利用数表排阵法对勾股数通解公式的推导1
利用数表排阵法对勾股数组的研究
夏永祥
湖南省湘潭县花石中心小学
E-mail:xiashihuan@https://www.360docs.net/doc/da18134609.html,
摘 要： 本文利用数表排阵法，轻而易举地完成了对勾股数通解公式的巧妙推导，进而找到了勾股数组的一些内在联系和演变规律。这里再次证明了排阵法在数论中确实具有基础性的地位。 关键词：数论，勾股数，方程，正整数解 中图分类号：O156.1
1.勾股数组的研究历史
对于如何求得勾股方程222z y x =+的正整数解（即勾股数组），古今中外的数学家们进行了大量探索并给出了各具特色的法则公式．它们分别是：
毕达哥拉斯法则：12+=n x ，n n y 222+=，1222
++=n n z （其中N n n ∈≥,1）．
柏拉图(Plato)法则：m x 2=，12-=m y ，12
+=m z （其中N m m ∈≥,2）．
欧几里得(Euclid)法则：mn x = ，)(2
1n m y -=
， )(2
1n m z +=
；（其中n m ,同奇偶，
并且n m ,为完全平方数)．
丢番图(Diophantus)法则：mn m x 2+= ，mn n y 2+= ，mn n m z 2++=；（其
中mn 2为完全平方数)．
但其中较为便捷的方法当属我国清代数学家罗士琳提出的勾股数法则：
取n m ,为任意正整数，并且n m >，则下式：
??
?
??+==-=22222n m z mn
y n m x 中的z y x ,,必然是勾股数组．
在以上的各种法则中，都难以发现所有这些勾股数组之间的发展关系和演变规律．时至今日，寻找一个通用法则，通过简单直观的计算就能够一个不漏的求得勾股方程的全部非零正整数解，进而找到不同勾股数组中z y x ,,的内在联系和演变规律，仍然是勾股数性质研究中需要解决的难点．
2008年，庄严, 庄宏飞在《关于勾股数计算的两个新公式》一文中，提出了他们的通解公式是：
()
??
???+=÷-=??≥Q b c Q Q a b a 25432
2、、
这里，使上式中()Q Q
a 22
2
÷-的值恒为整数的Q 值条件是：
若a 为≥3 的奇数，在2a 的标准分解因数（包括1）全排列重组乘积中，取小于a 的因 数积为Q ．
若a 为≥4 的偶数，在2
a 的标准分解因数（包括1）中去掉一个2 后为有效因数，在有 效因数全排列重组乘积中，取小于a 的偶数因数积为Q [1]．
这是一个很好的通解公式，但是也难以发现所有这些勾股数组之间的发展关系和演变规律．
这里利用数表排阵法[2]
就轻而易举地完成了对勾股方程的通解公式的巧妙推导，而且通俗易懂，文字不多，稍有数学知识的人都能看懂．其结果虽然与庄严、庄宏飞在《关于勾股数计算的两个新公式》一文中提出的通解公式其实质是一样的，但从行文看，他们或许是通过先猜测再验证的方法得出的，而这里是直接推导出来的．所以我的推导方法与他们的推导方法是不同的，并且这种方法还为费马大定理的简易证明提供了很好的数学模型，这就是这篇论文再来研究勾股方程的通解公式的原因．
2.桥数的引入及数表排阵的对称性特点
现将1至17的任意两个正整数的平方和采用数表排阵法排阵如下（见表1）：
其中有25、100、169、289……是一个正整数的平方．这一数表排阵可以无限延伸，其数字的排布规律是以表中直线o l 对称的．下面借助数表排阵法来引入勾股方程的桥数．
观察表1可以发现，在与o l 平行的每一条直线上，当用右下角的数字去减左上角的相邻数字时，可以得到所有大于5的偶数．如：8-2=6，18-8=8，20-10=10，29-17=12，34-20=14， 45-29=16，52-34=18……
由于每一格里的整数都是相应两个正整数的平方和，所以如果用右下角的数字去减左上角的数字时，其差仍然是一个正整数的平方，那么这个正整数就是勾股方程的桥数，也就是在以上的数表排阵中，一定存在等式:
()()2
2
2
2
2
m
y
x
m
z
=+-+(m 为正整数)
我们把上式中的m 叫做桥数，因为它为求勾股方程的正整数解架起了桥梁（如表2，此表是设z y m x <<<设计的），其中y z x m -=-（这在下面有证明）．如：
表1 Table 1
+ 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 12
2 5 10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 22 5 8 1
3 20 29 40 53 68 85 10
4 12
5 148 173 200 229 260 293 32 10 13 18 25 34 45 58 73 90 109 130 153 178 205 234 265 298 42 17 20 25 32 41 52 65 80 97 11
6 13
7 160 185 212 241 272 305 52 26 29 34 41 50 61 74 89 106 125 146 169 194 221 250 281 314 62 37 40 45 52 61 72 85 100 117 136 157 180 205 232 261 292 325 72 50 53 5
8 65 74 85 98 113 130 14
9 170 193 218 245 274 305 338 82 65 68 73 80 89 100 113 128 145 164 185 208 233 260 289 320 353 92 82 85 90 97 106 117 130 145 162 181 202 225 250 277 306 337 370 102 101 104 109 116 125 136 149 164 181 200 221 244 269 296 325 356 389 112 122 125 130 137 146 157 170 185 202 221 242 265 290 317 346 377 410 122 145 148 153 160 169 180 193 208 225 244 265 288 313 340 369 400 433 132 170 173 178 185 194 205 218 233 250 269 290 313 338 365 394 425 458 142 197 200 205 212 221 232 245 260 277 296 317 340 365 392 421 452 485 152 226 229 234 241 250 261 274 289 306 325 346 369 394 421 450 481 514 162 257 260 265 272 281 292 305 320 337 356 377 400 425 452 481 512 545 172
290
293
298
305
314
325
338
353
370
389
410
433
458
485
514
545
578
o l 1l 2l 3l 4l 5l 6l
2
22543=+的桥数是4，因为(
)()2
2
2
2
2434
4
5=+-+；
2
2
21312
5=+ 的桥数是6，因为()()2
2
2
2
26
12
5
6
13=+-+； 2
2
2
17158=+的桥数是10，因为()()2
2
2
2
2
10
15
8
10
17=+-+……
表2 Table 2
+ 12 22 32 … x 2 … m 2 … y 2 12 12+12 22+12 32+12 … … … … … … 22 12+22 22+22 32+22 … … … … … … 32 12+32 22+32 32+32 … … … … … … 42 12+42 22+42 32+42 … … … … … … … … … … … … … … … … x 2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … m 2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … y 2 … … … … x 2+y 2 … … … … … … … … … … … … … … z 2
… … … … … … z 2+m 2 … …
假设不定方程()2n ≥N ∈=+且n z y x n n n 中，z y x ,,同时有正整数解，那么x z >且y z >，y x 与则有两种关系，要么y x 与相等，要么y x 与一大一小．现在设y x ≤，按照表2的方法，将
每个正整数的平方换成n 次幂，将１至z 的任意两个正整数的n 次幂的和采用数表排阵法排阵如下(见图1中的表格，其中k 表示两数相隔的格数，虚线表示对称轴)：
如果不定方程()2n ≥N ∈=+且n z y x n
n
n
有桥数，则在图1的数表排阵中有等式：
()()n
n
n
n
n
m
y
x
m
z
=+-+(m 为正整数)……………………①
同时在图1的表格中，因为行阵的y z ,依次对应列阵的x m ,，又由于数表排阵的对称性，所以z 与y 的间距与m 与x 的间距相等，都是等于k ．所以在数表排阵中有关系式：k x m y z =-=-．
所以根据数表排阵法，可以得到以下三个引理：
引理1：如果不定方程()2n ≥N ∈=+且n z y x n
n
n
中z y x ,,同时有正整数解，那么设格数
k z y =-，桥数m x k =+，原方程就可表示为：()()n
n
n
k y y k m +=+-.
显然，因为z y x ,,都是正整数，k z y =-，k m x -=，所以k m ,也是正整数，并且k m >．为了表述的方便，我们把方程()()n
n n
k y y k m +=+-叫桥数方程．
图1 Fig.1
引理2：如果不定方程()2n ≥N ∈=+且n z y x n n n 中z y x ,,同时有正整数解，那么它的桥数
m ，格数k 与x 、y 、z 的关系是： k y z x m =-=-且k m >.
引理3：()2n ≥N ∈=+且n z y x n n n 如果有桥数，则桥数m 必定是正偶数．
证明：在不定方程n n n x y z +=中，n n n z y x ,,的奇偶性分别由z y x ,,的奇偶性决定；当x 与
y 同为奇数时（分别用12,12++b a 表示），z 必为偶数（用c 2表示）；所以根据引理2有()a b c a b c x y z m +-=++--=+-=212122， m 是偶数．
同理，当x 与y 同为偶数时（分别用b a 2,2表示），z 必为偶数（用c 2表示），所以
()a b c a b c x y z m +-=+-=+-=2222， m 也是偶数．
同理，当x 与y 一奇一偶时（分别用b a 2,12+或12,2+b a 表示），z 必为奇数（用12+c 表示
），
所
以
()1212212++-=++-+=+-=a b c a b c x y z m ，或
()212122m z y x c b
a c
b a =
-
+
=
+
-
-+=-+
，m 也是偶数．
综上所述，()2n ≥N ∈=+且n z y x n
n
n
如果有桥数，则桥数m 必定是偶数，又因为m 是正整数，所以m 是正偶数．证毕．
+ 1n 2n 3n … x n … m n … y n 1n 1n +1n 2n +1n 3n +1n … … … … … … 2n 1n +2n 2n +2n 3n +2n … … … … … … 3n 1n +3n 2n +3n 3n +3n … … … … … … 4n 1n +4n 2n +4n 3n +4n … … … … … … … … … … … … … … … … x n … … … … … … … … … … … … … … … … … … … m n … … … … … … … … … … … … … … … … … … … y n … … … … x n +y n … … … … … … … … … … … … … … z n
… … … … … … z n +m n … …
3.勾股方程的通解公式
根据引理1，当2=n 时，则有：
()()2
2
2k y y k m +=+
-………………②
所以： k
km
m y 222
-=
…………③
在③式中，如果y 要获得正整数，那么km m 22-必须能被k 2整除． 因为m 与k 都是正整数，km k 22，所以2m 也有约数k 2；
当k 为正奇数，nk i
m 2=
时， 2
2m k （i 为正整数且是k 的最大平方约数的底数，如81的
最大平方约数是81=92，i n N n >∈且，至于为什么i n >，在第6页有说明，下同．）；
（说明：如果i 只是k 中较小的平方约数的底数，则m 和y 将漏掉一些正整数解，下同．） 当k 为正偶数，nk i
m 1=
时，2
2m k （i 为正整数且是k 除以2后的最大平方约数的底数，
如72的最大平方约数是36=62，而36的最大平方约数是239=，i n N n 2>∈且）． 所以③式中y 要获得正整数的充要条件是：
??
??
????
?
>∈=>∈=）且方约数的底数，后的最大平
除以为正整数且是（为正偶数时，当）
且的底数，的最大平方约数为正整数且是（为正奇数时，当的自然数取遍所有大于i 2n N n 2k k 1
m k i n N n k nk 2m k 0i n i k i i
所以勾股方程的通解公式是：
()
()
()
??????
???
??+=-=-=>∈=
>∈=k
y z k km m y i
i
k
m x i i n N n i i n N n k 222
2k 2且nk 1
m k k 且nk 2
m k 0数）后的最大平方约数的底
除以为正整数且是
（为正偶数时，当）的最大平方约数的底数
为正整数且是（为正奇数时，当的自然数
取遍所有大于
如果将k x m +=代入k
km
m y
222
-=
得k
k x y 22
2-=
，这与庄严, 庄宏飞在《关于勾股数计算的两个新公
式》一文中，提出的通解公式()??
???+=÷-=??≥Q b c Q Q a b a 25432
2、、
，其实质是一样的．
但是通过此式来计算却还比较复杂，可以进行如下简化：
当k 为正奇数时，将nk i
m 2=
代入③式得：
()i n m i
i n kn i k
n i
k k i
n k
km
m y -=??? ??-=
?-=
-=
1
12
2224222
22
22
即： ()i n t m
t i
y -=?=
1…………………………④
当k 为正偶数时，将nk i
m 1=
代入③式得：
()i n m i
i n kn i k n
i k k i
n
k
km
m y 212112121
222222
22
-?=?
?? ??-=?-=-=
即： ()i n t m t i
y ?-='?'?=
21
21……………………⑤
④式和⑤式表明，y 值的求解，与桥数m 和格数k 存在密切的联系．因为1≥y ，所以12,
1≥?-='≥-=i n t i n t ，即有上面分析到n 的取值范围时提到的i n >和i n 2>．
在具体计算时，先任意确定k ，再找出k 的最大平方约数2
i ，再确定n 的起始值（即1=t 和
1='t 时的n 的值）
，再利用公式： 当k 为正奇数时： ()????????
?+=-==-=k
y z i n m i y nk
i
m k
m x 12；当k
为正偶数时：()????????
?+=??==-=k
y z i n-m i y nk
i
m k
x 2211m 可以很快求出k 为某一正整数时的所有勾股数组．
如：
当k=1时，则nk m 2==4、6、8、10、12、14……相应的
??
?
????=??=??=22118114511385614125135220180144112846040241242119171513119753、、、、、、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、
z y x 当k=2时，则nk m ==6、8、10、12、14……相应的
??
?
????=??=??=22619717014512210182655037261710522419516814312099806348352415833028262422201816141210864、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、、、z y x
当k=3时，则nk m 2=＝12、18、24、48……相应的??
?
????=?
?=??=3397539153367236124521159、、、、、、、、、
z y x
当k=4时，则nk m ==12、16、20、24、28……相应的??
?
????=??=??=7452342010704830166242016128、、、、、、、、、、、、
z y x
当k=8=2×22时，则nk m 2
1=
=20、24、28、32、36、40……相应的
??
?
????=??=??=173148125104856853402920131651401179677604532211255248444036322824201612、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
z y x 当k=18=2×32时，则nk m 3
1=
=42、48、54、60、66、72、78、84……相应的
??
?
????=??=??=13010990735845342511291725540271676660544842363024、、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、z y x 当k=32=2×42
时，则nk m 4
1=
=72、80、88、96、104、112、120、128……相应的
??
?
????=??=??=1851601371169780655241153128105846548332091049688807264564840、、、、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、、
z y x 当k=9=32时，则nk m 3
2=
=24、30、36、42、48、54……相应的
??
?
????=??=??=1178965452917108805636208453933272115、、、、、、、、、、
、、、、、z y x 当k=49=72时，则nk m 7
2=
=112、126、140、154、168、182、196、210……相应的
??
?
????=??=??=289245205169137109856524019615612088603616161147133119105917763、、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、z y x 当k=243=3×92
时，则nk m 9
2=
=540、594、648、702、756、810、864……相应的
??
?
????=??=??=138312151059915783663555459375303114097281667254042031221613260783729675621567513459405351297、、、、、、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、
z y x 另外，根据引理2，因为k y z x m =-=-，所以l m z x y =-=-（l 实际上是在数表排阵中对称轴与它平行的直线的单位距离），还有勾股数通解公式的另一个形式：
???
?
???+=+=++=k y z l
x y kl k k x 222
这个公式更简单，在工程学上可能有更大的用处，如果想知道在已知的z y x ,,的差值的情况下，看能不能摆成直角三角形，利用kl k 222+检验一下就可以了.
4.对勾股方程的所有正整数解的演变规律的分析
通过对以上一些勾股数组的几组数值的观察，可以发现下面一些演变规律：
4.1 d k =（+∈>N d d ,1）时桥数m 都是1=k 时的桥数m 放大d 倍后两者之间间距相等的偶数（如表3、4）．
当k （或k 除以2后）不能分解出大于1的平方约数时，则没有()1,,=z y x 的解，如4,3==k k 时，它们的所有勾股数组都有公约数.3=k 时的勾股数组其实都是1=k 时的勾股数组放大3倍；
4=k 时的勾股数组其实都是2=k 时的勾股数组放大2倍；其中2=k 时的勾股数组中从第二组开始每隔一组又都是1=k 时的勾股数组放大2倍……
表3 Table3
168
160
152
144
136
128
120
112
104
96
88
80
72
64
5648
40
16
84807672686460565248444036322824208605448423630241864036322824201612430
24
18
123201614121086
2108
6
4
15
4
1444
14
2
14
4
1334
13
2
13
4
1224
12
2
12
4
11
14
11
2
11
4
1=======k k k k k k k m m m m m m m m m m m m m m m m m
表4 Table 4
336
324312
300
288
276264
252
240
228
216
204
192
180168
156
72
1261089072278478
7266
6054
4842
184836123630
24
912
3412
3
12
4
12
6
12
12
11112
11
6
11
4
11
3
11
12
11
2
11
12
11
3
11
4
11
6
11
12
1=======k k k k k k k m m m m m m m m m m m m m m m m
因为当k 为任意一个大于1的正整数d 时，在所有的桥数中，都有1=k 时的桥数m 放大d 倍的
正整数解，所以我们把1=k 时y m ,的正整数解叫原方程②式的基元解．基元解的存在，是勾股方程中z y x ,,同时有正整数解的必要条件[3]．
下面证明在桥数方程()()2
22
k y y k m +=+-中，如果当k 为任意一个大于１的确定的正整
数时，y m ,同时有正整数解，那么1=k 时y m ,也一定同时有正整数解．
证明：根据①式和引理2，有：
(
)()()()
()()()()()()
x m k y z k x m x m y z y z x
m
y
z
y
x
m
z m +++=+-++-=-+-=+-+=2
2
2
2
2
2
2
22
所以2m 有约数k ，因为m k <，所以： ⑴当m 是k 的正整数倍时，2m 有约数k ；
⑵当2i k ?=ε时（其中+∈N ε，2i 是k 或k 除以2后的最大平方因数)，则k i
w m =
（+
∈N i w ,，()1,=i w ），2m 也有约数k ；如果1=i 时，则是第⑴种情况的特例.
根据②式，有()2
2y k y k m -
++
=，所以n
k
yk k m 2
2++
=．
因为y 是正整数，所以y 一定是k 的有理数倍，于是设()()
1,;,=∈=
+
b a N b a k b
a y ，则：
2
2k k k b a k m +??
? ??+
=，即： 12+??
?
???+=b
a
k k m …………⑥ 因为m 是正偶数，所以⑥式的b a ,必须满足根式
12+??? ??b a 是有理数，如果根式12+??? ??b a 的分母大于１，则分母一定是k 的约数；因为根式12+??
?
??b
a 的分母是某个正整数开平方且开平方后仍然是正整数，所以如果根式12+??
? ??b a 有大于１的分母，那么设2
b b '?=δ（+∈'N b ,δ，
δ开平方是非正整数且开平方没有正整数因数），因为δ开平方是非正整数且开平方没有正整数
因数，所以δ是
12+??
? ??b
a
的分子与分母的公约数，则
k b b b a b a k k m '
'
+'?+=+??
?
???
+=δδδ2
212；如果1≠δ且2≠δ，则δ必定含有其它奇素
数或λδ2=（λ属于大于2的奇数），如果λδ2=（λ属于大于2的奇数），则δ开平方有正整数因数，与假设的δ开平方是非正整数且开平方没有正整数因数矛盾；如果δ含有其它奇素数，则a 也必定含有这个奇素数，这与()1,=b a 矛盾，所以1=δ或2=δ.
如果()
12,2≠'+'b a b 或()
1,2≠'+'b a b ,则b '与a 有大于1的公约数, 这与()1,=b a 矛盾.所以()
12,2='+'b a b 或()
1,2='+'b a b .又因为k i
w m =
，且()1,=i w ，b '与
b b a '+'+22互素或b '与b b a '+'+2互素，所以i b ='．所以当2
2i b b ='=时，k i
a y 2
=
;
当2222i b b ='=时，k i
a y 2
2=
．
所以在②式中，如果k 为某一确定的正整数时，y m ,同时有正整数解，则k i
w m =，k
i
a y 2
=
（或k i
a y 2
2=
因为()1,=b a ,所以k i 2
2,k 属于正偶数).
因为k i
w m =
，所以
i
k w
m =
；又因为k i
a y 2
=
，所以
i
k a
i y =
?，所以
w
m a
i y =
?，所以
m i w a
y ?=
（或m i
w a
y ?=2），所以当k 为某一确定的正整数时, 如果y m ,同时有正整数解
k i w m =，k i
a y 2=(或k i a y 2
2=),那么保持k 不变，当m 扩大2i （或22
i ）倍时，y m ,也一定同时有另一组正整数解wik m =（或wik m 2=）,ak y =.将它们代入②式并化简得：
()()2
2
2
11+=+-a a
wi 或()()2
2
2
112+=+-a a
wi ………⑦
也就是说，如果k 为某一确定的正整数时，y m ,同时有正整数解，那么在⑦式中，以wi (或
wi 2)为桥数，以1为格数的新桥数方程wi (或wi 2)和a 也一定同时有正整数解．
所以如果1>k 时，②式中的y m ,同时有正整数解，则当1=k 时，②式中的y m ,也一定同时有正整数解．因为1=k 时y m ,的正整数解叫基元解，所以基元解的存在，是②式中y m ,同时有正整数解的必要条件，证毕．
4.2当k 为大于等于1的奇数时，桥数m 每增加i ?ε2（2
i
k =
ε）（i 为正整数且是k 的最大平方约
数的底数），y 都有正整数解；当k 为大于1的偶数时，桥数m 每增加i ?ε（2
i
k =ε）（i 为正整
数且是k 除以2后的最大平方约数的底数），y 也都有正整数解．
通过观察表3和表4，我们发现，当k 为任意正整数时，桥数m 每增加一定数值时，y 都有正整数解，那么y 的增值是多少呢？
根据②式，则有ky k k m 22
++
=，因为m 是正偶数，所以y 一定是k 的有理数倍，于是
设()+∈=Q a ak y ，则
12++=a k
k m …………⑧
因为m 是正偶数，所以⑧式中的a 值必须满足
12+a 是有理数，如果12+a 有分母，则
分母一定是k 的约数；因为12+a 的分母要开平方，所以如果a 有分母，那么一定是k 的平方约数．设i 是k 的最大平方约数的底数，则12+a 的分母可以与i 约分．
⑴当k 为正奇数时，设2i k ?=ε（i 为正整数且是k 的最大平方约数的底数），则m 每增加
i ?ε2时，设y 的系数a 的增值为?（+
∈?Q ）
，即()k a y ?+=，所以在⑧式中有： ()12212+?+=?++a k i w a k ε（N w ∈）
． 通过计算得2
2
1
222i
a wi
w ++=
?，这就是y 的系数a 的增值．
⑵当k 为正偶数时，设2i k ?=ε（i 为正整数且是k 除以2后的最大平方约数的底数），则m 每
增加i ?ε时，同理可得y 的系数a 的增值2
2
21
22i
a wi
w ++=
?．
因为12+a 是有理数且分母可以与i 约分，w 是自然数，所以?为有理数且分母是k 的约数，所以当k 为任意正整数时，如果y m ,同时有正整数解，则m 每增加一定数值时，y 也都有相应的正整数解．
4.3 y m ,是任意正有理数倍的关系时，都可以求出k 的值及相应的()1,,=z y x 时的勾股数组．
任意设y s t
m =（+
∈N t s ,且()1,=t s ），则()2
22
k y y k y s t +=+??
? ??-，再令s y =时，得
()
()2
2
2
k s s k t '+=+'-，所以t
s t
k 222
+=
'．所以当t s ,为任意正整数时，k '为有理数，然后再
在方程两边同时乘以k '的分母的平方，就可以求出k 值及相应的()1,,=z y x 时的勾股数组．
例如：当y m 3
5=
时，即3,5==s t ，
则16
25222
=
+=
't
s t
k ，
所以2
2
216253316255??? ?
?+=+??? ??-，
所以()()2
22
2548482580+=+-，
所以25=k ，??
?
??===734855
z y x ．
通过计算可以得出，格数2t k =，所以当1=t 时，可以求出1=k 时的基元解．当1≠t 时，则只要()+
∈=
'N k λλ
1
，也可以求出1=k 时的基元解．因为
t
s t
221
2
+=
λ
，所以t t s ???
?
??-=12λ
（+
∈N λ），()2
2t
t s +=
λ．当t 是正偶数时，
12
-t λ是整数；当t 是大于1的奇数时，λ的分母2
t
是奇数，分子()t s +2是偶数，因为+∈N λ，所以λ一定是偶数，
12
-t λ也是整数．所以无论t
是大于1的奇数还是偶数时，t s ,不是互素的关系，s 必能被t 整除，与()1,=t s 矛盾．所以当1=k 时，y s
m 1=
，y 是m 的正整数倍关系，不存在m 比y 大的正整数解．
5.结论
通过上面的一些研究，我们发现，利用数表排阵法推导出的勾股数通解公式与用其它方法推
导出的勾股数通解公式是一致的，并且这种方法还为研究勾股数组的内在联系和演变规律提供了非常方便的数学模型，使我们对于勾股数组有了一个更加全面而深刻的认识，而且是稍具数学基础的人都能弄懂的．数表排阵法在这一方面的成功，再一次证明了排阵法在数论中确实具有基础性的地位．
参考文献：
[1]庄严, 庄宏飞：《关于勾股数计算的两个新公式》中国科技论文在线 2008年 第1-2页. [2]夏永祥,《排阵法》2006年 第26页.
[3]谷超豪：《数学词典》 上海：上海辞书出版社 1992年 第121页 .
排列组合公式推导2014
排列和组合基本公式的推导，定义 先从「排列」开始。「排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」(Distinguishable，亦作「相异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为n个程序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有 n-2种选法。如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...2×1。在数学上把上式简记为n!，读作「n 阶乘」(n-factorial)。 例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。 答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1； 3-1-2；3-2-1。 当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」问题。我们可以把「部分排列」问题理解成抽东西的问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。如是者直至第r个程序，这时可供选择的数字只剩下n-r+1个，因此只有n-r+1种选择。最后，运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。 我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n-r)!，为甚麼可以这样改写？这要用到n!的定义和乘法的结合律。举一个简单的例子，由於 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!。同样由
勾股数的规律
精选范本 所谓勾股数，就是当组成一个直角三角形的三边长都 为正整数时，我们就称这一组数为勾股数 那么，组成一组勾股数的三个正整数之间， 是否具有一定的规律 可寻呢？下面我们一起来观察几组勾股数： 规律一：在勾股数(3, 4, 5)、( 5，12，13)、( 7, 24, 25)( 9, 40，41)中，我们发现 由(3, 4, 5)有： 3 2=9=4+5 由(5, 12, 13)有： 5 =25=12+13 由(7, 24, 25)有： 7 =49=24+25 由(9, 40, 41)有： 92=81=40+41. 即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好 等于 另外两个连续的正整数之和。 因此，我们把它推广到一般，从而 可得出以下公式： 2 2 2 2 ???(2n+1) =4n+4n+仁(2n +2n ) + (2n+2n+1) 2 2 2 2 2 ???(2n+1) + (2n+2n ) = (2n+2n+1) (n 为正整数) 勾股数公式一：(2n+1, 2n 2+2n , 2n 2+2n+1)(n 为正整数) 等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式： 2 2 2 2 ???(2n ) =4n =2[ (n-1 ) + (n+1)] ???(2n ) + (n-1 ) = (n +1) (n 》2 且 n 为正整数) 勾股数公式二：(2n , n 2-1 , n 2+1)( n 》2且n 为正整 数) 禾U 用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。 规律二：在勾股数(6, 8, 26)中，我们发现 由(6, 8, 10)有： 由(8, 15, 17)有： 由(10, 24, 26)有： 即在 一组勾股数中, 10)、( 8, 15, 17)、( 10, 24, 2 6 =36=2X( 8+10) 82=64=2X( 15+17) 2 10 =100=2X( 24+26) 当最小边为偶数时，它的平方刚好
初中排列组合公式例题.
复习排列与组合 考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。 考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。 例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？ 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。 2．排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ∴等式成立。 评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢 a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊）
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145
(完整版)排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)
排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word 版的，记得下载MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。 一、排列数公式： !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+= -L (1)(1)321n n A n n n =--创 L 推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行： 第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋ 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋ 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： (1)(2)(1)! !!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L 1n n C =
推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋ 第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋ 最后一步，取最后一个：有 1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题m n A 分解为两个步骤： 第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ； 第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。 根据乘法原理，m m m n n m A C A = 即： (1)(2)(1)!!!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L
初中排列组合公式例题
排列组合公式 复习排列与组合 考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。 考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。 例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？ 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。 2．排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ∴等式成立。 评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变
勾股数
勾股数 勾股数 勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 目录 常用套路 简介 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a2+b2=c2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 第一套路 当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 第二套路 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... 公式证明 证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn 局限 目前，关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。 完全公式
排列组合公式详解(公务员)
排列组合公式大全 （1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 （2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1 ．书架上放有3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3 种书，则分为3 类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14 种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各 1 本，需要分成3 个步 骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是： 3 X 5 X 6=90 （种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1 本，语英各1 本）而在每一类情况中又需分2 个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3X 5+3X 6+5X 6=63（种）。 例2 ?已知两个集合A={1 , 2, 3}, B={a,b,c,d , e}，从A到B建立映射, 问可建立多少个不同的映射？分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应。” 因A 中有3 个元素，则必须将这3 个元素都在B 中找到家，这件事才完成。因此，应分3 个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5 X 5 X 5=125 (种)。
勾股数规律的探究
勾股数的规律 能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究： 规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现 由（3，4，5）有： 32=9=4+5 由（5，12，13）有： 52=25=12+13 由（7，24，25）有： 72=49=24+25 由（9，40，41）有： 92=81=40+41. 即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。 其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有 ∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1） ∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2 因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一： （2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数） 或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现 由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10） 由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17） 由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26） 即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。 其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有 ∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）] ∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数） 因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二： （2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数） 或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为 （m,,）
排列组合公式 全
排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的
探索勾股数的规律
勾股数的规律 初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理。如果直角三角形的三边a 、b 、c （a ﹤b ﹤c ），由勾股定理可知：2 22a b c +=，其中a 为勾，b 为股，c 为弦。 一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律 1、 列表，观察表中每组勾股数 2、归纳规律：（1）每组中a 都是奇数； （2）2 a b c =+，212a b -=；（3）c = b+1，21 2 a c +=. 由此可得第n 组当a=2n+1时 2221(21)1 2222a n b n n -+-===+, 2221(21)122122 a n c n n +++===++ 于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1（n 为正整数）。 3、证明：∵2 2222(21)(22)a b n n n +=+++ 4232441844n n n n n =+++++ 4232441844n n n n n =+++++ 22(221)n n =++ ∴2 22a b c += ∴2n+1、222n n +、2221n n ++（n 为正整数）是一 组勾股数。 4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式： （1）列表观察 （2）归纳规律：略。当n 为正整数时，勾股数为： 22(1)a n n =+- 2(1)b n n =+ 22(1)c n n =++ 化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、2 22n n +、2221n n ++。 （3）证明过程：同前面的证明。 二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律 1、列表观察表中每组勾股数 2、 归纳规律： （1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）； （2）、22 14 ,22 a a b c b -=+=? （3）、2c b =+24 2 a +=
勾股数序列
勾股数序列 山东定陶一中刘述省 序言 两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ2－ｎ2，ｃ＝ｍ2＋ｎ2 则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。 2002年，本人找到了一种极其初等的方法。初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。（当然，由于勾股数的无限多， 只能列出一定范围内的）。此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖。 学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。真正让勾股定理走进普通人之中。 正文 先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。故约定：a＜b＜c . a2 + b2 = c2且a b c 互质。因ａ2 = (c－ｂ) (ｃ＋ｂ) ,突破口选在 ｃ－ｂ上。并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为d k 勾股数。（论文在后面将d k勾股数的倍数形成的勾股数叫做d k倍勾股数） 以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。 k＝１时，a2＝ｋ（ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。设a = 2m +1，则b = (a2 －１) / 2 , c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1 素勾股数序列如下： a b c 说明：1. a列从上到下依次多 2 ，b列从上到下依次多加4 . 3 4 5 5 12 13 2. 各列个位数五个数一循环。 7 24 25 9 40 41 3. 拟人法比喻，c为姐，b为弟，a为妹。可编口诀如下： 11 60 61 13 84 85 妹妹方一方，姐弟和相当； 15 112 113 17 144 145 姐大弟一年，三人勾股弦。 19 180 181 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ｋ＝２时，ａ2＝２（ｂ＋ｃ）＝２（２ｂ＋２）＝４（ｂ＋１）．设ａ＝２ｍ，则ｂ＝ｍ2－１，ｃ＝ｂ＋２．得出通项公式后，还要注意考虑两点。第一， 要保证a b c 互质。这里a 已经确定是偶数，b 就不能再是偶数，所以知m 是偶数。第二，要保证b ＞a 。这里换算为m2 —1 ＞2m 。得到m ＞1+2。
探究勾股数
探究勾股数两例 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．对于给定的三个正整数，若能验证其中最大数的平方等于其他两数的平方和，这组数就一定是勾股数，否则不是．可以验证若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）也是勾股数． 以下几个都可构成勾股数： 1．设n 为正整数，且n >1，a =2n ，b =n 2-1，c =n 2+1; 2．设n 为正整数，a =2n +1，b =2n 2+2n ，c =2n 2+2n +1; 3．设m 、n 为正整数，且m >n ，则a =m 2-n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2; 例1 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为:“勾三、股四、弦五”． （1）观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算 21(9-1)，21(9+1)与21(25-1)，2 1 (25+1)，并根据你发现的规律，分别写出能(用勾)表示7、24、25的股和弦的算式； (2)根据(1)的规律，用n (n 为奇数且n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明； （3）继续观察4、3、5；6、8、10；8、15、17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m （m 为偶数且m >4）的代数式来表示它们的股和弦． 分析：本题是一个勾股数的探索问题，考查观察、分析、类比、猜想和论证等能力．第（2）、（3）两小题都具有开放性，能较好地考查大家的创新意识和能力． 解:(1)因为 21(9-1)=21(32-1)=4， 21(9+1)=21(32+1)=5，21(25-1)=2 1 (52-1)=12， 21(25+1)=2 1 (52+1)=13， 对于3、4、5和5、12、13两组勾股数来说，可以表示为： 股= 21(勾2-1)，弦=2 1 (勾2+1)． 所以7、24、25的股24的算式为21(49-1)=21 (72-1)， 7、24、25的弦25的算式为21(49+1)=2 1 (72+1);
排列组合公式推导
1公吨=1t=1000kg 密度单位g/cm3 Proe密度单位公吨/mm3 1公吨/mm3=1000kg/(cm3×10-3)=109g/cm3 1g/cm3=10-9公吨/mm3 排列和组合基本公式的推导，定义 在本节中，笔者将介绍「排列」(Permutation)和「组合」(Combination)的基本概念和两个基本公式。请注意「点算组合学」中的很多概念都可以从不同角度解释为日常生活中的不同事例，因此笔者亦会引导读者从不同角度理解「排列」和「组合」的意义。 先从「排列」开始。「排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」(Distinguishable，亦作「相异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为n 个程序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下 n-2个，因此有n-2种选法。如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...2×1。在数学上把上式简记为n!，读作「n阶乘」(n-factorial)。 例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。 答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1；3-1-2；3-2-1。 当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」问题。我们可以把「部分排列」问题理解成抽东西的问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一
勾股数填空选择及详解中考题
一、填空题（共20小题） 1、附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41；… 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：_________ ． 2、观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25； … 列举：13、b、c，猜想：132=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= _________ ，c= _________ ． 3、满足a2+b2=c2的三个正整数，称为_________ ． 4、观察下列一类勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…请你根据规律写出第4组勾股数为_________ ． 5、观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：_________ ，第n组勾股数是_________ ． 6、能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写出两种勾股数_________ ，_________ ． 7、在数3，5，12，13四个数中，构成勾股数的三个数是_________ ． 8、将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我 们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数_________ ，_________ ，_________ ． 9、有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是_________ ． 10、观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；…；你有没有发现其中的规律？请用你 发现的规律写出接下来的式子：_________ ． 11、一个直角三角形的三边长是不大于10的偶数，则它的周长为_________ ． 12、观察下面几组勾股数，并寻找规律： 市菁优网络科技
超全超全的排列组合的二十种解法
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[(4x3x2x1)/2]/2 =6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。
三种常见的勾股数
三种常见的勾股数 我们知道，如果a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得222c b a =+，反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足222c b a =+，则该三角形是直角三角形．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍三种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得()()2 2211+=+-x x x ，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）； 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ 设后两数为连续整数的勾股数组为（x ，y ，y ＋１），则 ()2 221+=+y y x ， 整理，得122=-y x ，（＊） 显然，x 不能是偶数，否则，当x 为偶数时，（＊）式的左边是偶数，而右边是奇数，矛盾．故x 不能是偶数，因此， 取x ＝２m ＋１，则y ＝m m 222+（m ∈Ｎ）， 故后两数为连续整数的勾股数组是 （２m ＋１，m m 222+，m m 222 +＋１）； 分别取m ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些前两数为连续整数的勾股数组是怎样构造出来的吗？下面我们仿照后两数为连续整数的勾股数组的导出老进行推导． 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），则 ()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2 y ，化为 ()121222-=-+y x ，即