恒定电流的磁场

第一章 电磁场的差不多定律

§1.1、1.2电场与高斯定律

1 库仑定律：A 平方反比。B 介电系数

2 电场强度E

：电荷为q 的载流子受到的电场力为：E q F =

点电荷限制的意义：A 不扰动被测对象，操作意义。B 最小电荷量与最小载流子 量子电动力学与宏观电动力学研究对象的不同。

3 电场的计算： 1） 点电荷：条件是线性媒质

2） 多个点电荷；叠加原理成立，意味着求和

3）

场点),,(z y x P 、r

与源点),,(z y x P '''、r

'：带撇与不带撇

从源点到场点的矢径：0

R R r r R ='-=

其中222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-= 4）

连续分布电荷：A 概念：三种电荷密度、B 计算方法：求

和变为积分

3 电力线：及其重要。静电场：始于正电荷或无穷远，终于负电荷或无穷远。

时变场：环，电力线环套着磁力线环，磁力线环套着电力线环。

4 高斯定律：1）通量：面积分与矢量点乘s d E d E ?=ψ

s d

方向的定义：闭合曲面与非闭合曲面 2）电通量密度：E D

ε=：仅适用于线性、各向异性媒质

3）高斯定律：A 关于E 与D

两种：后者于媒质无关。 ∑?==?n

k k

s

q s d E 1

1ε

∑?==?n

k k

s

q s d D 1

4）用高斯定律计算电场：对称性的要求，高斯面。

5．静电场的环路积分：0=??C

l d E

§1.3、1.4 磁场、毕澳－沙伐尔定律、安培环路定律 1．磁感应强度：1）速度为v

的运动电荷在磁感应强度为B

的磁

场中受到的磁场力F d

B v dq F d ?=

2）载流导体：l Id l d dt

dq dt l d dq v dq

===

2．毕澳－沙伐尔定律：2

4r a l Id B d r

?=

πμ

其中r 为l d （源点）到场点的距离，r a

为l d （源点）到场点的

单位矢量。

电流I 与电流密度J ：dV J dsdl J l d s d J l Id

==?=)(

则有dV r

a J B d r

2

4

?=πμ

3 磁通连续性原理（关于磁场的面积分）：1）磁力线；任何情况下是闭合环形

2）磁通量（磁通）：s d B d

?=Φ

3）磁通连续性原理：?≡?s

s d B 0

该原理能够由毕澳－沙伐尔定

律证明。

4 安培环路定律（关于磁场的线积分）

1）?∑??==?s

k

k C

s d J I l d B μμ

电流与闭合曲线方向的规定；右手螺旋法则。

2）磁场强度：H

B

μ=

适用于线性、各向异性的媒质。?∑??==?s

k

k C

s d J I l d H

3） 安培环路定律求解磁场：利用对称性。

5麦克斯韦对安培环路定律的推广－全电流定律：

i.

推广线索：A 电容器充放电回路（参考教科书或一

般物理）B 对称性的要求：磁场生电场（法拉第电磁感应定律），电场为何不能生磁场。来而不往非礼也，非礼则不能长久。只能磁生电，最后只剩电了。 ii.

麦克斯韦磁场环路定律

s d t D s d J l d H s s C ???+?=????

iii. 全电流：

传导电流密度 E J c

σ=（欧姆定律） 运流电流密度 v J v

ρ=

位移电流密度 t

D

??

§1.5 电磁感应定律 1．

法拉第电磁感应定律

一个闭合导电回路的感应电动势??-=Φ-=s s d B dt

d dt d

ε

方向参考教科书16页图1.5.1

磁通的变化能够仅仅由磁场变化引起，也能够仅仅由导电回路的变化引起，也能够是两者皆有。 2．

法拉第电磁感应定律的意义：

感应电动势??=C

l d E

ε

我们明白关于由电荷产生的电场－静电场的环路积分为零：

0=??C

l d E

故环路积分不为零讲明一定有其它类型的源产生了电场，同时这种电场的性质不同于静电场。

也确实是电场的源除了电荷外，还有变化的磁通。即磁能生电。 3．

麦克斯韦对法拉第电磁感应定律的推广：不但适用于

闭合导电回路，也适用于任意空间的任何回路（不需要导电）

§1.6电磁场（麦克斯韦）方程的积分形式

1． 第一积分方程： ?????++=?c s v c s d t

D J J l d H

)(

第二积分方程： ?????-=?c s s d t

B l d E

第三方程： ??=?s

V

dV s d D ρ

第四方程： ?=?s s d B 0

几点注解：1）偏导数代替了全导数，2）第二方程什么缘故有个负号？若正号会发生什么。 补充内容：矢量场的数学性质

1．假如一个矢量场的散度和旋度已知，则该矢量场被唯一的确定。

2．任何矢量场最多只有两种源：散度源和旋度源

3．散度与闭合面积分通量有关： ????=?s

V

dV

D s d D )(

－高斯

定理

旋度与闭合回路线积分有关： ?????=?C s

s d E l d E )(－

斯托克斯定理

§1.7电磁场方程的微分形式 1． 什么缘故需要微分形式：需要明白每一点的情况。 2．

如何从积分形式得到微分形式：利用高斯定理和斯托克斯

定理 如?????=?C

s

s d E l d E )(

由麦克斯韦第二方程有?????-=?c s s d t

B l d E

由于闭合环路及上面的曲面是任意的，故有

t

B E ??-=??

同理我们能够导出其它三个微分方程。 3．麦克斯韦方程的微分形式

t D J H ??+=??

t B E ??-=??

ρ=??D

=??B

4．电荷守恒定律：单位时刻内由任意闭合曲面内流出电荷量

??s s d J 应等于曲面内的电荷减少量dV t

dt dq V ???-=-ρ

。 积分形式： dV t

dt dq s d J s V ????-=-=?ρ

微分形式： t

J ??-=??ρ

5．由于存在电荷守恒定律，麦克斯韦方程组中后两个散度方程能够从前两个旋度方程导出，故不是独立的。

6．总共有三个独立的矢量方程，J H B E D ,,,,五个矢量，ρ一个标

量，还缺两个矢量方程－状态方程。 7．状态方程：

)(E f D or E D

==ε )(H f B or

H

B

==μ

)(E f J or E J c c ==σ

由此能够对媒质进行分类（作业）。

三个状态方程是否多一个？第一、第三指不同的媒质。

§1.8 电磁场的边界条件

1．什么缘故需要边界条件：1）描述媒质分界面两侧电磁场的变化情况，由于媒质和场量不连续，微分不存在，因此微分方程不能用。2）从数学上讲，用麦克斯韦微分方程求解电磁场时必须有边界条件才能有确定解。用积分方程求解不需要边界条件，事实上积分方程就包含了边界条件。我们正是用积分方程导出边界条件的。

2．1）分界面上磁场的切向重量（推导参考教科书第23－24）页：

推导中几点注解；

§1.9 电磁场能量关系—坡印亭矢量

1．能够导出（教科书26、27页作业）

dV B H D E t dV E J s d H E s V V ?????

? ???+???-=?+?? 2121)( 各项的物理意义；

1）dV B H D E t V ???

?

???+???- 2121

D E ?2

1和

B H ?2

1分不是电场和磁场能量密度。故

dV B H D E t V ???

? ???+???- 2121表示体积V 内电磁场能量单位时刻内的减

少量。

2）??V

dV

E J

????+=?V

V

V

dV E v dV E dV E J ρσ2

上式右边第一项表示体积V 内单位时刻内传导电流的热损耗、第二项表示体积V 内单位时刻内电场能转换为运动电荷的动能。 3）(

)

???s s d H E

由此能够看出()???s s d H E

为单位时刻内由体积V 的表面S 流出（不

是流进）的电磁场能量。故我们假设坡印亭矢量H E S

?=为单位

时刻内垂直通过单位面积的电磁场能量，即功率流密度矢量。

2．坡印亭定理的物理意义：当体积内无其它能源时，单位时刻内体积内电磁场能量的减少等于体积中的功率损耗与经体积表面流出的功率流之和。

例：从太阳日照角度与气候的冷暖的关系，解释坡印亭矢量和通量的概念

3．静态场的情况：???=?-s

V

dV E J s d S

（“－”的意义）

讲明能量由不处空间（不是经导体内部）传递。

第二章 静电场和恒定电流电场

§2.1 静电场的差不多方程

1 静电场的定义：场的源－电荷，相关于观看者（坐标系）静止。

2 静电场的差不多方程：0=??t

，因此有

?????

??=??==??==??=??0

00

B H

B D E D E H

μρε 能够发觉电场量（ε,,D E ）与磁场量（μ,,B H ）无耦合，故能够单

独研究静电场和静磁场。因此静电场的差不多方程是

?????=??==??ρ

εD E

D E

3 静电场的物理特性；1）场源：电荷，散度源，旋度为零，是保守场，能够定义势能。2）电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终于负电荷或带负电荷的导体或无穷远。3）与磁场关系：无关。

§2.2 电位

1 什么缘故需要电位：1）电位作辅助量，简化求解过程，矢量变标量。2）静电场电位有物理意义：电位是单位正电荷的势能。3）电位比电场易测量。

2 电位定义：前提是旋度为零。

任何标量梯度的旋度恒等于零：0=???? （梯度的物理解释：最陡）

因此只要让?-?=E 静电场的旋度方程自然满足。

3 电位的物理意义：

任意一点A 的电位等于把单位正电荷从该点移到电位参考点P （零电位点）电场力所做的功，也确实是外力克服电场力把单位正电荷从电位参考点（零电位点）移到该点所做的功。数值上也确实是单位正电荷所具有的势能。

????

??=-==??=??-=?→?=?=P A

A P

A

P

A P A P A

P A

P A

AP d l d l d l d E l d E q l d F W ??????

上式结果与A 点到P 点的具体路径无关，这是因为

?=?=+=-AMPNA

ANP

AMP ANP AMP l d E W W W W 0

A

M

N

P

因此 ANP AMP W W =

因此我们才能够讲（在静电场条件下）电位是单位正电荷的势能。势能本身就意味着它只与状态有关，与过程无关。

4 电位参考点的选择：1）电荷在有限区域，无穷远点为参考点。2）电荷分布到无穷远，在有限区域任选一点作参考点。3）同一问题，参考点应该统一。4）参考点的选择可不能阻碍电场，电场只与电位差有关，绝对电位没有意义，只有电位差才有意义。

5 电位的计算：1）点电荷情况。2）电荷系情况：叠加原理成立，求和。3）求和变为积分。 例37页图2.2.6

§2.3 电位方程－泊松方程

1 前面我们只涉及已知电荷求电场或电位，但实际情况往往是电荷的分布不明白，只明白导体上的相对电位，电位方程满足那个要求（推导参考教科书39页）。