现代控制理论

非线性动态系统的稳定性

和鲁棒控制理论研究

上世纪50年代，Kallman成功的将状态空间法引入到系统控制理论中，从而标志着现代控制理论研究的开始。现代控制理论的研究对象是系统的数学模型，它根据人们对系统的性能要求，通过对被控对象进行模型分析来设计系统的控制律，从而保证闭环系统具有期望的性能。其中，线性系统理论已经形成一套完整的理论体系。过去人们常用线性系统理论来处理很多工程问题，并在一定范围内取得了比较满意的效果。然而，这种处理方法是以忽略系统中的动态非线性因素为代价的。实际中很多物理系统都具有固有的动态非线性特性，如库仑摩擦、饱和、死区、滞环等，这些非线性动态非线性特性的存在常常使系统的控制性能下降，甚至变得不稳定。这就使得利用线性系统理论处理非线性动态系统面临巨大的困难。此外，在控制系统运行过程中，环境的变化或者元件的老化，以及外界干扰等不确定因素也会造成系统实际参数和标称值之间出现较大差别。因此，基于标称数学模型所设计的控制律一般很难达到期望的性能指标，甚至会使系统不稳定。综上所述，研究不确定条件下非线性动态系统的鲁棒稳定性及鲁棒控制间题具有重要的理论意义和迫切的实际需要。

非线性动态系统是指按确定性规律随时间演化的系统，又称动力学系统，其理论来源于经典力学，一般由微分方程来描述。美国数学家Birkhoff[1]发展了法国数学家Poincare在天体力学和微分方程定性理论方面的研究，奠定了动态系统理论的基础。在实际动态系统中，对象往往受到各种各样的不确定的影响，所以其数学模型一般不可能精确得到。因此，我们只能用近似的标称数学模型来描述被控对象，并据此来设计控制系统,动态系统鲁棒控制由此产生。所谓鲁棒性就是指系统预期非线性动态系统的稳定性和鲁棒控制理论研究的设计品质不因不确定性的存在而遭到破坏的特性，鲁棒控制是非线性动态系统控制理论研究的一个非常重要的分支。现代控制理论的发展促进了对动态系统的研究，使它的应用从经典力学扩大到一般意义下的系统。

非线性动态系统的稳定性问题是控制理论研究的重要课题之一。1868年，JameSclerkMaxwen[2]对一个调节器的微分方程模型进行平衡点的小范围线性化去研究系统的稳定性，得到了系统的稳定性取决于特征值的是不是否为负值的结论，从而揭开了非线性动态系统稳定性研究的序幕。在控制理论中，19世纪末期俄国数学家李亚普诺夫(Lyapunov)[3]提出的稳定性理论，是分析非线性系统稳

H提供了鲁棒定性的重要方法，并且不断有深入研究。进入20世纪70年代，

优化的综合工具，灵敏度最小化间题已经转化为插值间题，对非线性耗散系统的稳定性也已开始了研究。80年代初期，把微分几何和微分代数等数学方法相继引入到非线性动态系统控制的研究中[4]，实现了对非线性动态系统控制的大范围分析和综合。而基于微分几何的非线性系统控制理论的出现，也极大地促进了非

线性动态系统系统鲁棒控制理论的研究进程，它与Lyapunov 稳定性理论，小增益理论以及耗散性或无缘性等理论相结合，给出了许多有效的非线性动态系统鲁棒控制设计和分析方法。

尽管非线性动态系统控制理论的研究有了突飞猛进的发展，取得了丰硕的成果，但是，在非线性动态系统控制领域中仍有一些挑战性的间题尚需解决。例如，当被控对象较为复杂时,采用前述方法进行控制率合成时，经常会面临较为繁琐和巨大的计算，缺乏有效或者灵活的计算方法，就几乎不可能完成控制器的设计.另一个挑战问题是被控动态系统的建模不确定性。对大多数传统的控制技术，获取被控对象的精确的数学模型是设计控制率的前提条件。.控制性能的获得很大程度上依赖于对象数学模型的精确与否。然而，在大多数实际工程应用中，系统通常具有较为复杂的非线性、未建模动态及不可测的噪声等。为了解决这些问题,许多学者仍在寻找新的更有效的控制方法。

1. 现有的非线性动态系统控制理论研究方法

1.1反馈线性化方法

反馈线性化方法是一种重要的非线性动态系统控制理论方法[5]。其基本思想是：通过状态反馈或者状态变换，将强非线性动态系统变换成线性系统或者具有线性系统的部分特性。1953年，Cosgriff [6]提出了基于反馈控制的非线性系统控制理论，随后，大量研究人员开始了各类非线性系统的反馈控制研究。Baumann 和Rugh [7]研究了一类基于状态观测器的单输入多输出非线性系统的反馈控制，Ushio [8]考虑了离散系统的时滞状态反馈控制，并得到了一维和二维离散系统镇定控制器设计的充分必要条件。Dawson 和Dixon 等人则研究了刚性机器人的全局自适应输出反馈控制。由于反馈线性化方法是线性控制理论中一种较为成熟的方法，因此，当了解系统线性性能特征的时候，该方法是较为有效的。然而，当不完全了解非线性系统动力学时，将导致补偿不彻底、解藕不完全的情况，为此,通常采用高增益的方法来保证系统的鲁棒性，而高增益可能会带来过大的控制作用导致执行器饱和。

1.2 ∞H 控制方法

∞H 控制的基本思想是：通过状态反馈和输出反馈，得到使闭环系统的抑制度最小化的控制器，并且保证在扰动为零时闭环系统稳定。1981年,zames [9]首次提出了∞H 控制思想，通过设计控制器实现了外界干扰到系统期望输出传递函数的∞H 范数最小化。随后，Francis 和Zames 利用函数插值理论给出了∞H 控制的最初解法。Doyle 和Glove 等人证明了∞H 设计间题可以通过两个Riccati 方程来

解决，标志着∞H 的控制理论的成熟。近年来，国内外学者给出了大量的有关复杂非线性动态系统的鲁棒镇定和∞H 控制问题的研究成果。由于∞H 控制在方法上的可行性和工程上的合理性，也使其成为现代鲁棒控制的核心工具之一。Yang 和wang 等人[10]考虑一类非线性动态系统的分散∞H 控制器设计间题，通过求解Hamilton--Jacobi 不等式，得到了系统∞H 性能的充分条件，Lin 和Byrnes 网基于耗散不等式以及微分对策理论，给出了一类离散动态系统的∞H 控制策略。Acho 和Orlov 则研究了一类刚性机器人系统的全局∞H 跟踪控制器设计问题,取得了较好的效果。Mlyasato 对一类不确定非完整移动机器人系统的跟踪控制问题进行了研究，基于逆最优化技术，给出了一种自适应∞H 鲁棒控制器设计方法。

随着线性∞H 控制的发展成熟，非线性干扰抑制问题逐步得到人们的关注，非线性∞H 控制的基本思想是对所有L 2空间的输入信号，保证系统的输出信号具有有限的L 2范数。Schaf [11]证明了非线性系统L 2增益控制间题可以归结为Hamilton 一Jaeobi 方程的可解性，Isidori 则将非线性动态系统基于输出反馈的干扰抑制问题转换为Hamilton-Jacobi 一Isidori(HJI)不等式的可解性间题。然而由于求解非线性偏微分方程非常困难，所以往往针对某一类非线性系统或结合线性系统的某些优良特性将间题化简后求解。

1.3滑模变结构控制方法

滑模变结构控制方法是一种针对不确定系统的有效的非线性反馈控制方法，其主要控制思想是：利用高速的开关控制律，驱动非线性动态系统状态轨迹渐近地非线性动态系统的稳定性和鲁棒控制理论研究到一达一个预先设计的状态空间曲面上，该表面称作滑动面，并通过非线性控制策略使得非线性系统的状态轨迹渐近地到达该曲面上。在系统处于滑模面时，理论上系统状态可以指数收敛到零，并且此时系统的动力学完全由滑动系统的向量场决定，而与被控对象无关，因此对系统的模型不确定性和外部扰动是鲁棒和不敏感的。正是由于滑模变结构控制对有界的干扰和参数变化具有完全不敏感性，所以它非常适于各类非线性动态系统的控制间题[12]。Hul 和Zak 研究了一类离散变结构滑模控制策略，Derbel 和Ahmi 基于模糊逻辑方法，分析了滑模变结构控制在机器人轨迹跟踪中的应用，chou 和cheng 则采用分散控制策略，研究了滑膜控制器在机器人轨迹跟踪中的应用，Corradini 和Orlando [13]设计了一类多输入多输出系统的离散自适应变结构控制器，并用与水下机器人系统控制。

然而，由于滑模变结构控制本身的不连续性，容易引起“抖震”现象。从而导致控制失效。众多研究者通过对切换项进行修正来消除“抖震”现象。Slotine 和Sastr 将饱和函数取代了通常的符号函数，避免了系统的混沌现象，并采用“有界层”的概念来消除“抖震”现象。Slotine 和Li 引入边界层，但是边界层的引入，会产生静差，使得系统失去渐近稳定性。Stepanenko 和Cao 等人[14]对通常的PD 型滑动面略做改进，提出一种PID 型滑动面，将时滞函数应用到切换量中，

Su和Leung等人研究了自适应的滑模控制，使得切换量鲁棒项的增益能自适应的变化。

1.4自适应控制方法

自适应控制方法是一种重要的非线性控制技术。其基本思想是：面对客观存在的各式各样的不确定性，设计适当的控制器，使得某一指定的性能指标达到并保持最优或近似最优。常规的反馈控制系统对于系统内部特性的变化或者外界干扰也具有一定的抑制能力,但由于控制器的参数是固定不变的，当系统内部特性发生变化或者外界干扰很大时，系统的稳定性就无法保证。而自适应控制的优点就是具有一定的适应能力，它可以根据系统的输入输出数据，不断地辨识系统的参数.通过在线辨识，系统的模型越来越接近实际.随着模型的不断改进，作用于系统的控制输入也随之发生相应的变化，即体现出算法的学习能力。Sastry和Isidori[15]首先讨论了基于反馈线性化技术的非线性系统自适应控制。由于系统的非线性项要求满足增长性条件和匹配条件，因此算法具有一定的局限性。随后，Kanellakopoul0S和Kokotovic等人提出了反推设计方法，该方法在非线性系统自适应控制研究中具有重要意义，其基本思想是，将非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统。然后为每一个子系统设计一个Lyapunov函数以及相应的虚拟控制器，直至完成整个控制器的设计。该方法利用系统的结构特性递推地构造整个系统的Lyapunov函数，使得控制器的设计结构化、系统化，同时也放宽了对系统的非线性项增长性条件和匹配性约束条件，能够获得任意好的瞬态响应性能。

经过30多年的发展，自适应控制无论在理论上或在应用上都取得了很大的进展。近10多年来，由于计算机的迅速发展,特别是微处理机的广泛普及，为自适应控制的实际应用创造了有利条件。自适应技术在飞行控制、卫星跟踪望远镜的控制、大型油轮的控制、电力拖动、造纸和水泥配料等方面的控制中得到应用。利用自适应控制能够解决一些常规的反馈控制所不能解决的非线性动态系统控制间题，能大幅度地提高系统的稳态精度和跟踪精度。

1.5智能鲁棒控制方法

近年来，由于各类智能方法(神经网络、模糊逻辑)在理论上取得了突破性进展，引起了自动控制界的密切关注，很多学者提出利用智能方法来解决非线性动态系统的控制间题。在系统控制器设计中，智能方法主要是针对复杂系统的非线性和不确定性进行的，由于智能方法的自适应能力、并行处理和高度鲁棒性。采用智能控制方法来设计非线性动态系统控制器将具有更快的速度、更强的适应能力。而将智能控制方法(常用的有模糊逻辑、神经网络或模糊神经网络等)与各种鲁棒控制策略(比如反馈线性化控制、变结构控制、万国控制等)相结合，则成为目前非线性动态系统鲁棒控制的一个研究热点。两者相互协调，保证控制系统具

有良好的动态性能和鲁棒性能。

Narendra 和Parthasarathy [16]首先提出了基于逆动态控制方法的神经网络模型参考自适应控制策略.随后,Narendra 和Mukhopadhyay [17]将其方法应用与多输入多输出系统。Chen 和Khalil 则利用多层前向网络和反馈线性化技术，讨论了一类非线性离散动态系统的神经网络自适应控制问题。SPoone:和Passino [18]则给出了一类基于径向基神经网络的非线性连续动态系统分散控制策略.Ye 将传统的PID 控制和神经网络技术结合，给出了一类欠驱动移动机器人的智能自适应PID 控制策略。由于局部神经网络(CMAC 、B 样条)学习速度快，且可以保证权空间误差超平面的全局收敛，近些年来，其在实时系统的控制中得到了许多应用。Kraft 和Campagna [19]将CMAC 神经网络应用与机器人系统的跟踪控制间题.Li 和Qiang 等人则结合RBF 神经网络和反推控制方法，研究了一类非线性动态系统鲁棒自适应控制间题。1965年，美国加州大学zadeh 教授首先提出了用模糊集合描述事物的方法。1974年，Lee 首先提出了模糊神经网络的概念.Leu 和Lee 等人提出了一种输出反馈的模糊神经网络控制策略，首先建立基于输出反馈的模糊神经网络观测器，然后基于反馈线性化方法实现了闭环系统的鲁棒稳定。Lee 和Chen 等人[20]则针对非线性单输入单输出动态系统设计了模糊∞H 控制器，保证了系统的∞H 跟踪性能。Hwang 和Hul 等人则将神经网络∞H 控制器应用于机器人系统路径跟踪问题，得到了较好的效果。

2. 非线性动态系统研究现状

2.1动态神经网络系统稳定性研究现状

神经网络是一类非常重要的非线性动力学系统，在联想记忆，模式识别，最优化设计等方面发挥着非常巨大的作用。1982年，Hopfield [21]提出了一种以其名字命名的递归神经网络，并在1984年给出了由神经网络构成的连续递归神经网络的基本原理国。1988年,Chua 给出了具有时延的细胞神经网络模型，并给出了实现电路，此种网络在图像信息的加工和处理中有广泛的应用。神经网络系统稳定性和震荡性等基本问题的定性分析具有十分重要的意义。最近几年来，神经网络动力学的理论研究和人工神经网络的硬件实现均取得了高速的发展。随着超大规模集成电路(VLSI)技术的发展，神经网络的硬件实现将是实现神经计算机的重要手段之一。但是，神经网络硬件实现中的一些问题，如开关延迟和通信延迟，各种神经元之间的相互制约等，极大地降低了硬件神经网络的动力学性能，并可能导致网络不稳定，其中网络的时间延迟是引起硬件神经网络不稳定关键因素之

一。因此，研究有时延的非线性动态神经网络的稳定性就显得尤为重要。Zhang 和Ma 等人[22]考虑了神经网络激励函数不满足Lipschitz 条件的情况，基于不等式技术，分析了一类带时滞的神经网络系统全局渐进稳定性间题。Xu 和Lam 等

人[23]研究了一类带范数有界不确定性的时滞细胞神经网络的全局鲁棒稳定性。Yue和Zhang等人考虑了带随机时滞递归神经网络的指数稳定性，给出了时滞分布依赖的稳定性条件。Wu和Liu等人基于线性矩阵不等式技术，研究了一类时变时滞神经网络的指数稳定性。chen和zheng则结合离散Lyapunov-Krasovi泛函方法和自由权矩阵技术，给出了一类时滞神经网络的时滞依赖渐进稳定性条件。

2.2刚性机器人系统鲁棒控制理论研究现状

机器人学是一门高度交叉的前沿学科，引起许多具有不同专业背景(机械工程，计算机科学与技术，控制科学与工程，电子科学与技术，社会学)人们的广泛关注。它代表了机电一体化的最高成就，是目前科技发展最活跃的领域之一计算机技术和人工智能技术的迅速发展，使机器人在功能和技术层次有了很大的提高。然而，机器人是一个十分复杂的多输入多输出非线性系统，它具有时变、强锅合和非线性的动力学特性，其控制是十分复杂的。我们必须面对机器人系统大量不确定性因素的存在，现代工业的快速发展需要高品种的机器人为之服务，而高品质的机器人控制必须综合考虑各种不确定性因素的影响，因此，研究不确定性机器人的鲁棒控制问题具有十分重要的理论和实际意义。

刚性机器人系统的路径跟踪控制间题一直是自动控制界的研究热点。其跟踪控制问题一般可以归结为机器人闭环误差系统的稳定性间题。1989年，Ortega 和Spong[24]首先对刚性机器人系统的自适应轨迹跟踪控制问题进行了综述。Tsaprounis和AsPragathos提出了一种基于无源性的机器人自适应滑模变结构控

制，利用自适应辨识方法对机器人部分非线性动态进行辨识，保证了外扰及模型误差存在的情况下，跟踪误差闭环系统的渐近收敛性和辨识系统的参数有界性。Tomeil设计了一类摩擦补偿控制器，在机器人系统外部干扰属于L2空间的假设下，保证了系统跟踪误差渐进收敛。随后，vega和Arimoto等人结合反馈线性化方法和PID滑模控制，针对系统线性部分设计线性控制器，对于非线性部分以及系统外部扰动采用滑模变结构控制进行稳定控制，进一步改善了跟踪效果。

H控制，取得了很好的效果。Daachi Chang[25]研究了一类基于神经网络的机器人

和Benallegue研究了关节角速度不可测情况下的机械臂神经网络控制，通过构建神经网络非线性观测器实现对关节角速度的估计，保证了跟踪误差闭环系统渐进稳定。

2.3非完整移动机器人系统鲁棒控制理论研究现状

移动机器人是一个典型的具有非完整约束的非线性控制系统。由于测量和建模的不精确性，再加上负载的变化，以及外部扰动的影响，实际上无法得到移动机器人精确、完整的运动模型。因此，研究不确定性非完整移动机器人的鲁棒控制间题具有十分重要的理论和实际意义。随着机器人的工作速度和精度要求的提高，很多现代控制理论和智能控制理论应用到移动机器人控制领域[26]。利用线性化技术，Kanayama[27]中被提出一类移动机器人的局部控制策略，得到了较好的跟踪效果。Novel基于反馈线性化技术，提出一类带奇异点的微分平滑动力学控制方法，保证了非完整轮式移动机器人的全局跟踪误差收敛性。Fierro根据计算力矩原理，利用反步方法对此类系统进行了研究，但假定了移动机器人系统参数精确已知自适应控制能够解决部分参数未知移动机器人的控制问题，然而需要复杂的在线估计计算。基于神经网络优良的非线性逼近性能，Fierro和Lewis[28]提出了基于反步技术的多层前馈神经网络控制器，利用神经网络在线学习移动机器人未知动力学方程，但控制算法和网络学习算法过于复杂。hng和Meng提出了一种神经网络鲁棒控制器，利用单层神经网络来逼近未知机器人系统，降低了计算复杂度，然而，所考虑的模型没有包含非完整运动限制，因而控制算法不能用于带运动限制的机器人系统。Hu基于机器人回归矩阵特点，提出了一种单层前馈神经网络逼近器，可以较好逼近非完整移动机器人未知结构部分，但不能用与运动学参数未知的移动机器人控制。Fukao和Nakagawa等人[29]结合运动控制器和计算力矩控制器，提出了一种自适应反推控制方法，对一类非完整移动机器人轨迹跟踪控制问题进行了研究，保证了跟踪误差收敛，Dong和Huo等人研究了一类带未知惯性参数的非完整移动机器人系统轨迹跟踪控制问题，提出了一类自适应鲁棒控制器，保证了跟踪误差收敛，避免了系统奇异点的出现。Dong和Kuhnert对一类同时带参数和非参数不确定性的非完整移动机器人系统进行了研究，基于自适应反推控制器和神经网络控制器，保证了轨迹跟踪误差收敛。Liu 和Li[30]基于神经网络控制器，采用滑模变结构控制和自适应控制方法，对一类

非完整移动机器人轨迹跟踪控制间题进行了研究，保证了跟踪误差收敛和控制信号有界。

参考文献

[1]郑大钟.线性系统理论(第2版).北京:清华大学出版社,2002

[2]张芷芬.微分方程定性理论.北京:科学出版社,2003

[3]刘丁.自动控制理论.北京:机械工业出版社,2006

[4]H.K.Khalil.非线性系统(英文版).北京:电子工业出版社,2007

[5]梅生伟,申铁龙,刘康志.现代鲁棒控制理论与应用.北京:清华大学出版社,2005

[6]周克敏.鲁棒与最优控制.北京:国防工业出版社,2006

[7]姚郁,贺风华.非线性系统设计一微分几何自适应及鲁棒控制.北京:电子工业

出版社,2006

[8]王耀南.机器人智能控制工程.北京:科学出版社,2004

[9]贾英民.鲁棒万印控制.北京:科学出版社,2007

[10]彭金柱.大型冷凝器清洗机器人的智能鲁棒控制方法研究!博士学位论刘·湖南:湖南大学,2008

[11]W.Baumann, W.Rugh. Feedback colltrol of nonllnear systems by extended

linearization. IEEE Transactions on Automatie Control, 1986, 31(l):40-46 [12]https://www.360docs.net/doc/da17158671.html,hio.Limitation of delayed feedback control in nonlinear diserete-time

systems. IEEE Transactionsons on Circuits andSystems l : Fundamental Theory and Applieations, 1996, 43(9):815-816

[13]D.M.Dawson, W.E.Dixon, F.Zhang, et al. Global adaptive output feedback

tracking control of robot manipulators. IEEE Transactions on Automatie Control, 2000, 45(6):1203-1208

[14]G.Zames.Feedbackandoptiinalsensitivity:modelrefereneetrarlsformations,multipli

ea-tivesemillormsalldapproxiinateinverses.IEEE Transactions on Automatie Control, 1981, 26(2):301-320

[15]L.Acho, Y.Orlov, V.solis. Noulinear measurement feedback control of

time-periodie systems with applieation to tracking control of robot manipulators.

International Journal of Control, 2001, 74(2):190-195

[16]Y.Miyasoto. Adaptive control of nonholonomic mobile robot based on inverse

opmality. In: Proeeedings of Ameriean Control Conferenee. Washington, USA, 2008, 11-13

[17]N.Derbel, A.M.Alimi. Design of asliding mode controller by fuzzy logic.

International Journal of Roboties and Automation, 2006, 38(4):241-246

[18]C.H.Chou, C.C.Cheng. A decentralized model reference adaptive variable

structure controller for large-scale time-varying delay systems. IEEE Transactions [19]J.Ye. Adaptive control of nonlinear PID-based analog neural networks for a

nonholonomic mobile robot. Neuroeomputing, 2008, 71(7):1561-1565

[20]Y,Li,S. Qiang,X. zhuang, et al. Control and estimation-robust and adaptive

backstep-ping control for nonlinear systems using RBF neural networks. IEEE Transactions on Neural Networks, 2004, 15(3):693-701

[21]S.Y.xu, https://www.360docs.net/doc/da17158671.html,m,D. W.C.Ho, et al. Improved global robust asymptotic stability

criteria for delayed cellular neural networks. IEEF Transactions on Systems, Man, and Cybernet-ics, part B: Cyberneties, 2005,35(6):1317-1321

[22]D.Yue, Y.J.Zhang, E.G.Tian, et al. Delay-distribution-dependent exponential

stability criteria for diserete-time reeurrent neural networks with stochastie delay.

IEEE Transanctions on Systems, Man, an d Cyberneties, Part B: Cyberneties, 2008, 19(7):1299-1306

[23]M.Wu, F.Liu, p.Shi, et al. Exponential stability analysis for neural networks with

time-varying delay. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cyberneties, Part B: Cyberneties, 2008, 38(4):1152-1156

[24]W.H.Chen, W.X.Zheng. Improved delay dependent asymptotic stability criteria

for Delayed neuxal networks. IEEE Transaetions on Neural Networks, 2008, 19(12): 2154-2161

[25]V.P.Vega, S.Arimoto, Y.H.Liu, et al. Dynamic sliding PID control for tracking of

robot maniPulators: theory and experiments. IEEE Tansanctions on Robotics and Automation, 2003, 19(6):967-976

[26]B.Daaclli, A.Benallegue. Aneural network control based observer for robot

manipulators. International Journal of Robotics and Automation, 2003, 18(4):166-171

[27]T.Das, I.N.Kar. Design and implementation of anadaptive fuzzy logie-based

controller for wheeled mobile robots. IEEE Transactionson Control Systems Technology, 2006,14(3):501-510

[28]C.C.Tsai, M.B.Cheng, S.C.Lin. Dynamic modeling and tracking Control of a non- Holonomic wheeled mobile manipulator with dualarms. Journal of Intelligent and robotie Systelms, 2006, 47(4):317-340

[29]L i,J.Gu, https://www.360docs.net/doc/da17158671.html,lg. Intelligellt compliant force/motion control of nonholonomic

mobile manipulator working on the nonrigid surface. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 2006, 15(3):204-216

[30]Y.G.Liu, Y.M.Li. Sliding mode adaptive neural network control for nonholonomic mobile modular manipulators. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 2005, 44(3):203-224

[31]L.Wang, X.F.Zou. Capacity of stable periodic solutions indiserete-time bidirectional associative memory neural networks. IEEE Transactionson Neural Networks, 2004,51(6):315-319

[32]Y.Liu,Z. You,L.Cao. On the almost periodic solution of cellular neural networks with distributed delays. IEEE Transactionson Neural Networks, 2007, 18(l):295-300