流体平衡微分方程式

第2章 流体运动的基本方程

第2章 流体运动的基本方程 流体运动极其复杂,但也有其内在规律。这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在流体力学中有其独特的表达形式,组成了制约流体运动的基本方程。本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程,并给出不同的表达形式。 2.1 连续方程 2.1.1 微分形式的连续方程 质量守恒定律表明,同一流体的质量在运动过程中保持不变。下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。 在流体中任取由一定流体质点组成的物质体,其体积为V ,质量为M ,则 ? = V dV M ρ 根据质量守恒定律,下式在任一时刻都成立 0== ? V dV dt d dt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式(1-15b ),则 0dV )]v (div t [dV )v div Dt D ( dV dt d V V V ?? ? =+??=+= ρρρρ ρ 因假定流体为连续介质,流体密度和速度均为空间和时间的连续函数,被积函数连续,且体积V 是任意选取的,故被积函数必须恒等于零,于是有 0v div Dt D =+ ρρ (2-2a ) 或 0)v (div t =+?? ρρ (2-3a ) 上式亦可以写成如下形式 0x u Dt D i i =??+ρ ρ (2-2b ) 或 0x )u (t i i =??+ ??ρρ (2-3b )

式(2-2)和式(2-3)称为微分形式的连续性方程。 在直角坐标系中,微分形式的连续性方程为 0z )u (y )u (x )u (t z y x =??+ ??+ ??+ ??ρρρρ (2-4) 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流,它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意义是,流体在单位时间流经单位体积空间时,流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。 由式(2-2)可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为 0=Dt D ρ (2-5) 即密度应随质点运动保持不变。 0=??t ρ只是指密度是恒定不变的,但流体质点密度还可以 在流动中随位置发生变化。只有满足式(2-5),质点密度才能保持不变。但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵(图2-1),含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动(图2-2),都是具有不同密度的不可压缩流动。在这种流动中,因密度不同形成不同的流层,常称为分层流动。 图2-1 河口的海水入侵[1] 图2-2 水库中的浑水异重流[1] 对不可压缩均质流体,则不但0=Dt D ρ,而是在全流场和全部时间内ρ=常数,因此, 连续性方程简化为

4.2 理想流体的运动微分方程讲解

4.2 理想流体的运动微分方程 理想流体是指无粘性的且不可压缩流体,是一种假想的,不存在的流体。实际流体有粘性,粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力 取微六面体如图4-3所示;中心点为),,(z y x M ,M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ,z y x Y d d d ρ,z y x Z d d d ρ;流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ;由压强产生的表面力,在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下: z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程(同除m z y x d d d d =ρ)如下

??? ? ? ? ???==??-==??-==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。 式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程,是Euler 1755年推导出来的,故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分-Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位,其形式简单、意义明确,在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。 一 运动微分方程在流线上的积分形式 在流线上取质点,不论是否定常运动,经过时间t d ,质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=;s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === (4.3-1) 对式(4.2-1a )的三式依次乘z y x d ,d ,d ,相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= (4.3-2)

流体的平衡微分方程及其积分

流体的平衡微分方程及其积分 一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程 如图所示,在平衡流体中取一微元六面体,边长分别为d x ,d y ,d z ,设中心点的压强为p (x,y,z )=p ,对其进行受力分析: 根据平衡条件,在x 方向有0F x =∑,即: 0zX y z y x p 21z y )21=+)+-((d dxd d d dx p d d dx x p p ρ????- 01X =-x p ??ρ 式中:X ——单位质量力在x 轴的投影 流体平衡微分方程(即欧拉平衡微分方程): ?????????=??-=??-=??- 010101z p Z y p Y x p X ρρρ 物理意义:处于平衡状态的流体,单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。 压强沿轴向的变化率(z p y p x p ??????,,)等于轴向单位体积上的质量力的分量(ρX ,ρY ,

ρZ )。 二、平衡微分方程的积分 将欧拉平衡微分方程中各式,分别乘以dx 、dy 、dz ,整理: Zdz)Ydy (Xdx dz z p dy y p x ++=??+??+??ρdx p 因为p = p (x,y,z ) ∴ Zdz)Ydy (Xdx dp ++=ρ ρ为常量; Xdx +Ydy +Zdz 应为某函数W =F (x ,y ,z )的全微分: dz z W dy y W dx x W dz dy dx d ??+??+??=++=)Z Y (X W dW dp =ρ 平衡流体中压强p 的全微分方程 积分得:p=ρW +c 假定平衡液体自由面上某点(x 0,y 0,z 0)处的压强p 0及W 0为已知,则: c =p 0-ρW 0 ∴ p=p 0+ρ(W-W 0) 欧拉平衡微分方程的积分 三、帕斯卡定律 处于平衡状态下的不可压缩流体中,任意点M 处的压强变化值△p 0,将等值地传递到此平衡流体的其它各点上去。 说明:只适用于不可压缩的平衡流体; 盛装液体的容器是密封的、开口的均可。 四、等压面 平衡流体中压强相等的各点所组成的面。 等压面:dp =ρ(Xdx +Ydy +Zdz )=0 ρ为常量,则:Xdx +Ydy +Zdz =0 即:质量力在等压面内移动微元长度所作的功为零。 等压面的特征:平衡流体的等压面垂直于质量力的方向 只有重力作用下的等压面应满足的条件: 1.静止; 2.连通; 3.连通的介质为同一均质流体;

流体主要计算公式

主要的流体力学事件有: 1738年瑞士数学家:伯努利在名著《流体动力学》中提出了伯努利方程。 1755年欧拉在名著《流体运动的一般原理》中提出理想流体概念,并建立了理想流体基本方程和连续方程,从而提出了流体运动的解析方法,同时提出了速度势的概念。 1781年拉格朗日首先引进了流函数的概念。 1826年法国工程师纳维,1845年英国数学家、物理学家斯托克思提出了著名的N-S方程。 1876年雷诺发现了流体流动的两种流态:层流和紊流。 1858年亥姆霍兹指出了理想流体中旋涡的许多基本性质及旋涡运动理论,并于1887年提出了脱体绕流理论。 19世纪末,相似理论提出,实验和理论分析相结合。 1904年普朗特提出了边界层理论。 20世纪60年代以后,计算流体力学得到了迅速的发展。流体力学内涵不断地得到了充实与提高。 理想势流伯努利方程 (3-14) 或(3-15) 物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中,理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中,伯努利常数C 均相等。 (应用条件:“”所示) 符号说明 物理意义几何意义 单位重流体的位能(比位能)位置水头 单位重流体的压能(比压能)压强水头 单位重流体的动能(比动能)流速水头 单位重流体总势能(比势能)测压管水头

总比能总水头 二、沿流线的积分 1.只有重力作用的不可压缩恒定流,有 2.恒定流中流线与迹线重合: 沿流线(或元流)的能量方程: (3-16) 注意:积分常数C,在非粘性、不可压缩恒定流流动中,沿同一流线保持不变。一般不同流线各不相同(有旋流)。(应用条件:“”所示,可以是有旋流) 流速势函数(势函数)观看录像>> ?存在条件:不可压缩无旋流,即或 必要条件存在全微分d 直角坐标

平衡微分方程与切应力互等定理

第二章应力状态分析 一. 内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体,因此分析从微分单元体入手,本章的任务就是从静力学观点出发,讨论一点的应力状态,建立平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此,一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法,这包括应力矢量定义,及其分解为主应力、切应力和应力分量;其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式;最后是一点的特殊应力确定,主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。 应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程,如果你没有学习过张量概念,请进入附录一,或者查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点-微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理;边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二. 重点

1.应力状态的定义:应力矢量;正应力与切应力;应力分量; 2.平衡微分方程与切应力互等定理; 3.面力边界条件; 4.应力分量的转轴公式; 5.应力状态特征方程和应力不变量 三.知识点 体力、应力矢量、应力分量、平衡微分方程、面力边界条件、主平面与主应力、主应力性质、截面正应力与切应力、三向应力圆、八面体单元、偏应力张量不变量、面力、正应力与切应力、应力矢量与应力分量、切应力互等定理、应力分量转轴公式、平面问题的转轴公式、应力状态特征方程、应力不变量、最大切应力、球应力张量和偏应力张量 §2.1 体力和面力 学习思路: 本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力,体力F b和面力F s的概念均不难理解。

第二节流体流动的基本方程式

第二节 流体流动的基本方程式 化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动,液体从低位流到高位或从低压流到高压,需要输送设备对液体提供能量;从高位槽向设备输送一定量的料液时,高位槽所需的安装高度等问题,都是在流体输送过程中经常遇到的。要解决这些问题,必须找出流体在管内的流动规律。反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。 1-2-1 流量与流速 一、流量 单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。若流体量用体积来计量,称为体积流量,以V s 表示,其单位为m 3/s ;若流体量用质量来计量,则称为质量流量,以w s 表示,其单位为kg/s 。 体积流量与质量流量的关系为: w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度,kg/m 3。 二、流速 单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。以u 表示,其单位为m/s 。 实验表明,流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化,即在管截面中心处为最大,越靠近管壁流速将越小,在管壁处的流速为零。流体在管截面上的速度分布规律较为复杂,在工程计算中为简便起见,流体的流速通常指整个管截面上的平均流速,其表达式为: A V u s = (1-17) 式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积,m 2。 流量与流速的关系为: w s =V s ρ=uA ρ (1-18) 由于气体的体积流量随温度和压强而变化,因而气体的流速亦随之而变。因此采用质量流速就较为方便。 质量流速,单位时间内流体流过管路截面积的质量,以G 表示,其表达式为: ρρu A V A w G s s === (1-19) 式中 G ——质量流速,亦称质量通量;kg/(m 2·s )。 必须指出,任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的,但在其它方面则并不等效。 一般管道的截面均为圆形,若以d 表示管道内径,则 2 4d V u s π= 于是 u V d s π4= (1-20) 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。流量一般为生产任务所决定,而合理

第一章 1[1].1流体流动静力学基本方程分析

第一章流体流动 1-0 概述 一学习本章的意义: 1.流体存在的广泛性。在化工厂中,管道和设备中绝大多数物质都是流体(包括气体、液体或气液混合物)。只是到最后,有些产品才是固体。 2 .通过研究流体流动规律,可以正确设计管路和合理选择泵、压缩机、风机等流体输送设备,并且计算其所需的功率。 3 .流体流动是化工原理各种单元操作的基础,对强化传热、传质具有重要的实践意义。因为热量传递,质量传递,以及化学反应都在流动状态下进行,与流体流动密切相关。 所以大家要认真学习这一章,充分打好基础。 二流体流动的研究范畴 1 流体定义:具有流动性的液体和气体统称为流体。 2 连续性介质假定:流体是由大量的单个分子组成,而每个分子之间彼此有一定的间隙,它们将随时都在作无规则随机的运动。所以,若把流体分子作为研究对象,则流体将是一种不连续介质,这将使研究非常困难。好在在化工生产过程中,我们对流体流动规律的研究感兴趣的并非是单个分子的微观运动,而是流体宏观的机械运动。所以我们不取单个分子作为考察对象,而取比分子平均自

由程大得多,比设备尺寸小得多的这样一个流体质点作为最小考察对象,质点是由大量分子组成的微团,它可以代表流体的性质。流体可以看成是由大量微团组成的,质点间无空隙,而是充满所占空间的连续介质,从而可以使用连续函数的数学工具对流体的性质加以描述。 提高:连续性介质假定 如图1所示,考虑一个微元体积内流体平均密度的变化情况:取包含P(x,y,z)点在内的微元体积⊿V,其中包含流体的质量为⊿m,则微元流体的平均密度为⊿m/⊿V,微元流体的平均密度随体积的变化如图2所示。当微元体积⊿V从非常小逐渐增大,趋向一个特定的微元体积V时,流体的平均密度逐渐趋向一个极限值,且不再随微元体积的继续增大而发生变化。当微元体积⊿V比δV小时,这时微元体积内所包含的流体分子数目是那样少,以致流体分子由于其无规则的热运动,进入或离开微元体积的流体分子数目已足以引起该微元体积内流体平均密度的随机波动。只有当微元体积大于δV后,其中

平衡微分方程的适用范围

1、 平衡微分方程的适用范围 弹性力学、塑性力学、弹塑性力学。 2、 张量:怎样判断? (1)商判则:和任意矢量点积为K-1阶张量的量一定为K 阶张量。 (2)能否满足分量转换规律是判断某个数的集合是否表示一个张量的基本准则。 3、n 维张量的举例 标量零阶张量,矢量为一阶张量,应力、应变为二阶张量,应力、应变之间的弹性关系可用四阶张量表示。 4、▽的意义? ▽为一个梯度,▽2为调和算子(拉普拉斯算子),▽4为重调和算子。 5、柯西应变张量与格林应变张量的区别? 柯西应变张量适用于线弹性小变形,格林应变张量适用于任何情况。 6、任意斜面上的应力的本质是? 平衡微分方程和转轴公式。 7、如何描述正应变,剪应变,体积应变,应力的球张量,应力的偏张量? 对于各向同性材料,正应力引起正应变,引起线元长度变化;剪应力引起剪应变,引起角度的变化;应力的球张量,只引起体积变化,不会引起形状的变化;应力的偏张量,只引起形状变化,不会引起体积的变化。 8、 动力学的平衡微分方程如何表示?(达朗贝尔原理) 根据达朗贝尔原理,把惯性力当作体力来满足力平衡和力矩平衡条件。 9、转轴公式的理论依据:柯西公式。 10、等效应力、等效应变物理意义、公式: 等效应力将6个应力分量的对变形体的作用,等效于一个单向拉伸力的作用;等效应变将6个应变分量等效于一个单向拉伸力所产生的应变。利用实验,就可以直接建立等效应变与等效应力的数值关系 11、体积不可压(v=1/2): 从体积弹性模量() ν213-=E K 来看,当5.0=ν时,K 趋向于无穷大,也就是说体积变化无限小,即表示体积不可压缩。 12、为什么等值拉压是纯剪切 等值拉压时,线元只有角度发生变化,长度有发生变化,故等值拉压是纯剪切。 13、里茨和伽辽金法的物理思想 均是利用利用最小势能原理,寻找满足约束边界条件的试验函数。 14、弹性力学为什么可用逆解法、半逆解法: 解的唯一性定理表明,无论用什么方法求得的解,只要能满足全部基本方程和边界条件,就一定是问题的真解。 15、叠加原理建立在什么条件下: 基本方程和边界条件满足线弹性条件,举例:在线弹性条件下,复杂问题可通过简单叠加处理。 16、圣维南原理的思想: 在物体内,距外加载荷作用处相当远的各点的应力状态,在外载荷的合力和合力矩相同时,与外载荷的具体分布形式关系很小。

流体运动方程与能量方程

第一章流体力学基础——流体运动的微分方程 西安建筑科技大学 粉体工程研究所

质量传递——连续性方程动量传递——纳维-斯托克斯方程能量传递——能量方程状态方程 流体运 动微分方程组 所有流体运动传递过程的通解 质量守恒定律 动量定理能量守恒定律

1.3流体运动的微分方程 ?质量守恒定律——连续性方程?动量定理——纳维-斯托克斯方程?能量守恒定律——能量方程 ?定解条件

1.3.1 质量守恒定律——连续性方程 ?质量既不能产生,也不会消失,无论经历什么形式的运动,物质的总质量总是不变的。 ?质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 18世纪,达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程 在控制体内不存在源的情况下,对于任意选定的控制体 单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述:流入控制体的质量速率 流出控制体的质量速率 控制体内的质量累计速率 = A B

τ时刻A 点流体密度为,速度沿x ,y ,z 三坐标轴的分量为1.3.1 质量守恒定律——连续性方程 连续性方程的推导边长为dx ,dy ,dz 的控制体微元 )ρ(x,y,z, τ)(x,y,z,u τ z y x ,u ,u u 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量(即质量流量) x 方向 dydz ρu x 通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率 dydz dx x )(ρρu x x ?? ???? ??+u dxdydz x ) (ρx ??-u

A :流入与流出微元控制体的质量速率之差x 方向dxdydz x )(ρx ??-u y 方向z 方向 dxdydz y )(ρ??-y u dxdydz z )(ρ??-z u dxdydz z )(ρy )(ρx )(ρ????????+??+??-z y x u u u B :微元控制体内的质量累计速率 τ时刻 ρdxdydz ρ 密度 质量 τ+d τ时刻dxdydz d ρρ?? ? ?? ??+τττ τ d ρ ρ??+dxdydz ρd ρdxdydz dxdydz d ρρτ τ ττ??=-?? ? ?? ??+

第三章 流体流动的基本概念与基本方程

第三章 流体流动的基本概念与方程 质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理,流体作为一类物质也应该遵循这些原理。这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过,适用于流体运动的方程式将在本章讨论。本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念,然后推导出流体流动的基本方程,即连续方程、动量方程、能量方程等。这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。 3.1 描述流体流动的方法 在流体力学的研究中,描述流体的运动一般有两种方法,即拉格朗日法与欧拉法。 3.1.1 拉格朗日法 拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的,以及流体质点的特性是如何随时间变化的。为了区别流体质点,使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的,坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。 在任何瞬时质点的位置可表示为 (3.1) 对于一给点的坐标(a, b, c),上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。 此时,质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。在笛卡尔坐标系中,质点的速度可表示为 (3.2) 加速度为

(3.3) 3.1.2欧拉法 流体是由无数流体质点组成的连续介质,充满流动流体的空间称为流场。 表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点,观察流经该点的流体质点随时间的运动。这种研究流体质点运动的方法称为欧拉法。在更一般的意义上,欧拉法可以通过以下方面描述整个流场: (1)在空间某一点流动参数,如速度、压强等,随时间的变化; (2)这些参数相对于空间邻近点的变化。 此时,流动参数是空间点的坐标与时间的函数: (3.4) 或 (3.4a) (3.5) 流体质点随时间将从一点运动到另一点,这意味着流体质点的位置也是时间的函数。 利用多元函数的微分连锁律,可将流体质点在x方向的加速度表示为: (3.6a) 同样 (3.6b) (3.6c) 或写成矢量的形式

运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院第一章质点力学之1.4运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院§1.4 质点运动定律 1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系 着重明确: 力的独立作用原理牛顿三定律完整的牛顿力学理论体系牛顿力学:牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律(引力理论).

JLU 物理与光电工程学院3. 牛顿第三定律 两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现, 大小相等, 方向相反, 作用在同一条直线上. 2.第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.

JLU 物理与光电工程学院4. 力的独立作用原理: 如果一个质点同时受多个力的作用, 这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响. m F a 11r r =m F a 22r r =m F a n n r r =… n a a a a r L r r r +++=21n a m a m a m a m r L r r r +++=21∑=+++=i n F F F F r r L r r 21),,(t r r F r m i &r r r &&r ∑=力的独立作用原理指出, 力不可以是加速度的函数.

JLU 物理与光电工程学院5.经典力学中的力 1)在牛顿力学中, 力由牛顿第二定律定义. 牛顿第二、第三定律指出: 力是物体间的相互作用, 力的动力学效果是使受力质点产生加速度. 2)万有引力定律: 任何两质点间均存在相互作用引力, 方向沿两质点连线, 大小为: 2 2 1 /r m Gm F =3)经典力学中其他常见的力:重力;弹簧弹性力;柔软绳的张力;刚性线或面的支撑力;刚性线或面的摩擦力;洛伦兹力;质点在流体中受流体阻力.6.力学相对性原理和经典力学时空观 (1)力学相对性原理:对任何惯性系,力学运动规律完全相同.或者说,对力学运动规律而言,一切惯性系都是等价的.

最新常微分方程平衡点及稳定性研究

常微分方程平衡点及稳定性研究

摘要 本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性,并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上,讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性,这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- 的平衡点1 x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词:自治系统平衡点稳定性全局吸引性

Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1 x= of the following delay single population model ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity

[平衡微分方程的适用范围]平衡微分方程

[平衡微分方程的适用范围]平衡微分方程 平衡微分方程的适用范围 弹性力学、塑性力学、弹塑性力学。 张量:怎样判断? 商判则:和任意矢量点积为K-1阶张量的量一定为K 阶张量。 能否满足分量转换规律是判断某个数的集合是否表示一个张量的基本准则。 3、n 维张量的举例 标量零阶张量,矢量为一阶张量,应力、应变为二阶张量,应力、应变之间的弹性关系可用四阶张量表示。 4、▽的意义? ▽为一个梯度,▽2为调和算子,▽4为重调和算子。 5、柯西应变张量与格林应变张量的区别? 柯西应变张量适用于线弹性小变形,格林应变张量适用于任何情况。 6、任意斜面上的应力的本质是? 平衡微分方程和转轴公式。 7、如何描述正应变,剪应变,体积应变,应力的球张量,应力的偏张量?

对于各向同性材料,正应力引起正应变,引起线元长度变化;剪应力引起剪应变,引起角度的变化;应力的球张量,只引起体积变化,不会引起形状的变化;应力的偏张量,只引起形状变化,不会引起体积的变化。 动力学的平衡微分方程如何表示? 根据达朗贝尔原理,把惯性力当作体力来满足力平衡和力矩平衡条件。 9、转轴公式的理论依据:柯西公式。 10、等效应力、等效应变物理意义、公式: 等效应力将6个应力分量的对变形体的作用,等效于一个单向拉伸力的作用;等效应变将6个应变分量等效于一个单向拉伸力所产生的应变。利用实验,就可以直接建立等效应变与等效应力的数值关系 11、体积不可压: 从体积弹性模量来看,当时,K 趋向于无穷大,也就是说体积变化无限小,即表示体积不可压缩。 12、为什么等值拉压是纯剪切 等值拉压时,线元只有角度发生变化,长度有发生变化,故等值拉压是纯剪切。 13、里茨和伽辽金法的物理思想 均是利用利用最小势能原理,寻找满足约束边界条件的试验函数。

相关文档
最新文档