(完整版)第十八章平行四边形知识点及练习.docx

知识点 1：平行四边形的定义

（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）表示方法：平行四边形用“”表示，平行四边形ABCD 记作“ABCD ”，其中表示顶点的字母要按

顺时针或逆时针方向排列。

（3）平行四边形的基本元素：边，角，对角线。

边：邻边： AB 和 AD ， AD 和 DC ， DC 和 BC，BC 和 AB ，共有四对。

对边： AB 和 DC ， AD 和 BC，共有两对。

角：邻角：∠ BAD 和∠ ADC ，∠ ADC 和∠ DCB ，∠ DCB 和∠ ABC ，∠ DAB 和∠ ABC ，共有四对。

对角：∠ BAD 和∠ BCD ，∠ ADC 和∠ ABC，共有两对。

对角线： AC 和 BD ，共有两条。

注意：平行四边形的定义既是性质，又是判定。

(1)由定义知平行四边形两组对边分别平行；

（2）由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

例：如图，已知AB//DE，EF//BC，DF//AC，图中有几个平行四边形？将它们表示出了，并说明理由。

A

F E

B C

知识点 2：平行四边形的性质D

边：平行四边形的两组对边分别平行且相等。

符号语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ， AD//BC， AB=CD ， AB//CD 。A D 角：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补

O

符号语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴（ 1）∠ BAD= ∠ BCD ，∠ ABC= ∠ ADC 。B C （2）∠ ABC+ ∠ BAD=180 °，∠ ABC+ ∠ BCD=180 °，∠ BCD+ ∠ ADC=180 °，∠ ADC+ ∠ BAD=180 °。

对角线：平行四边形的对角线互相平行。

符号语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC=AC ，OB=OD=BD

例 1：如图所示，在平行四边形 ABCD 中，过 AC 中点 O 作直线，分别交 AD 、BC 于点 E、F，求证：△AOE

≌△ COF。

A E D

O

B

F C 例2：如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形， DE 平分∠ ADC ，交 AB 于点 E ，BF 平分∠ ABC，交 CD 于点 F。

D F C

(1)求证： DE=BF

(2)连接 EF ，写出图中所有的全等三角形。（不要求证明）

A

E B

例 3：如图所示，□ABCD 的对角线相交于点O ，且 AB ≠ AD ，过点 O 作 OE ⊥BD ，交 BC 于

的周长为10，则□ABCD 的周长为 __________.

知识点 3：平行线间的距离

（1）平行线间的距离的定义

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一点直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。（2）平行线间的垂线段的性质

A

C

①文字叙述：平行线间的距离处处相等。

②数学语言：如图所示，A， C 是 l 上任意两点。

若 l∥ l，AB ⊥ l， CD ⊥ l，则 AB=CD 。

拓展：三种距离之间的区别与联系B D

两点间的距离：连接两点的线段的长度。

点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度。

两条平行线间的距离：两条平行线中，从一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度。联系：它们都是指某一条线段的长度。l1 l2

例：如图所示，在△ ABC 中，∠ ABC=90 °，AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 之间的距离为2， l、 l 之间的距离为3，则 AC 的长是（）

A.2 17

B.2 5

C.4 2

D.7

知识点 4：平行四边形的面积

平行四边形的面积等于它的底（即平行四边形的一条边）和该底上的高的积。

（ 1）如图①所示，S=BC AE=CD BF 。

A

D A D

E

F l、l、l 上，且 l、

A

C

l1

l2

B

l3

B E

C B C

（ 2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等，如图②所示，□ABCD和□EBCF有公共边BC，则 S=S。

例 1：如图所示，已知□ABCD，AB=8cm，BC=10cm，∠B=30°，求□ABCD的面积。

A D

B C

例 2：如图所示，已知P 是□ ABCD 的对角线BD 上一点， EF ∥ BC，

MN ∥AB ，且 EF 、MN 相交于点 P，则图中□AEPM 与□PNCF 的面积关系是（）A M D

A. 相等

B. □AEPM 的面积大

C. □AEPM 的面积小

D. 无法确定知识点 5：平行四边形的判定

E

P

F B N C

1、边：

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义），

符号语言：∵ AB∥ DC ， AD ∥ BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

符号语言：∵ AB=CD ， AD=BC ，∴四边形 ABCD 是平行四边形；

(3)一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，

符号语言：∵ AB∥ CD 且 AB=CD （或 AD ∥ BC 且 AD=BC ），∴四边形 ABCD 是平行四边形。

2、角：

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，

符号语言：∵∠ ABC= ∠ADC ，∠ BAD= ∠ BCD，∴四边形 ABCD 是平行四边形。

3、对角线：

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形，

符号语言：∵ AO=CO ， DO=BO ，∴四边形 ABCD 是平行四边形。

例 1：四边形 ABCD 如图所示，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的选项是（）A D

A. AB ∥ CD ， AB=CD

B. AB=CD ， AD=BC

C. AB=CD ， AD ∥BC

D. AB ∥ CD ， AD ∥ BC B

C

例 2：如图所示，将□ ABCD 的对角线 BD 向两个方向延长至点 E 和点 F，使 BE=DF ，求证四边形AECF

是平行四边形。

A F

D

B

E C

知识点 6：三角形的中位线

（1）三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

A 几何描述：如图所示，在△ABC 中，点 D、 E、 F 分别为边 A

B 、 BC、 CA 的中点，则线段DE 、

EF 、FD 是△ ABC 的三条中位线。

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。D F 几何描述：如图所示，在△ABC 中，点 D、 E、 F 分别为边 AB 、BC、 CA 的中点，则线段

DE 、 EF 、 FD 是△ ABC 的三条中位线，故 DF ∥ BC， DF= BC； DE ∥ AC， DE=AC；

B E

C EF ∥ BA， EF=BA 。

（3）三角形中位线定理的作用：①证位置关系：可以证明两条直线平行；②证数量关系：可以证明线段的

线段或倍分关系。

例：如图所示，□ABCD 的周长为 36，对角线 AC 、BD 相交于点O，点 E 是 CD 的中点， BD=12 ，则△ DOE

的周长为 __________.A D

O

E

B C

能力点 1：运用平行四边形的性质计算

例：如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，∠A+ ∠ C=80 °，□ABCD 的周长为40，且 AB-BC=2 ，求□ABCD 各内角的度数和各边的长。D

C

A B

能力点 2：运用平行四边形的性质证明

例1：如图所示，在□ ABCD 中， AE ∥CF， AE 与 BD 相交于点 P， CF 与 BD 相交于点 Q，

求证： BP=DQ 。

A

F

D Q

P

B E

C

例 2：如图所示，在□ ABCD中，点E是AB的中点，连接DE 并延长，交BC 的延长线于点F。

（1）求证：△ ADE ≌△ BFE

（2）若 DF 平分∠ ADC ，连接 CE ，试判断 CE 与 DF 的位置关系，并说明理由。

能力点 3：平行四边形性质的综合运用

例：如图所示，在□ABCD 中， E 为 BC 边上一点，且AB=AE.（1）求证：△ ABC ≌△ EAD

（2）若 AE 平分∠ DAB ，∠ EAC=25 °，求∠ AED 的度数。

D C

A

E

A D

B E

C

B

F

F

例：在□ABCD 中，∠ BAD 的平分线交直线 B C 于点 E，交直线DC 于点 F。

（1）如图所示，证明 CE=CF

（2）若∠ ABC=90°， G是 EF 的中点，连接 DG（如图 2），直接写出∠ BDG的度数。

A

D

C

B E

G

F

能力点 5：构造平行四边形解决问题

掌握构造平行四边形的两种基本方法：一是作平行线构造平行四边形；二是延长经过中点的某条线段，

再顺次连接线段的端点。

例 1：如图所示，已知CD是△ ABC的中线， CN=MN，求证： AM=CB。

C

M

N

A

D

B

例 2：如图所示，四边形ABCD中， AB∥CD，∠ ADC=2∠ ABC，求证： AB=AD+CD.

D

C

A B

能力 6：三角形的中位线问题

由三角形的中位线定理，可直接得到边边之间的数量关系及位置关系。在有中点条件时，可考虑利用

中位线或构造中位线解决问题。

例 1：如图所示，已知四边形ABCD的对角线 AC、BD相交于点F，M、N 分别为 AB、CD的中点， MN分别交AC于点 P、Q，且∠ FPQ=∠ FQP。若 BD=10，求线段 AC的长。

A

D

F

M P Q

B BD、N

C

例 2：如图所示，已知 AO是△ ABC中∠ BAC的平分线，BD⊥ AO的延长线于D，E是 BC的中点。求证：DE=（ AB-AC）。

B D

能力点 7：平行四边形探究性问题

平行四边形的探究问题形式多样，要根据题目条件特征及具体的问题来选用判定方法及性质来综合解

决问题。

例：如图所示，在四边形 ABCD中， AD∥ BC，且 AD＞ BC， BC=1cm，点 P，Q分别从点 A， C 同时出发，点 P 以 cm/s 的速度由点 A 向点 D 运动，点 Q以 cm/s 的速度由点 C向点 B 运动，几秒后四边形 ABQP是平行四边形？

A P D

B Q C

18.2.1矩形

知识点 1：矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

用符号语言表示：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形。

例：已知在四边形ABCD中， AD∥ BC 且 AD=BC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，加上的条件可以是 _____________.

知识点 2：矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形的所有性质外，还有以下性质：

（1）矩形的四个角都是直角。

（2）矩形的对角线相等。

（3）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是过两组对边中点的直线。

例：如图，矩形 ABCD的对角线AC=8cm，∠ AOD=120°，则 AB的长为

（）A D

A.cm

B.2cm

C.2cm

D.4cm

O

B C

知识点 3：矩形的判定

判定定理1（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形。

例：如图， AB=AC， AD=AE， DE=BC，且∠ BAD=∠ CAE，求证：四边形BCDE是矩形。

A

E D

B C 知识点 4：直角三角形斜边上的中线的性质

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（2）斜边上中线性质的逆命题也是真命题，即如图三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三

B G C

例：如图所示，BD，CE是△ ABC的高， G， F 分别是 BC，DE的中点，试说明GF⊥ DE。

能力点 1：矩形性质的应用

根据矩形的性质、等腰三角形的性质等，经过简单的计算、推理，求线段长及角的度数或是证明线段（或角）相等。

例 1：如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知 AC=6cm，∠ BOC=120°，

求：（ 1）∠ ACB的度数；（ 2）AB、 BC的长。A D

O

B

C

例 2：如图，矩形ABCD中， AC、 BD相交于点O，AE平分∠ BAD交 BC于点 E，若∠ CAE=15°，求∠ BOE的度

数。A D

O

B

E C

例 3：如图，在矩形ABCD中，∠ ABC的平分线交 CD于点 E， EF⊥ AE，交 BC于点 F。求证： AE=EF。

A D

F

B

C

E

能力点 2：直角三角形斜边上的中线的性质应用

根据直角三角形斜边上的中线的性质，快速找到两条线段间的数量关系，为进一步的证明找到切入点。

例：如图所示，延长矩形的边CB至点 E，使 CE=CA，点 F 为 AE 的中点，求证：BF⊥ FD。

A D

F

E B C

能力点 3：矩形中的折叠问题

例：如图所示，在矩形纸片ABCD中， AB=3， BC=6，沿 EF折叠后，点 C 落在 AB 边上的点

P 处，点 D落在点

Q处， AD与 PQ相交于点 H，∠ BPE=30°。O

E

（2）求四边形PEFH的面积。

能力点 4：矩形的判定的应用

根据题目中所给的条件的不同，灵活地选用矩形的判定方法进行证明。在动态问题中，要能判断出隐含

的不变的数量关系或位置关系来。

例 1：已知：如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形 EFGH是矩形。

A D

G

F

H

B E

C

例 2：如图，在△ ABC中，点 O是边 AC上一个动点，过 O作直线 MN∥ BC。设 MN交∠ ACB的平分线于

点E，交∠ ACB的外角平分线于点 F。

（1）求证： OE=OF；

（2）若 CE=12，CF=5，求 OC的长；

（3）当点 O在边 AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由。

A

M E O

N

F

B

D

C

18.2.2菱形

知识点 1：菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

例：如图所示，在△ ABC中， CD是∠ ACB的平分线， DE∥ AC，DF∥ BC，四边形 DECF是菱形吗？试说明理由。

C

F

E

A

B

D

知识点 2：菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形的所有性质外，还具有以下性质：

（ 1）菱形的四条边都相等。

（ 2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （ 3）菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。拓展：菱形面积的求法： （ 1）菱形的面积等于底乘以高；

（ 2 ）菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形，因此菱形的面积可以用两条对角线之积的一半来表示，

即菱形 ABCD 的面积 =4S =4 × AO BO=2AO BO=AC BD 。

例 1：如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的长分别为 6cm 、8cm ，AE ⊥ BC 于点 E ，则 AE

D

A

的长是（ ）。

O

A.cm

B.cm

C.cm

D. cm

例 2：如图，四边形

ABCD 是菱形，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， DH ⊥ AB 于点 H ，连接

C

B E

OH ，求证：∠ DHO=∠DCO 。

D l

A O

C

H

B

知识点 3：菱形的判定

（ 1）（定义法判定）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（ 2）判定定理 1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这个定理的另一种说法是：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

（ 3）判定定理 2：四边相等的四边形是菱形。

例 1：将平行四边形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠， 使点 C 与点 A 重合，点 D 落到点 D ’处， 折痕为 EF 。

（1）

求证：△ ABE ≌△ AD ’ F ；

D'

（2）

连接 CF ，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论。

A

F

D

B

E

C

例 2：如图所示，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， CD ⊥ AB 于点 D ，AE 平分∠ BAC ，分别与 BC ， CD 交于 E ，F ，

EH

⊥AB 于 H ，连接 FH ，求证：四边形 CFHE 是菱形。

C

E

F

18.2.3正方形

知识点 1：正方形的定义

定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

例 1：如图所示，在△ ABC中，∠ ABC=90°，BD平分∠ ABC，DE⊥ BC，DF⊥ AB，试说明四边形BEDF是正方形。

A

D

F

B E C

知识点 2：正方形的性质

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

归纳：（ 1）正方形的四条边相等，四个角都是直角。

（2）正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角。

（3）正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

（4）正方形的对角线把它分割为四个全等的等腰直角三角形。

（5）正方形的面积等于对角线平分的一半。

例 1：如图，在正方形 ABCD中，点 M是对角线 BD上的一点，过点M作 ME∥ CD交 BC于点 E，作 MF∥ BC 交

CD于点 F，求证： AM=EF.A D

M

F

B E C

知识点 3：正方形的判定

（1）从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（2）从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形。

（3）从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。

（4）正方形的判定的示意图。

菱形一个内角为直角

一组邻边相等

（或对角线相等）

一组邻边相等且一个内角为直角

正方形

平行四边形

（或对角线互相垂直平分且相等）

一个内角为直角一组邻边相等

矩形

（或对角线垂直）

B F Q C

形 MNPO是正方形。

能力点 1：性质的综合应用

利用菱形的性质与勾股定理相结合，解决与计算有关的问题，与三角形全等相结合，解决推理论证类问题。在解答过程中，还可以直接应用菱形的轴对称性解决部分问题。

例 1：如图，在菱形 ABCD中，点 F 为边 BC的中点， DF 与对角线 AC交于点 M，过点 M作 ME⊥ CD于点1=∠ 2。

B E，∠

A

（1）若 CE=1，求 BC的长；（2）求证： AM=DF+ME。

F

M

C E D

例2：菱形 ABCD中，∠ B=60°，点 E 在边 BC上，点 F 在边 CD上。（1）如图 1，若 E 是 BC的中点，∠ AEF=60°，求证： BE=DF。（2）如图 2，若∠ EAF=60°，求证：△ AEF是等边三角形。A

D A D

F

B 能力点 2：菱形的判定的综合应用E

C

F

B E C

根据题目中所给的角、边、对角线等方面的条件，结合其他几何知识，灵活地运用菱形的判定方法进行

证明。

例 1：如图所示，在四边形 ABCD中， E 为 AB 上一点，△ ADE和△ BCE都是等边三角形， AB， BC，CD， DA的中点分别为 P， Q， M， N，试判断四边形 PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论。

D

M

C

N

Q

A

B P

例 2：如图，在矩形ABCD中， M、 N 分别是 AD、BC的中点， P、 Q分别是 BM、DN的中点。

（1）求证：△ MBA≌△ NDC；A （2）四边形 MPNQ是什么样的特殊四边形？请说理由。

M

D

能力点 3：菱形中的最值问题

菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。运用其轴对称可解决求最小值类的问题。

例 1：如图，菱形ABCD的两条对角线分别长为 6 和 8，点 P 是对角线AC上的一个动点，点

M,N分别是边AB， BC的中点，则PM+PN的最小值是 __________.

B

P

N

Q

C

D

A

P

C M

N

B

例 2：在菱形ABCD中， AB=2，∠ A=120°，点 P、Q、 K 分别为线段BC、 CD、 BD 上任意一点，则PK+QK的最

小值为（）

A.1

B.

C.2

D.+1

能力点 4：与菱形相关的开放性问题

根据题意，利用平行四边形、菱形的性质、判定，利用分析法来找所需条件，解条件开放型问题。

例 1：如图，四边形ABCD是菱形， E 是 BD延长线上一点， F 是 DB延长线上一点，且DE=BF，连接 AE， CE，请你以点 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一

条线段相等。（只需证明一组线段相等即可）A

（1）连接 _____________：（2）猜想： ____________=_____________ ；

（3）证明你的猜想。F B D E

C

例 2：如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， BC的垂直平分线DE交 BC于点 D，交 AB于点 E，点 F 在 DE的延

长线上，并且 AF=CE.

B

（1）求证：四边形 ACEF是平行四边形。

F E

（2）当∠ B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？证明你的结论。D

A C

能力点 5：正方形性质的综合运用

根据正方形的性质进行证明或计算，要注意结合题目有选择地运用。

例 1：如图所示，正方形 ABCD的边长为1，AC是对角线， AE平分∠ BAC，EF⊥ AC于点 F。（1）求证： BE=CF；（2）求 BE的长。A D

F

BE C

例2：如图所示，四边形 OABC与四边形 ODEF均为正方形， CF交 OA于点 P，交 DA于点 Q。

（1）求证： AD=CF。

（2） AD与 CF垂直吗？说明你的理由；

（3）当正方形 ODEF绕 O 点在平面内旋转时，（1）、（ 2）的结论是否有变化？（不需说C B

明理由）

O

P

A

Q

D

F

E

能力点 6：正方形的判定

根据题目条件，选择适当的判定方法，条理清晰、层次分明地证明一个四边形为正方形。

例：如图，在△ ABC中，∠ A=45°，∠ ACB=90°， BC的垂直平分线 EF 交 BC于 D，交 AB于 E，且 CF=BE，求证：四边形 BECF是正方形。

B

D

E F

A C