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2.3 数学归纳法
第 1 课时 数学归纳法
1．用数学 法 明“ 2n
>n 2
＋1 于 n ≥n 0 的自然数 n 都成立” ，第一步
明中的起始 n 0 取
(
)．
A ．2
B ． 3
C ． 5
D ．6
解析 当 n 取 1、2、3、4 2
n
2＋
1 不成立，当 ＝ ，
5＝
2
＋ ＝
>n
n 5 2
32>5 1
26，第一个能使 2n
>n 2
＋1 的 n5，故 C.
答案 C
n ＋ 3 n ＋4
2．用数学 法 明等式
1＋ 2＋ 3＋?＋ (n ＋ 3)＝
(n ∈ N ＋ )， n
2
＝ 1 ，左 取的 是
(
)．
A ．1
B ． 1＋ 2
C ．1＋2＋3
D ． 1＋ 2＋ 3＋ 4
解析 等式左 的数是从 1 加到 n ＋3.
当 n ＝1 ， n ＋3＝4，故此 左 的数 从 1 加到 4. 答案 D
1 1
1 (n ∈N ＋ )，那么 f(n ＋1)－ f(n)等于
3． f(n)＝1＋2＋3＋?＋
－
3n
1
(
)．
1
1
1
A.
3n ＋2
B.3n ＋ 3n ＋1
C. 1 ＋ 1
1 1 ＋ 1 ＋ ＋ 2
D.3n ＋ ＋ ＋
2 3n 1 3n
3n
1 3n
1
1 1 解析
∵f(n)＝1＋2＋3＋?＋
，
3n －1
1 1
1 1
1
1
∵f(n ＋ 1)＝1＋2＋3＋?＋
＋3n ＋
＋
，
3n －1
3n ＋ 1 3n ＋2
∴f(n ＋ 1)－f(n)＝ 1 1 1
＋ ＋.
3n 3n ＋ 1 3n ＋2
答案
D
4．用数学 法 明关于 n 的恒等式，当
n ＝k ，表达式
1×4＋2×7＋?
＋ k(3k ＋1)＝ k(k ＋ 1)2， 当 n ＝k ＋1 ，表达式 ________．
答案 1×4＋2×7＋?＋ k(3k ＋1)＋ (k ＋1)(3k ＋4)＝ (k ＋1)(k ＋2)2 5． 凸 k 形的内角和
f(k)， 凸 k ＋ 1 形的内角和 f(k ＋ 1)＝f(k)＋________.
解析
由凸 k 形 凸 k ＋1 形 ，增加了一个三角形 形，故
f(k ＋ 1)
＝ f(k)＋ π.
答案 π 6．用数学 法 明：
1 ＋ 1
＋?＋
1
＝
1
＋
1
＋?＋
1
1×2 3×4
2n －1 ·2n n ＋1
n ＋2
n ＋n
.
明
(1)当 n ＝1 ，左 ＝
1
＝
1
，右 ＝
1
，等式成立．
1×2
2
2 (2)假 当 n ＝k(k ∈N * ) ，等式成立，即
1
1
1 1
1
1
× ＋ ×
＋?＋
－
＝
＋ k ＋ ＋?＋ 2k .
1 2 3 4 2k 1
·2k k ＋ 1 2
当 n ＝k ＋1 ，
1 ＋ 1
＋?＋
1 ＋
1 1×
2 3×4
2k － 1 ·2k 2k ＋1 2k ＋2
＝
1
＋
1
＋?＋ 1 ＋ 1
k ＋1 k ＋2 2k
2k ＋ 1 2k ＋ 2 ＝ 1 ＋ 1 1 ＋ 1 1 1
＋?＋ 2k ＋ 1－ 2k ＋2 ＋
k ＋2 k ＋3 2k ＋ 1 k
＝
1
＋
1
＋?＋ 1 ＋ 1 ＋ 1
k ＋2 k ＋3
2k
2k ＋
1
＋ 2
2k 1 1
1
1
.即当 n ＝k ＋1
＝
k ＋1 ＋1
＋
k ＋ 1 ＋2
＋?＋
k ＋1 ＋k
＋
k ＋ 1 ＋ k ＋1 ，
等式成立．
根据 (1)(2)可知， 一切 n ∈N * ，等式成立．
7．若命 A(n)(n ∈N * )在 n ＝k(k ∈N * ) 命 成立， 有 n ＝k ＋ 1 命 成立．
知命 n＝ n0(n0∈ N* )命成立，有
()．A．命所有正整数都成立
B．命小于 n0的正整数不成立，大于或等于n0的正整数都成立
C．命小于 n0的正整数成立与否不能确定，大于或等于n0的正整数都成立
D．以上法都不正确
解析由已知得 n＝n0 0∈*
) 命成立，有
n
＝0＋
1
命成立；在
n
(n N n
＝ n0＋1 命成立的前提下，又可推得n＝ (n0＋1)＋1 命也成立，依此
推，可知 C.
答案 C
8．用数学法明 (n＋1)(n＋ 2)(n＋3)?(n＋n)＝2n·1·3·?·(2n－1)(n∈N* )，从n＝k 到 n ＝ k＋ 1，左增加的代数式
( )．A．2k＋1 B．2(2k＋ 1)
2k＋1 2k＋ 3
C. k＋ 1
D. k＋1
解析n＝ k ，左＝ (k＋ 1)(k＋ 2)?(2k)； n＝k＋1 ，左＝ (k＋2)(k＋
3)? (2k＋ 2)＝2(k＋1)(k＋2)?(2k)(2k＋1)，故 B.
答案 B
9．分析下述明 2＋4＋?＋ 2n＝ n2＋n＋1(n∈N＋ )的程中的：
明假当 n＝k(k∈N＋ )等式成立，即2＋ 4＋?＋ 2k＝k2＋k＋1，那么 2 ＋4＋?＋ 2k＋ 2(k＋ 1)＝k2＋ k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当 n＝k ＋1 等式也成立．因此于任何 n∈N＋等式都成立． __________________.
答案缺少步奠基，上当n＝ 1 等式不成立
10．用数学法明 (1＋ 1)(2＋2)(3＋ 3)?(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)，从 n＝k 到 n ＝ k＋1 左需要添加的因式是________．
解析当 n＝ k ，左端： (1＋1)(2＋2)?(k＋k)，
当 n＝k＋ 1 ，
左端： (1＋1)(2＋2) ?(k＋k)(k＋ 1＋k＋1)，由 k 到 k＋1 需添加的因式： (2k＋2)．
答案2k＋ 2
11．用数学法明
2＋22＋?＋n2＝n n＋1
2n＋1 ∈*
)
．
1
6 (n N 明(1)当 n＝1 ，左＝ 12＝1，
右＝1× 1＋ 1 × 2×1＋1
6 ＝ 1，
等式成立．
(2)假当 n＝k(k∈N* )等式成立，即12＋22＋?＋k2＝
k k＋12k＋1
6
那么，
12＋ 22＋?＋ k2＋(k＋1)2
＝k k＋1 2k＋1
＋(k＋1)2
6
k k＋ 1 2k＋ 1 ＋6 k＋1 2
＝
6
k＋1 2k2＋7k＋6
＝
6
＝k＋1 k＋2 2k＋3
6
＝k＋1 [ k＋ 1 ＋1][2 k＋ 1 ＋1]，
6
即当 n＝k＋1 等式也成立．
根据 (1)和 (2)，可知等式任何n∈N*都成立．
12．(新拓展 )已知正数数列
n * n nn
1
n，用{a }( n∈ N )中，前 n 和 S ，且 2S ＝ a ＋a
数学法明： a n＝－－
n n 1. 明 (1)当 n＝1 ．
1 1
a1＝ S1＝2 a1＋a1，
2
∴ a1＝1(a n>0)，
∴ a1＝1，又1－0＝1，
∴ n＝ 1 时，结论成立．
(2)假设 n＝ k(k∈ N* )时，结论成立，即a k＝ k－ k－1.
当 n＝k＋ 1 时，
a k＋1＝ S k＋1－S k
＝1
a k＋1＋ 1 －
1
a k＋1
a a
2 2
k＋ 1 k
＝1 k＋1 1 1 k－ k－1＋ 1
2
a ＋
a k＋1
－
2 k－ k－1 1 1
＝2 a k＋1＋a k＋1－ k
2
∴ a k＋1＋2 ka k＋1－ 1＝ 0，解得 a k＋1＝ k＋1－k(a n>0)，∴ n＝ k＋1 时，结论成立．
由 (1)(2)可知，对 n∈N*都有 a n＝n－n－1.