格林函数以及拉普拉斯方程讲解
格林函数的概念及其物理意义
格林函数法是求解导热问题的又一种分析解法。
从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的 "场"和产生这种场的”源"之间的关 系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，
泊松方程表示静电场和电荷分布的关
系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠 加原理，我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林 函数法?而点源产生的场就叫做格林函数
物体中的温度分布随时间的变化是由于内热源、
边界的热作用以及初始温度分布作用
的结果。这些热作用都可以看做广义上的热源。
从时间的概念上说，热源可以使连续作用的,
如果作用的时间足够短，则可以抽象为瞬时作用的热源。同样的热源在空间上是有一定分布 的，但如果热源作用的空间尺度足够小， 也可以抽象为 点热源 、线热源和面热源。 在各 种不同种类的热源中，瞬时点热源
虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为
在其他的各种热源都可以看作是许多瞬时热源的集合， 即把空间中的热源看成是在空间中依
次排列着的许多点热源，在特定的几何条件的导热系统中，
在齐次边界条件和零初始条件下
单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格（ Gree n ）函数。对于二维和一
维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。
对于线性的导热问
题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场叠加得到，
数
学上即成为某种几分。这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基本思路。 采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程， 对于一维、二维和三维问题的解在形式上都可以表示的非常紧凑,
条件，包括几何条件（即有限大、半无限大或无限大）、边界条件和坐标系的选取。因此用
格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对特定定解条件的导热系统确定其格林函数。 本方
法的第二个要点是确定有内热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数 的关系。本节从几个较简单的例子开始介绍格林函数法在解决稳态导热问题中的应用， 再推
广到更为一般的情况。
“瞬时”和“点”热源的概念在数学上都可用狄克拉
3分布函数，简称3函数，来表示。
S 函数的定义为
込—防={°"占
I oo
= b
格林函数
而且解的物理意义比较清
楚。格林函数法可以来求解不同类型的偏微分方程, 有热源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程 格林函数法求解非稳态导热问题。
用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，
包括线性的椭圆形的偏微分方程 （如带 （如力学中的震动问题）。在此仅讨论用
而格林函数的形式取决于特定问题的具体
空间变量的三维S函数S (r -r')在直角坐标系中等同于三个坐标量的S函数的乘积，即S( x—x') S( y — y') S (z_z')。这样，T '时刻作用在空间某一点r'、
强度在数量上等于p C［J］的瞬时点热源可写作［| q v二P c S(r - r')
或在直角坐标系中表示为S r - r')二S x-x') S y- y')
S
z-z')
因此，作用在
x =x'
处的强度为p c 的瞬时面热源应为p c S (x—x') S (T — T')。由这
样的热源在齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布G (r忑r ' T ')
称为格林函数。其中自变量第一部分表示该温度分布是空间坐标r和时间T的函数，第二部分r '和T '表示瞬时点热源的位置和释放时间。
大平壁中的非稳态导热
首先从一个简单的一维稳态问题来介绍格林函数法的思路。设一维平壁有初始温度分布
F(x)和内热源q(x, ) =：?cg(x,)，平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流f (?)的作用。该问题的数学描述为
首先该导热系统的格林函数G,它满足以下的辅助问题:
OGCLQO
0<工<7八芒=0
r>0
K=L, r〉0
d2t
+ g(i r)
dt
0 V工V r—0
jc = O,r>0
工=L M>0
G=0,
T '时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应维持为 0,而T’时刻的瞬时热 源的作用等同于T '时刻的初始温度分布，则以上问题可转化为
用分离变量法卿的满足以上方程和边界条件的解的-般形式为
⑵
r 2 2 / -I
G （工小f ”）= A （）+￡九（f#）exp 一那畀::一r cos^~
fl-1 L L J L
系数九（工X ）可以由r"时的坟妒条件确定，即
co
凡+》Ap/f ”）4$ 学^=6（工一f ）
m =]
把治-力展开成博里叶余弦级数并比较两边的系数，猖到
即格林函数为
CXI
G(xir ；^ ,r ) —?—?》
m 2
r}a(r-Ty
G=§a —工‘) 0
=r 工=0 ,匸>0
工=F 八T > 0
3G
刁工
空间变量的三维S 函数S (r -r')在直角坐标系中等同于三个坐标量的
S 函数的
L
2
mux
cos cos
初始温度分布F&）的影响可以看作是在/ = 0时刻在各微元体积 d 『=l 中有瞬时热源pcF （j/）5（2-）5（「—0）d/的作用。因此, 由初始温度分布引起的温度分布＜2应为
rt
t 2 (ZM )= F(x)G(x.i ；r
边界热流/⑺的影响可以看作是在时间序列上一系列的瞬时热源 卅）治-0舲」）卅的作用。因此由边界热流作用而引起的温度分 布人应为
1 卩?I
2 占 (rn 2n 2
ar F(z )QJC +三 2J exp ( ---------------------- p —
1
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dr g(f)df
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其中购弘指边界的外法线方向。为求解这一非齐次导热问题，先考虑