《附13套高考模拟卷》湖北省黄石二中2020-2021学年高三3月测试(线上)数学试题含解析

湖北省黄石二中2020-2021学年高三3月测试（线上）数学试题

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ==，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ）

A B ．C D 2．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）

A ．12i +

B ．12i -+

C ．12i --

D ．12i -

3．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ?为

A ．12-

B ．12i +

C ．12+

D 12

i - 4．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：

①曲线C 有四条对称轴；

②曲线C 上的点到原点的最大距离为14

； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为

18； ④四叶草面积小于4

π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．①③④

D ．①②④

5．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．在ABC ?中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+等于（ ）

A ．12

B ．23

C ．16

D ．13 7．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ?

?∈ ???

恒成立，则a 的最小值是 （ ） A ．0 B ．2- C ．52- D ．3-

8．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．充分必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件 9．函数cos ()cos x x f x x x

+=-在[2,2]ππ-的图象大致为 A ． B ．

C ．

D ．

10．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）

A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．

B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．

C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．

11．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ）

A ．2()1f x x =+

B ．727)2(f x x x =+-，[]1,2x ∈-

C ．si 8)n (f x x =

D ．2

()x x

e e

f x x -+= 12．设a=lo

g 73，

13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．b a c <<

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.

14．已知四棱锥P ABCD -，底面四边形ABCD 为正方形，PA PB PC PD ===，四棱锥的体积为263

，在该四棱锥内放置一球O ，则球O 体积的最大值为_________．

15．在ABC ?中，已知M 是BC 的中点，且1AM =，点P 满足2PA PM =，则()PA PB PC ?+的取值范围是_______.

16．已知二项式22n x x ??- ???

的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()|2||3|f x x x =++-.

（1）解不等式()32f x x ≤-；

（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211

a b +++的最小值. 18．（12分）已知圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半

轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是2(2x t m t y t ?=+????=??

是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.

19．（12分）已知函数sin ()x f x x =

，0πx <<. （1）求函数()f x 在2x π

=处的切线方程；

（2）当0m π<<时，证明：()ln f x m x x π

<+对任意(0,)x π∈恒成立.

20．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，636S =.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ；

（Ⅱ）设n T 为数列1n S n ????+??

的前n 项的和，求证：1n T <. 21．（12分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合）

，且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线2,AP QF 交于点M .

（1）求椭圆方程；

（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =△△，求点P 的坐标.

22．（10分）已知a ，b 均为正数，且1ab =.证明：

（1

11()2a b

≥+； （2）22

(1)(1)8b a a b

+++≥.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

【分析】

在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ?，即可求出结论.

【详解】

在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ，

过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥平面11AA D D ，

DO ?平面111,,AA D D AB DO AB

AD D ∴⊥=， DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，

在1111,Rt ADD DD AA AD AD ?==∴

111cos DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC

. 故选:C.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.

2、B

【解析】

【分析】

根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.

【详解】

()

22112

i i i i

+=-=-+.

故选B

【点睛】

本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.

3、C

【解析】

【分析】

利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．

【详解】

z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝13

2

+．

故答案为C．

【点睛】

熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

4、C

【解析】

【分析】

①利用,x y之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y满足的不等式判断出四叶草与对应圆

的关系，从而判断出面积是否小于

4π. 【详解】

①：当x 变为x -时， ()322

22x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称； 当y 变为y -时，()322

22x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称； 当y 变为x 时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；

当y 变为x -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；

综上可知：有四条对称轴，故正确；

②：因为()32222x y

x y +=，所以()222322222x y x y x y ??++=≤ ???，

所以2214

x y +≤12≤，取等号时2218x y ==， 所以最大距离为12

，故错误； ③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ，

因为()32222x y x y +=，所以()()3322222x y x y xy =+≥，所以18

xy ≤，

取等号时4x y ==，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确； ④：由②可知2214

x y +≤，所以四叶草包含在圆2214x y +=的内部， 因为圆的面积为：144S ππ=?

=，所以四叶草的面积小于4

π，故正确. 故选：C.

【点睛】 本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明.

5、C

【解析】

试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解：在等差数列{a n }中，若a 2＞a 1，则d ＞0，即数列{a n }为单调递增数列，

若数列{a n }为单调递增数列，则a 2＞a 1，成立，

即“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”充分必要条件，

故选C ．

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

6、A

【解析】

【分析】

根据题意，用,AB AC 表示出,AH BH 与AM ，求出,λμ的值即可.

【详解】

解：根据题意，设BH xBC =，则

11111()()()22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-11(1)22

x AB xAC =-+， 又AM AB AC λμ=+，

11(1),22

x x λμ∴=-=， 111(1)222

x x λμ∴+=-+=， 故选：A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题. 7、C

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：将参数a 与变量x 分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论． 解：不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0，12]成立，等价于a≥-x-1x 对于一切10,2x ??∈ ???

成立， ∵y=-x-1x 在区间10,2?? ???

上是增函数 ∴1

1

5222x x

--≤--=- ∴a≥-52

∴a 的最小值为-

52故答案为C ． 考点：不等式的应用

点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题

8、B

【解析】

【分析】 由数量积的定义可得220a a =>,为实数,则由22a b b a =可得22a b b a =,根据共线的性质,可判断a b =；再根据a a b b =判断a b =,由等价法即可判断两命题的关系.

【详解】

若22a b b a =成立,则22a b b a =,则向量a 与b 的方向相同,且22a b b a =,从而a b =,所以a b =； 若a a b b =,则向量a 与b 的方向相同,且22a b =,从而a b =,所以a b =.

所以“2

2a b b a =”为“a a b b =”的充分必要条件.

故选:B

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.

9、A

【解析】

【分析】

【详解】

因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<

10、C

【解析】

【分析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.

【详解】

对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；

对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，

故B 正确；

对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有

2个，故C 错误；

对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%?

≈<+，故D 正确. 故选：C.

【点睛】

本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.

11、D

【解析】

【分析】

图象关于y 轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.

【详解】

图象关于y 轴对称的函数为偶函数；

A 中，x ∈R ，

()()f x f x -=

=-，故()f x =

B 中，)(f x =的定义域为[]1,2-，

不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

C 中，由正弦函数性质可知，si 8)n (f x x =为奇函数；

D 中，x ∈R 且0x ≠，2((()))x x e f f e x x x -+==--，故2()x x

e e

f x x

-+=为偶函数. 故选：D.

【点睛】

本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:

(1)定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()=()f x f x --，则函数()f x 是奇函数；都有()=()f x f x ，则函数()f x 是偶函数

(2)图象法：函数是奇(偶)函数?函数图象关于原点(y 轴)对称．

12、D

【解析】

【分析】

71log 30a >=>，13

log 70b =<，0.731c =>得解． 【详解】

71log 30a >=>，13

log 70b =<，0.731c =>，所以b a c <<，故选D 【点睛】