第三章-行波法
第三章 行波法
§3.1 达朗贝尔法（行波法）
考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：
????
?????==??=??)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u t
ψ? ∞+<∞-+∞
<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线
1c at x =+，2c at x =-
作变换
at x +=ξ，at x -=η
由上面的方程变为：
02=???η
ξu 求上面偏微分方程的解
先对η积分一次得
)(1ξη
f u =?? 再对ξ积分一次得：
?+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u
其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为
)()(),(at x G at x F t x u -++=
下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,
∵ )(0x u t ?==，)(0x u t t ψ==
∴ )()()(x x G x F ?=+ （1）
)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）
对（2）从0x 到x 积分得：
?-+=
-x x x G x F d a
x G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3） （1）+（3）得 )]()([2
1)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=?ααψ? ?---=x x x G x F d a x x G 0)]()([2
1)(21)(21)(00ααψ? ∴ ?+-+++-=at x at
x d a at x at x t x u ααψ??)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式
例：确定初值问题：
??
???==>∞+<∞??=??-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a t
u t 解：略。
达朗贝尔方程的物理定义：
先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）
)]()([2
1),(at x at x t x u ++-=
?? 先看)(at x -?项：
当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ??=-
在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：
)()()(c at at c at x ???=-+=-
由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和
观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。
∴ )(at x -?表示以速度a 正向传播的波，叫正行波。
同样，)(at x +?表示以速度a 负向传播的波，叫逆行波。
若0)(=x ?，即振动没有初始位移，这时
?+-=
at x at x d a t x u ααψ)(21),( 令 ?+Φ=c d )()(αααψ
则 )()(),(at x at x t x u -Φ-+Φ=
由此可见第一项也是逆行波（反行波），第二项也是正行波。正、反行波的叠加（相减）给出弦的位移。
综上所述：达朗贝尔解表示正行波和反行波的叠加。
§3.2 反射波
讨论半元界弦的自由振动，且在无外力作用的情况下，其定解问题为：
?????????>=+∞<≤=+∞<≤=≥+∞<≤??=??(4) 0
0),0((3) 0 )()0,((2) 0
)()0,()1( 0,x 0 22222t t u x x x u x x x u t x u a t u t
ψ? （1）的通解为：
)()(),(at x G at x F t x u -++=
将初始条件（2），（3）代入上式得：
)()()(x x G x F ?=+
)()()(//x x aG x aF ψ=-
得 ?-++=x x x G x F d a x x F 0)]()([2
1)(21)(21)(00ααψ? （5） ?---=x x x G x F d a x x G 0)]()([2
1)(21)(21)(00ααψ? （6）
再将（4）代入得：
0 0)()(>=-+at at G at F
讨论：。1：当0≥-at x 即a
x t ≤时，则（5），（6）变为 ?+-+??++=+at x x x G x F d a at x at x F 0)]()([2
1)(21)(21)(00ψ? ?---??--=-at x x x G x F d a at x at x F 0)]()([2
1)(21)(21)(00ψ? 代入通解有：
?+-??+++-=at x at
x d a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? 。2：若0<-at x 即a
x t >，则)(at x F +仍可由（5）得到，但（6）不能用。但由（7）令at x =，则有
0)()(=-+x G x F 0≥x
则 )()(x G x F --=
∴ )())(()(x at F at x G at x G --=---=- 0≥-x at
∴ ?+-+??++=
+at x x x G x F d a at x at x F 0)]()([2
1)(21)(21)(00ψ? ?---??---=--=-x at x x G x F d a x at x at F at x G 0))()((2
1)(21)(21)()(00ψ? 代入得： ?+-??+--+=at x x at d a x at at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? 综上半元界弦的自由振动解为：
???????>??+--+≤??+-++=??+-+-at x x at at x at x a x t d a x at at x a x t d a at x at x t x u )(21)]()([2
1 )(21)]()([21),(ψ??ψ?? 解的物理意义：
（1）若a
x t ≤
时，其解为达朗贝尔解，这说明端点的影响未传到。 （2）若a x t >时，此时解和达郎贝尔解不相同，这说明端点的影响已传到。 为说明问题，设初速度为零则
)]()([2
1),(x at at x t x u --+=?? 上式中第一项：从x 轴负向向端点传播的反行波；
上式中第二项：)(x at -?
若观察者在0=t 时位于c x =处，这时他所看到的波形为)()(c x at -=-??
若观察者以速度a 沿x 轴正向行走，于是在t 时刻观察看者行至到at c x +=处，这时他们所看到的波形为：
)()()(c at c at x at -=--=-???
这说明第二项是由端点传来的以速度a 沿x 轴正向传播的正行波筒称为反射波。
反射波的另一种求解办法：
（Ⅰ）若一端固定：此时相应的定解问题为：
????
?????=+∞<≤==>∞+<≤??=??===00 )( );(0,0 0022222x t t o t u x x u x u t x x x u a t u ψ? 由于上面的问题已不是Cauchy 问题，因此要用达朗贝尔公式必须将)(x ?和)(x ψ延拓到整个数轴上，变为)(),(x x ψΦ。
这时：
?+-??ψ++Φ+-Φ=at x at
x d a at x at x t x u )(21)]()([21),( ∵ 0),0(=t u
∴ ?-=??ψ+Φ+-Φat at d a
at at 0)(21)]()([21 因此，要使上式成立，只需ψΦ,为奇数即可。
∴ ???<--≥=Φ0 )(0 )()(x x x x x ?? ???<--≥=ψ
0 )(0 )()(x x x x x ψψ
∴ ???????>??+--+≤??+-++=??+-+-at x x at at x at x a x t d a x at at x a x t d a at x at x t x u )(21)]()([2
1 )(21)]()([21),(ψ??ψ?? （Ⅱ）若端点自由，则边界条件变为：00==x x u ，则：
0)]()([21)]()([21=-ψ-ψ+-Φ'+Φ'at at a
at at 虽然只要取)(x Φ'为奇函数，)(x ψ为偶函数即可。
此时：
???????>??+-++≤??+++-??-+时时a x t d a x at at x a x t d a at x at x t x U x at at x at x ])([21)]()([2
1 )(21)]()([21),(0_ψ??ψ??
§3.3 纯强迫振动
以上讨论的仅限于自由振动，其方程均为齐次的。下面讨论无界弦或杆的纯强迫振动，即
???????==+===(3)
0(2) 0(1) ),(002t t t xx tt u u t x f u a u 这时方程是非齐次的，若能设法将非齐项清去，便可利用达朗贝尔法求解。为此引入冲量原理。
1．冲量原理
方程（1）中的ρ)
,(),(t x F t x f =是单位质量的弦上所受的外力。这是一从时刻0=t 一
直延续到时刻t 的持续作用力。根据叠加原理，这一持续力),(t x f 所引起的振动，可视为一条到前后相继的瞬时力)0)(,(t x f ≤≤ττ所引导起的振动);,(τt x w 的叠加，即
∑=→?=t
t x t x u 10);,(lim ),(τττω 由于力对系统的作用对于时间积累是给系统一定的冲量。
考虑在短时间间隔τ?内),(τx f 对系统的作用。则ττ?),(x f 表示在τ?内的冲量，该冲量使系统的动量即系统的速度有一个改变量[∵),(t x f 是单位质量弦上所受的力，故动量在数值上等于速度]。现将τ?内得到的速度改变量视为是在τ=t 时刻的一瞬间得到的。则在τ?这段时间内，瞬时力),(τx f 所引起的振动的是解问题可表为：
????????==?+<<===τ
τωωτττωωττ),(0 2x f t a t t t xx tt 为了求解，令τττω?=);,();,(t x V t x 则上面方程变为：
???????=====(6)
),((5) 0(4) 2τττx f V V V a V t t t xx tt 因此欲求振动问题（1）～（3）的解，只需求振动问题（4）～（6）的解，而
∑∑?==→?→?τττωττ);,(lim );,(lim ),(00t x V t x t x u ?=t
d t x V 0),,(ττ 以上这种同瞬时冲量的叠加代替持续力来求解问题（1）～（3）的方法，称为冲量原理。
2：纯强迫振动的解
对于下面的定解问题：
???????=====)
,(02τττx f V V V a V t t t xx tt 令τ-=t T ，则
???????=====)
,(0002τx f V V V a V T T T xx TT 则由达朗贝尔公式
??+--+--??=??=aT x aT x t a x t a x d f a d f a t x V )()
(),(21),(21);,(τττττ 于是得：
??????
????=-+--t t a x t a x d d f a t x u 0)()(),(21),(ττττ 此即强迫振动的解。
例：求解下面的定解问题
???==>+∞<<∞++=0
)0,(,0)0,(0t ,x - 2x u x u at x u a u t xx tt 解：此题属于 强迫振动问题，且at x t x f +=),(，由公式有
???????
??=
-+--t t a x t a x d d a t x u 0)()(21),(τττ 320)()(6121][21at xt d d a a t t a x t a x +=????????+?=??-+--ττττ 例：2求解下面的定解问题
?????===-0)0,(0)0,(8x u x u u u y
yy xx
解：将y 换成t ，则原方程变为：
?????==-=0)0,(0)0,(8x u x u u u t
xx tt
故由由强迫振动的求解公式有：
??-==????
????=-+--t t a x t a x t x f a d d f a t x u 0)()()8),(,1( ),(21),(ττττ ??-=????
???-=-+--t t x t x t d d 02)()(4821τττ