分式方程的概念,解法及应用

分

式方程的解法及应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标： ● 分式方程的概念以及解法；

● 分式方程产生增根的原因；

● 分式方程的应用题。

重点难点：

● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．

● 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．

学习策略：

● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。

二、学习与应用

（一）什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有 的 叫做方程．

使方程两边相等的 的值，叫做方程的解．

（二）分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）同一个 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是：

M

B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不等于0的整式）． （三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 （除数不能为0），所得的结果仍是等式。

（四）解下列方程：（1）9－3x ＝5x ＋5；

（2）5

2221+-=--y y y

知识点一：分式方程的定义 里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释：

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听

课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补

充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5# 知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（1）分式方程的三个重要特征：①是 ；②含有 ；③分母里含有 。 （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有 （不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是 ，不含有未知数的方程是 方程，如：关于x 的方程x x =-21和1

27

23+=-x x 都是 方程，而关于x 的方程x x a =-21

和d c b x =+1

都是 方程。

知识点二：分式方程的解法

（一）解分式方程的基本思想

把分式方程化为 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公

分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

（二）解分式方程的一般方法和步骤

（1） ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

（2）解这个 方程。

（3） ：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是

原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 。

注：分式方程必须 ；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，

但增根不适合原方程，可使原方程的 为零。

（三）增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无，所以分式方程，不允许未知数

取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着 不为零的条件。当把

分式方程转化为整式方程以后，这种取消了，换言之，方程中未知数的值范围

了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出

现增根。

知识点三：分式方程的应用

分式方程的应用主要就是 ，它与学习一元一次方程时列方程解应用题

的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

一般地，列分式方程（组）解应用题的一般步骤：

（1） 题意； （2）设 ；

（3）根据题意找 关系，列出分式方程；

（4）解分式方程，并验根；

（5）检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．

知识点四：常见的实际问题中等量关系

（一）工程问题

（1）工作量＝ ×工作时间，工作效率＝工作时间

，

工作量_ _ _ _ _ ＝工作效率

；

（2）完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

（二）营销问题

（1）商品利润＝商品 一商品 ；

（2）100%?_ _ _ _ _商品利润率＝_ _ _ _ _ _

；

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

（4）商品的销售利润＝（销售价一成本价）× ．

（三）行程问题

（1）路程＝ ×时间，_ _ _ _ _速度＝时间，路程_ _ _ _ _＝速度

；

（2）在航行问题中，其中数量关系是：

顺水速度＝ ＋水流速度，逆水速度＝静水速度－ ；

（3）航空问题类似于航行问题．

类型一：分式方程的定义 例1．下列各式中，是分式方程的是（ ） A ．5x y += B ．2253x y z +-= C ．1x D .

05

y x =+ 思路点拨：要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：A ．5x y +=因为方程里没有

，所以 分式方程；B ．2253

x y z +-=虽然有分母，但是分母里没有

，所以 分式方程；C ．

1x 没有 ，所以不是 ，它只是一个 ；D ．05

y x =+具备分式方程的三个特征，是 。

经典例题-自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反

三。若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID ：#jdlt0#

总结升华：

举一反三：

【变式】方程32x x a b

-=-中，x 为未知量，a ，b 为已知数，且a b ≠，则这个方程（ ） A ．分式方程

B ．一元一次方程

C ．二元一次方程

D ．三元一次方程 类型二：分式方程解的概念

例2．请选择一组,a b 的值，写出一个关于x 的形如b x a =-2

的分式方程，使它的解 是x ＝0这样的分式方程可以是 .

思路点拨：分式方程是 中含有 的 ，能够使分式方程

成立的未知数的值叫分式方程的 .

总结升华：

举一反三：

【变式】在0,x = 1,x =1x =-中，哪个是分式方程301

x x x -=-的解，为什么？ 类型三：分式方程的解法

例3． (2011北京房山一模)解方程： x

x x --=--31132 思路点拨：在解分式方程的时候，要把分式方程变为 方程。原方程的两边都

要乘 ，方程等号右边的常数1也必须乘 。在找最简公

分母的时候有时需要先把分式方程变形。

总结升华：

例4. 已知分式方程11

2=-+x a x 的解为非负数，求a 的取值范围 思路点拨：解这个分式方程即可，注意去分母后所得整式方程的解是非负数，且不等

于1.

举一反三：

【变式1】解方程：（1）13-x ＝x 4， （2）

1210-x ＋x

215-＝2. 【变式2】当a 为何值时，关于x 的方程5

3221+-=-+a a x x 的解是0？ 类型四：增根的应用

例5.当m 为何值时，关于x 的方程2

34222+=-+-x x mx x 会产生增根？会无解

思路点拨：增根是分式方程去分母后的整式方程的根，它使最简公分母得________，且只适合_______，所以只需把可能出现的增根代入该整式方程中，就可以求得对应的m 的

值．而分式方程无解有两种情况，一是去分母后的整式方程的根都是_________，二是此

整式方程__________．

总结升华：

举一反三：

【变式1】当m 为何值时，方程

会产生增根( )

A. 2

B. －1

C. 3

D.－3 分析：分式方程

，去分母得___________，将增根______代入，得

m 。 【变式2】.若方程32x x --＝2m x

-无解，则m ＝ 。

类型五：分式方程的应用

（一）工程类应用性问题

例6.某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天，现两队合

作2天后，留下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程期限是多少天？

思路点拨：若设工期为x 天，将总工程量设为“1”，则甲效为____；乙单独做需(x+3)

天，乙效为_______.(法1)甲共做2天，乙共做x 天，可将工作完成；(法2)乙独做多

用的___天完成的工作量，相当于甲____天做的。

举一反三：

☆【变式1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三

分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施

工速度快？

分析：甲1个月完成1/3，即甲效率为1/3，或理解为甲单独做3个月完成，所以甲实

际做个月完成了1/2的工程，另外的1/2的工程由乙半个月完成，可见乙的效率为甲

的3倍，显见乙的工效快。上述是计算的方法，以下为方程方法。

【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数

据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教

师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各

能输入多少名学生的成绩？

（二）行程中应用性问题

例7．甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达

快车的平均速度是普通快车平均速度的倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快

车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．

思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关

系是：路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．

总结升华：

举一反三：

☆【变式1】一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给

带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进

速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到

追上队伍用了多少时间？

【变式2】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，

已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度．

（三）营销类的应用性问题

例8．某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合

后，其平均价比原甲种原料每0.5kg 少3元，比乙种原料每0.5kg 多1元，问混合后的

单价每0.5kg 是多少元？

思路点拨：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、

平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．

总结升华：

举一反三：

☆【变式】A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格

有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A 每次购买1000千克，购贷员

B 每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学

习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

（一）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为

0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 ，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．

（二）列方程（组）解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数．

知识点：

测评系统分数： 模拟考试系统分数： 如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID ：#cgcp0#，做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。

相关内容请参看网校资源ID ：#tbjx13# 成果测评 现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。

知识导学：分式方程的概念，解法及应用（#）

视听课堂：分式方程（#）

更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用。

对本知识的学案导学的使用率：□好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）□中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）

□弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：家长：指导教师：

请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学。