图9-34中，因为ABB 'A '、BCC 'B '都是矩形，AA '∥BB ', CC '∥BB '，所以CC '∥AA '．在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法．

在平面几何中有一个判定定理：如果两个角的两条边分别对应平行，

那么这两个角相等或互补．对立体几何中空间的角，这条道理仍然成立．如图9-34中的ACB ∠和B C A '''∠。

例1 如图9-35，已知E 、F 、G 、H 分别是任意空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证四边形EFGH 是平行四边形． 证明 由此即得EH =FG 且EH//FG ．所以四边形EFGH 是平行四边形．

课内练习2

1. 把一张长方形的纸对折两次然后打开，观察折痕是否平行，为什

么？

2. 画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为平行直线．

3. 如图，在长方体中，AE =A 1E 1, AF =A 1F 1，求证：EF =E 1F 1且 EF//E 1F 1．

4. 如图，在长方体ABCD -A 'B 'C 'D '中，E ,E '分别l 1 图9-33 l α A

B C

D

图9-32 A ' B ' C ' D '

(

必定同在一个平面上)；

图9-35 A

B C

D

A '

B ' ' D '

E F 1 A 1 E 1 C D A ' B ' C ' D '

E

E E '

是棱AD ,A 'D '的中点，求证：∠CEB =∠C 'E 'B '．

3. 异面直线所成的角

平面几何中的角的两条边是相交的，空间异面直线不相交，怎么形成角呢？我们可以这样来定义： 如图5-36(1)，设l 、m 是两条异面直

m '线，在空间任取一点P ，过P 作l '∥l 、∥m ，把l '、m '所成的(不大于90?)角，叫做异面直线l 、m 所成的角(或l 、m 的夹

角)，采用平面情况的记法，记作l ^m ．

为了简便起见，点P 常取在两异面直线中的一条上．

例如在直线m 上，过点P 作直线l '∥l （如图9-36(2)），那么l '、m 所成的角就是异面直线l 、m 所成的角．

如果两条异面直线l 、m 所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作l ⊥m ．如果两条直线所成的角为0?角，那么我们就说这两条直线平行． 例2 图9-37表示一个正方体．

(1)哪些棱与AB '是异面直线？ (2)求AB '与CC '的夹角的度数；

(3)哪些棱与AA '垂直？

解 课内练习3 1. 在下列各图中，分别以O 为顶点，画出异面直线l 、m 所成的角． 2. 设l 、m 、n 为三条空间直线，其中l ∥m , l ⊥n ，则m 、n 的关系如何？

3. 设l 、m 、n 为三条空间直线，且l ^ m = n ^m =45?，能否得出l ∥n 的结论？ 你能举出反例吗？

小结： 作业：

图9-37

A B C D A '

B

' C ' D '

第1题图

图5-36(1)

? m ' l ' P

图5-36(2)

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1. 直线和平面的位置关系

我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体．我们考察AB 所在的直线，它在面ABCD 上；与面BCC 1B 1有一个公共点B ；与面DCC 1D 1没有公共点．这个实例告诉我们： 空间直线l 与平面α的位置关系只有三种：

(1) l 与α有无数个公共点——直线l 在平面α内；

(2) l 与α没有公共点——直线l 平行于平面；

(3) l 与α只有一个公共点——直线l 与平面α相交．

图5-39表示了这三种位置关系．

课内练习1

1. 举出直线和平面的三种位置关系的实例．

2. 回答下列问题：

(1)能否说直线l 与平面α有两个交点A 、B ?

(2)如果直线l 在平面α外，l 是否一定与α平行？ (3)如图，因为l 与α没有交点，是否能说l ∥α?

(4)如果直线l 不平行于平面α，l 必与α相交吗？

2. 直线和平面平行

(1)直线和平面平行的判定 要判断一条直线和一个平面是否认平行，就要将直线和平面无限延伸，看有无公共点，这是无法做到的，我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行．

我们看图5-40(1)，这是一扇门，门框左右两条边缘是直线a 、b ．把墙面视为一个平面α，当门

关着时，直线a 、b 同在平面α上，

且a ∥b ．开门时，a 离开了平面α，但仍保持与b 平行，而且a 与平面α也是平行的(如图5-40(2))． 这就给出了一个判定直线与平面平行的方法： 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

如图5-41中所示，如果a ∥b ，b ?α，则a ∥α。 根据这个判定方法，为了证明一条直线和一个平面平行，只要在这

个平面内找出一条直线和这条直线平行就可以了．

画一条直线和一个平面平行，常把直线画在表示平面的平行四边形

外面，并且如图5-41那样，与平行四边形的一组对边平行或与平行四边

形内的一条线段平行．

图5-38

A

B C

D B 1

A 1 C 1 D 1 图5-40(1)

图

5-39

l

(第2(3)题图)

l 图5-41 b

α

a 图5-40(2)

在安装日光灯管时，检查两条垂直吊线的长度是否相等；往墙上贴一条横幅时，检查横幅的上边与顶板是否等距，都是为了让灯管与天棚、横幅与顶板平行，使用的原理正是这个判定方法．

为便于记忆，这个方法可简记为：“若线线平行，则线面平行”．

例1 如图5-42，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的

中点，求证 EF ∥平面BCD ．

证明 在?ABD 中，因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以

EF ∥BD ．

又因为 EF ?平面BCD ，BD ?平面BCD ， 所以 EF ∥平面BCD ．

课内练习2

1. 在平面α上有直线b ，与平面外直线a 不平行，能否说a 与α必定不平行？为什么？

2. 设平面α与平面外的直线a 平行，证明a 与α内的任意直线都不相交．

(2)直线和平面平行的性质

现在把图5-40(2)墙面、门分别看作为平面α、β，门边缘b 是α、β的交线，a ∥b ．这表明，当直线a 和平面α平行时，过a 的平面β与平面α的交线必与a 平行．我们可以得到直线和平面平行的性质：

如果直线a 和平面α平行，经过a 的平面β若与α相交， 则交线必定平行于a ．

如图5-43，若a ∥α，a ?β，α?β=b ，则a ∥b ．

这个性质可简记为：“若线面平行，则线线平行”． 例2 如图5-44所示的木块，BC ∥平面A 1C 1，木工师傅要过点P 和BC 截去一个斜角，应该怎样划线？

解 因为BC ∥平面A 1C 1，B 1C 1是平面BC 1与平面A 1C 1

的交线，所以BC ∥B 1C 1； 过P 作B 1C 1的平行线EF ，则 EF ∥B 1C 1∥BC ，

所以EF 、BC 共面．连结EB 和FC ，所得的四边形EFCB 必定

在同一平面上，所以沿此四边形画线即可．

课内练习3

1. 一块木板ABCD 的一边AB 紧靠桌面并绕AB 转动，当AB 的对边CD 转动到各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？为什么？

2. 判断下面的说法是否正确：

(1)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行； （ ） (2)过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行； （ ） (3)如果一条直线和一个平面平行，则它和这平面内的任何直线平行； （ ） (4)平行于同一平面的两条直线互相平行． （ ）

3. 设a 是平面α外的一条直线，a ∥α，证明在α上有无数条直线与a 平行．

4. 已知：长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，求证：

(1)BC||面A 1ADD 1；(2) BC 1||面A 1ADD 1；(3)C 1D||面ACB 1．

5. 如果平面外的两条平行线中有一条和平面内某一条直线平行，试证另一

A C

B D E F 图5-42 A B

C

D

E

F P ?

A 1

B 1

1 D 1 图5-44 图5-43

a

b α β

条直线和这个平面平行．

3. 直线和平面垂直

直线与平面相交有两种情况，一是垂直，二是斜交．我们先来研究前一种情况．

如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 垂直于平面α，记作 l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面，交点叫做垂足．

画直线与平面垂直，通常是把直线画成和表示平面的平行四边形的一组对边垂直（如图5-45）．

(1)直线与平面垂直的判定

按照上述的方法去判定一条直线与一个平面垂直是困难的，我们有下面的较为简便的方法：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面互相垂直．

如图5-46， l ?α≠?， m ? α，n ? α，m ?n ={O }，若l ⊥m ，

l ⊥ n ，那么l ⊥α．

有了这个方法，要判定一条直线l 是否垂直于一个平面α，只

要在

α内去找到两条相交直线与l 垂直就行了．这也是人们在日常生活

中用来判定直线与平面垂直的方法．例如树立旗杆时，只要从不在一

条直线上的两个不同的方向，看一下旗杆与水平线是否垂直，就能确

定旗

杆是否与地面垂直了．

例3 如图5-47，有一旗杆AB ，从它的顶端A 挂一条绳子下来，拉紧绳子并把它的一端先后放在水平地面上C 、D 、E 三点处，其中C 、B 、E 在一条直线上，若测得BC =BD =BE ，证明旗杆和地面垂直．

证明 因为ΔABC ,ΔABD ,ΔABE 的三边对应相等，所以

ΔABC ?ΔABD ?ΔABE ，

所以 ∠ABC =∠ABD =∠ABE ；

又因为C 、B 、E 在一条直线上，所以∠ABC =∠ABE =90?；所以∠ABD =90?．即

AB ⊥BC ，AB ⊥BD ．

又知B 、C 、D 有三点不共线，所以AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直． 课内练习4

1. 回答下列问题：

(1)直线l 垂直于平面α内的一条直线m ，是否能说l ⊥α？ (2)直线l 垂直于平面α内的两条直线m ,n ，是否能说l ⊥α？ (3)直线l 垂直于平面内α的无数条直线，是否能说l ⊥α？

(4)一条直线垂直于一个三角形的两条边，这条直线是否和第三边垂直？ (5)三条直线相交于同一点，且两两垂直，其中任一条直线是否

垂直

于另两条直线所确定的平面？

2. 已知直线a ∥平面α，直线b ⊥α，求证a ⊥b ．

3. 如图，有一旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的一端先后放在地面上和B 点不在同一条直线的两

点

A C

D B 图5-47

E A B

α

l 图

5-46

o m n 图

C ,

D 上．如果这两点和B 点的距离都是6m ，求证旗杆和地面垂直．

(2)直线和平面垂直的性质

当直线与平面垂直时，有如下的性质：

如果两条直线垂直于同一平面，则这两条直线互相平行． 如图5-48中， m ⊥α，n ⊥α，那么m ∥n ．这也是判定两条直线平

行

的另一个方法．

(3)点到平面的距离 设P 是平面α外的一点，过点P 向α作垂线，垂足为O ，线段PO 的长就是点P 到α的距离，O 也叫做点P 在平面α内的正射影(简

称射影) (如图5-49)．

例4 如图5-50，已知旗杆AB 垂直于水平地面，从旗杆顶拉一条绳子下来，拉紧后在地面上点C ,D 处量得BC =BD =6m ，且BC ⊥BD ；若已知∠CAD =30?，求旗杆的高度．

解 因为BC ⊥BD ，所以 CD =2622=+BD CB

在等腰?ACD 中，

CD 2=A C 2+AD 2-2AC ?AD cos ∠CAD =(2-3)AC 2

，

解得 AC 2=)32(723272+=-．

在Rt ?ABC 中，

AB 2=AC 2-BC 2=)32(72+-36=108+723, AB =372108+≈15.25m ．

所以旗杆高约15.25m ． 课内练习5 1. 判断题

(1)若直线l ⊥平面α，直线l 1不平行于l ，则l 1不垂直于α ( ) (2)若直线l ∥平面α，直线l 1垂直于l ，则l 1垂直于α ( ) (3)若直线l ∥平面α，直线l 1不垂直于l ，则l 1不垂直于α ( ) (4)若直线l ,l 1平行，由它们确定的平面为α，若直线m ⊥l ，则m ⊥α ( )

(5)若直线l ,l 1平行，由它们确定的平面为α，若直线m 不垂直于l ，则m 也不垂直于α

( )

(6)过平面外一点，能作、且仅能作一条直线与平面垂直 ( )

2．如图，在例4中，若旗杆立在平台顶上，无法得到垂足B ， 但已知绳子长度为16m ，量得CD =8.5m ，且BC ⊥BD ， 请计算旗杆顶离地面的距离．

α 图5-48 m n A

C

D

B

图5-50

α P

O

图

5-49 (第2题图)

4. 直线和平面所成的角

如果直线l 与平面α相交而不垂直，就称直线与平面斜交． 直线叫做平面的斜线，交点叫做斜足．

我们看图5-51，直线l 1、l 2与平面α都斜交，但斜交的角度不同． 应该怎样来度量这个角度呢？现在来讨论这个问题． 设斜线l 与平面α交于A 点，点P 在l 上，P 在α上的射影为Q ；

直线AQ 叫做斜线l 在平面α上的正射影（简称射影）(图5-52)．

可以证明，斜线与平面的射影之间形成的角(图5-52中的

θ)是l 与α内所有直线所成的角中最小的，我们把这个角叫做

l 与α所成的角，即：

斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角．

若一条直线与一个平面所成的角是直角，我们就说这条直线和平面垂直；若一条直线与一个平面所成的角是0?角，我们就说这条直线和平面平行或在平面内．

例5 如图5-53，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长分别为AB =1，AD =2，AA 1=3，求对角线AC 1与底面ABCD 的夹角． 解 因为CC 1⊥底面ABCD ，所以∠C 1AC 就是对角线AC 1与底

面ABCD 之间的夹角．因为

AC =22DC AD + =2

2AB

AD +=3，

CC 1= AA 1=3，

所以 tan ∠C 1AC =AC CC 1=3

3

=3，

所以 ∠C 1AC =60?，

即对角线AC 1与底面ABCD 的夹角为60?． 课内练习6

1. 过平面α外一点P ，可以作多少条与α夹角为已知角θ0的斜线？你能说出这些斜线的斜足在平面α内的轨迹是什么吗？

2. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求： (1)A 1C 1与正方体各面所成的角的大小； (2)D 1B 与面A 1ADD 1所成角的正切值．

小结： 作业：

图5-53 A B

C

D A 1

B 1

C 1

D 1

l 2

l 1 图5-51

α 图5-52

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新授：

1. 平面位置的基本关系

两个平面α, β的位置关系就只有两种：

(1)相交——此时必定相交成一条直线l ；称l 为交线； (2)平行——即没有公共点，记作α∥β． 2. 平面与平面平行 (1)平面平行的判定

① 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 如图5-55，设l 1? α，l 2? α，l 1 ?l 2 ={O }，且l 1∥β，l 2∥β，那么α∥β． 根据这个法则，还可以得到判断平面平行其它方法： ② 如果一个平面内有两条相交 直线，分别平行于另一个平面内的 两条直线，那么这两个平面平行

(如图5-56)．

③ 垂直于同一条直线的两个平面平行

画两个平面平行时，一般要使表示平面的两个平行四边形对应的对边分别平行．

例1 如图5-57，E 、F 、G 分别为空间四边形ABCD 的边AB 、AD 及对角线AC 上的中点，证明：平面EFG ∥平面BCD ． 证明

课内练习1

1．两个平面的位置关系有哪几种？ 2. 判断题： (1)若平面α内的一条直线与平面β平行，则α与β平行 ( ) (2)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行 ( )

(3)若平面α内的无数条直线分别与平面β平行，则α与β平行 ( ) (4)若平面α内的任何一条直线都与平面β平行，则α与β平行 ( ) (5)过已知平面外一点，能作、且仅能作一个平面与已知平面平行 ( ) (6)过已知平面外一条直线，必定能作与已知平面平行的平面 ( ) 3. 若平面α∥平面β，能否说α内的任一直线都与β内的直线平行？能否说α内的任一直线都与β平行？ 4. 如图，设E 、F 、E 1、F 1分别是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱AB 、CD 、 A 1B 1、C 1,D 1上的中点，证明：平面ED 1∥平面BF 1．

(2)平行平面的性质

两个平行平面具有下面的性质：

如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

夹在两个平行平面间的平行线段相等． 课内练习2

1. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证平面A 1BD ∥平面CD 1B 1．

图

5-57 B (第4题图)

A

A

C 1 图β

2. 证明横截一块长方体形状的木块，其截面不是矩形就是平行四边形．

3. 二面角和二面角的平面角

在开门时常说把门开大些或小些，实际上是指门所在平面与门框所在平面之间“角度”的大小．这个角度如何度量呢？ 现在我们给出平面交角的定义．

平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平

面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫

α,β做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l 、两个面分别为的二面角记为二面角α-l -β(图5-60)． 一个垂直于二面角α-l -β的棱l 的平面，交l 于点O ，分别与两个半平面交于半直线OA , OB ，则∠AOB 叫做二面角α-l -β的平面角．显然，平面

角的大小与垂直平面的位置无关．所以二面角的大小可用它的平面角来度

量，平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；在不会引起误解的场合，有时我们也简称二面角是多少度．

我们约定，二面角的度数不小于0?，不大于180?．

例2 在图的空间四边形ABCD 中，由它们的边和对角线组 成的?ABC , ?ADB , ?ADC 和?BCD 都是等边三角形．

(1)把每个三角形所在的面看作一个半平面，共组成了多少个二面 角？

(2)证明这些二面角均相等； (3)求每个二面角的大小． 解

课内练习3

1. 在图5-61中，设?ABC 、?ADB 、 ?ADC 为等腰直角三角形(∠A =90?)，?BCD 为等边三角形， (1)证明以AB 、AC 、AD 为棱的三个二面角彼此相等；以BC 、CD 、BD 为棱的三个二面角也彼此相等；

(2)求这两组二面角的大小．

4. 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直

平面角是直角的二面角叫做直二面角．

若两个平面相交形成的二面角是直二面角，则这两个平面叫做互相垂直． 若平面α和平面β互相垂直，记作α⊥β． 注意，在画两个互相垂直的平面时，为了加强直观效果，如果有一个是水平平面，则把直立平面的一组对边画成和水平平面的某一组对边垂直(见图5-62)．

下述方法经常用来判定两个平面垂直问题：

如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 如图5-63，直线l ⊥α,l ?β，则α⊥β．

图5-63

图6-62

l

O A β

图5-60 α

B A

C

D E

F

θ

?

这个判定方法在实际经常见到．如将帆船甲板和帆都当作平面，桅杆就是甲板的垂线，我们可以认为帆与甲板是垂直的．又如用一端系有铅锤的线来检查墙是否和水平面垂直(如图5-64)，也是这个方法的应用．

例3 如图5-65，已知P 是平面α外一点，P A ⊥α， 垂足为A ，BC ?α，PC ⊥BC ，证明平面PBC ⊥平面P AC ． (2)垂直平面的性质

教室的墙面都是垂直于地面的，它们的交线墙角线自然也垂直于地面．这就是垂直平面的第一个性质：

①如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面． 如图5-66，α、β、γ为三个平面，若α⊥γ, β⊥γ，l =α?β，则l ⊥γ．

在墙面上画一条线垂直于墙脚线，那么这条线必定

与地面垂直；反之，在地面上画一条线垂直于墙脚线，

这条线也与墙面垂直．这是垂直平面的又一个性质： ②如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内

垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

如图5-67，α⊥

β，α?β＝l ，m ?α, n ?β，若m ⊥l ，则m ⊥β；

若

n ⊥l ，则n ⊥α． 例4 如图5-68，在空间四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线． 若面?ABD ⊥面?BDC ，AB ⊥BD , CD ⊥BD ，AD =3, CD =4，

(1) 证明AB ⊥BC ；(2)求AC 的长． 所以AC 长为5．

课内练习4

1. 如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时，只要用直角曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一个边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢?

2. 如果一条直线和一个平面不垂直,经过这条直线能否做一个平面与已知平面垂直?若能，这样的平面有几个?

3. 如图已知平面α⊥β, α?β=AB ；在平面β内，直线CD ∥AB ，CD 到

AB 的距离为60cm ．在平面α内，点E 到AB 的距离为91cm ．求点E

到CD 的距离．

小结：

作业：

图5-67 (第3题图)