《确定一次函数表达式》典型例题

第12周 《确定一次函数表达式》

例1 已知一次函数4)36(-++=n x m y ，求；

（1）m 为何值时，

y 随x 增大而减小；

（2）n 为何值时，函数图像与y 轴的交点在x 轴下方；

（3）m ，n 分别取何值时，函数图像经过原点；

（4）若3

1

=m ，5=n ，求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标； （5）若图像经过一、二、三象限，求m ，n 的取值范围.

例2 设一次函数)0(≠+=k b kx y ，当2=x 时，3-=y ，当1-=x 时，4=y 。

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

例3（1）已知一次函数图像经过点（0，2）和（2，1）.求此一次函数解析式. （2）已知一次函数图像平行于正比例函数x y 2

1

-=的图像，且经过点（4，3）.求此一次函数的

解析式.

例4求下列一次函数的解析式：

（1）图像过点（1，－1）且与直线52=+y x 平行；

（2）图像和直线23+-=x y 在y 轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.

例5 已知一次函数b kx y +=的图像与另一个一次函数23+=x y 的图像相交于y 轴上的点A ，且x 轴下方的一点),3(n B 在一次函数b kx y +=的图像上，n 满足关系式n

n 16

-

=，求这个一次函数的解析式。

例6 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M 点，交x 轴于点N(-6，0)，又知点M 位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON 面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．

例7 求直线012=++y x 关于x 轴成轴对称的图形的解析式。

例8 如图，ABC ?是边长为4的等边三角形，求直线AB 和BC 的解析式．

例9 如图，直线y=x ＋3的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分．求直线l 的解析式．

即学即练：

1、下面图像中，不可能是关于x 的一次函数)3(--=m mx y 的图像的是（ ）

2、已知：

)0(≠++=+=+=+c b a k c

b

a b c a a c b ，那么k kx y +=的图像一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3、已知直线)0(≠+=k b kx y 与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：①0,0>>b k ；②

0,0<>b k ；③0,0>

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4、正比例函数的图像如图所示，则这个函数的解析式是（ ）

A ．x y =

B ．x y -=

C ．x y 2-=

D ．x y

2

1

-=

5、已知直线m x y +-=2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求这条直线的函数解

析式．

6、已知直线b kx y +=过点（

25，0），且与坐标轴所围成的三角形的面积为4

25，求该直线的函数解析式．

小专题：图像的平移规律

1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。

2. 直线y=22

3

+-

x 向左平移2个单位得到直线 3. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 4. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线

5. 直线

x y 31

=

向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。 6. 直线14

3

+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线 。

7. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是 。 8. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是 .

9．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________； 10．直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；

过手练习

1、已知直线12)31(-+-=k x k y

1) 当k__________________时，直线过原点；

2) 当k__________________时，直线与y 轴的交点坐标是（0，-2）； 3) 当k__________________时，直线与x 轴交于点（

)0,4

3

4) 当k__________________时，y 随x 的增大而增大； 5)

当k__________________时，该直线与直线

53--=x y 平行。

2、已知点A )1,2(a a -+在函数12+=x y 的图像上，则a=____________。

3、一次函数

k kx y -=，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图像经过 象限。

4、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )

A B C D 5、一次函数y=ax+b 与y=ax+c (a>0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）

A B C D

6、已知直线m

x

y+

-

=2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求这条直线的函数解析式．

7、已知：函数y = (m+1) x+2 m﹣6

（1）若函数图象过（﹣1 ，2），求此函数的解析式。

（2）求满足（1）条件的直线与y = ﹣3 x + 1 的交点并求这两条直线与y 轴所围成的三角形面积

【能力提升训练】

1、已知m是整数，且一次函数(4)2

y m x m

=+++的图象不过第二象限，则m为.

2、若直线y x a

=-+和直线y x b

=+的交点坐标为(,8)

m，则a b

+=.

3、函数

3

1

2

y x

=-，如果0

y<，那么x的取值范围是

4、若直线11

y k x

=+与

2

4

y k x

=-的交点在x轴上，那么1

2

k

k

等于（）

.4

A.4

B-

1

.

4

C

1

.

4

D-

5、已知关于x的一次函数27

y mx m

=+-在15

x

-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7

m>B．1

m>C．17

m

≤≤D．都不对

6、如图6，两直线1y kx b

=+和

2

y bx k

=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）

7、已知一次函数

2y x a =+与y x b =-+的图像都经过(2,0)A -，且与y 轴分别交于点B ，c ，则ABC ?的

面积为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

参考答案

例1 分析 （1）已知一次函数图像上两个点的坐标，代入解析式中可以求k 、b 值。（2）求出直线与

x 轴、y 轴两个交点，利用这两个交点与坐标轴所围的三角形是直角三角形可求出面积。

解 （1）由题意，得???+-=+=-.4,23b k b k 解得???

????

=-=.35,3

7b k

∴ 所求一次函数的解析式为.3

537+-=x y

（2）直线3537+-=x y 与x 轴交于)0,75(，与y 轴交于)3

5

,0(.

∴ 这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.42

25

357521=??

例2 分析 由于23+=x y 与y 轴的交点很容易求出，因此，要求b kx y +=的解析式，只要再求出

b kx y +=上另一点的坐标就可以了，而),3(n B 在x 轴下方，因此0

n 16

-

=求出n 的值就知道B 点的坐标了。

解 设点A 的坐标为),0(m ，∵ 点),0(m A 在一次函数23+=x y 的图像上， ∴ 2203=+?=m ，即点A 的坐标为)2,0(. ∵ 点),3(n B 在x 轴下方，∴ 0

2±==-=-n n n

n ，，，而0

又点)2,0(A ，)4,3(-B 在一次函数b kx y +=的图像上，

∴ ??

?-=+=+?.

43,

20b k b k 解得22=-=b k ，

∴ 这个一次函数的解析式为.22+-=x y

例3 解 设所求的直线解析式为b kx y +=. ∵ 012=++y x ， ∴ .12--=x y

当

0=y 时，21-=x ，即图像过对称轴上)0,2

1

(-点，显然这一点也在b kx y +=上。

在012=++y x 上任取一点P ，如2=x 时，5-=y ，则)5,2(-P 可以知道P 点关于x 轴对称点的坐标为)5,2(P '。

∴ )5,2()0,21(，-都在所求的直线上，∴ ?????=+=+-.

52,02

1

b k b k ∴ ??

?==.

1,

2b k ∴ 所求直线的解析式为12+=x y .

例4 分析：要确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又

必须知道图象上一个点的坐标，但题设中都缺少条件，它们交点坐标中不知道纵坐标的值．已知条件中给出了△MON 的面积，而△MON 的面积，因底边NO 可以求到，因此实际上需要把△MON 的面积转化为M 点的纵坐标

解：根据题意画示意图，过点M 作MC ⊥ON 于C

∵点N 的坐标为(-6，0) ∴|ON|=6

∴MC=5

∵点M在第二象限

∴点M的纵坐标y=5

∴点M的坐标为(-4，5)

∵一次函数解析式为y=k1x+b 正比例函数解析式为y=k2x 直线y=k1x+b经过(-6，0)

∵正比例函数y=k2x图象经过(-4，5)点，

例5 解：（1）把52=+y x 变形为52+-=x y .

∵所求直线与52+-=x y 平行，且过点（1，－1）.

∴设所求的直线为b x y +-=2，将1,1-==y x 代入，解得1=b . ∴所求一次函数的解析式为12+-=x y .

（2）∵所求的一次函数的图像与直线23+-=x y 在y 轴上的交点相同. ∴可设所求的直线为2+=kx y .

把3,2-==y x 代入，求得25

-=k

.

∴所求一次函数的解析式为22

5

+-=x y .

说明：如果两直线2211,b x k y b x k y +=+=平行，则21k k =；如果两直线

2211,b x k y b x k y +=+=在y 轴上的交点相同，则21b b =.掌握以上两点，在求一次函数解析式时，

有时很方便.

例6 解：（1）由A 可得?

??>-->,0)3(,

0m m 故30<

由B 可得??

?>=--,

0,

0)3(m m 故3=m ，∴B 可能；

由C 可得?

??<--<,0)3(,

0m m 此不等式组无解.故C 不可能，答案应选C.

（2）由已知得???

??=+=+=+,,,kc b a kb c a ka c b 三式相加得：

0 ,)()(2≠++?++=++c b a k c b a c b a Θ，

∴2=k

，故直线k kx y +=即为22+=x y .

此直线不经过第四象限，故应选D.

（3）直线b kx y +=与x 轴的交点坐标为：

0,0,0,<>-??

?

??-k b k b k b Θ即b k ,异号，∴②、③正确，故应选B.

（4）∵正比例函数)0(≠+=k b kx y 经过点（1，－1）， ∴x y k -=∴-= ,1，故应选B.

说明：一次函数)0(≠+=k b kx y 中的b k ,的符号决定着直线的大致位置，题（3）还可以通过

b k ,的符号画草图，来判断各个结论的正确性，这类题型历来都是各地中考中的热点题型，同学们一

定要熟练掌握.

例7 解：（1）因为y 随x 增大而减小，

所以036<+m ，解得：2-

（2）因为图像与

y 轴交点在x 轴下方，

所以??

?<-≠+,04,036n m 解得?

??<-≠.4,

2n m

所以当2-≠m 且4

（3）因为图像经过原点，

所以??

?=-≠+,04,036n m 解得?

??=-≠.4,

2n m

所以2-≠m 且4=n ，图像经过原点.

（4）把3

1

=

m ，5=n 代入)4()36(-++=n x m y 中得， 17+=x y .

令0=x ，解得1=y ，

所以图像与

y 轴交点为（0，1）.

令0=y ，解得7

1

-=x ，

所以图像与x 轴交点为??

?

??-

0,71. （5）因为图像经过一、二、三象限，

所以??

?>->+,04,036n m 解得???>->.

4,2n m

所以当2->m 且4>n 时，图像经过一、二、三象限.

说明：主要考查一次函数的知识。

例8 分析：求一次函数)0(≠+=k b kx y 的解析式，也就是确定k 、b 的值。根据题目已知条件列出关于k 、b 的二元一次方程组即可．

解：（1）设函数解析式为)0(≠+=k b kx y

因为图像经过（0，2）和（2，1），

所以???+=+?=,21,02b k b k 解得?????=-=.

2,21b k

所以所求函数解析式为22

1

+-=x y ；

（2）设函数解析式为

)0(≠+=k b kx y

因为函数图像是平行于

x y 2

1

-=的图像，

所以2

1-=k

.

因为直线过（4，3），

所以.42

1

3b +?-

=所以5=b ， 所以所求函数解析式为52

1

+-=x y .

说明：本题考查一次函数的知识，确定一次函数的解析式，必须确定k 、b 的值，根据题目的已知条件列出关于它们的方程或方程组即可．

例9 解：由图像可知一次函数的图像经过点（-1，0）和（0，-2），可用待定系数法解.

设一次函数的解析式为b kx y +=，则有

???-==+-,2,0b b k 解得?

?

?-=-=.2,

2b k 所以一次函数的解析式为22--=x y . 故选A.

说明：本题主要考查学生的识图能力。