双缝干涉条纹间距公式的推导——两种方法

双缝干涉条纹间距公式的推导

相干光经双缝后再次亦?屏上相遇4相叠加，形成了稳定的明暗相间的干涉条纹，理论和实验都证明：在两狭缝间的距离和狭缝与屏间的距离不变的条件下，单色光产生的干涉条纹间距跟光的波长成正比，现简要推导如下：

如图，o是S1S2的中垂线与屏的交点；d是对、s2的距离；丨是缝与屏的距离；X是p点到0点的距离:门、r2是屏上P点到si、S2的距离:设s1、S2到P点的路程差为5=

r2—r1,宙图可知

d rj = F —尸(1)

2

d r； - 1； + ( x ) ;(2)P

2

(1 )?(2 )可得：a

d d

r/- rf= ( x+—) - (x-—)七2血心

2 2

即? ( r： + r：)( I*；— rj) =2dx心由于1 ?d l?x^ Slttr；

+r：^21^" ~ , d * 小N

所以：r；— r：= —x 即：& - —X*-1

1 1

当s 等于光波波长入的整数倍时■两列波在p 点同相加

强"岀现亮条纹卩

d 即k 入二一x

1

则x = k —入 d

1

即 △ X =—入 所以Ax 二xk = (H1)l A -k l A = l A .

add

(k=0 > ±1 > ±2 9 ±3 ? ???)3 (k=0 > ±1 > ±2 9 ±3 9 ?- )

? (4)3

d

2

当6等于光波半波长一的奇数倍时，两列波在P点反

2

相減弱，出现暗条纹："

A d

Bn

即(2kil )— = —x ( k=O,±l ,±2,±3,???4'

2 1

, i a

n

则X =( 2k+l ) —( k=0 ,±1 ,±2，土3 严?)

d 2

12 1

所以 Z = x^?xk=( 2M3)—?一一(2k+l )—?

d 2

d

A 1

—? = — A 3

2 d

即△ X =-A (5)3

d

根据（4）、（5）两式可知:相邻两条明纹（或暗纹）间距离均为△ x=1/dA，而I、d 和入都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。

［应用］相干光经双缝产生干涉现象，当发生如下变化时，干涉条纹如何变化？（1）

屏幕移近；（2）缝距变小；（3）波长变长；

［分析］由公式从=1/d入可知，相邻两条明纹（或暗纹）间距离山与I、入成正比，与d成反比。

（1）若屏幕移近，则I变小，因此条纹间距Ax变小，条纹变得密集。

（2）若缝距d变小，则Ax变大，条纹变得稀疏。

（3）若波长入变长，则Ax变大。因此若入射光为白光，则中央明纹（白色）的两侧, 出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光。

另外在研究干涉现象时，…般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。

用直线y二丨去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。将y =丨代入双曲线簇的方程，有:

双缝干涉条纹间距公式的推导

d O d x

2 2

如图建立直角坐标系，其x轴上横坐标为的点与-的点为两波源。这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离

2 2

差为波长整数倍n,（零除外）的双曲线簇。其中-d,o I、-,o i为所有双曲线的公共焦点。这个双曲线簇的方程为：

I 2八2丿

2

y

=1

.2

一I

<2 .丿

用直线y 二丨去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。将 y =丨代入双曲线簇的方程，有:

可见，交点横坐标成一等差数列，公差为

—，这说明: d

（1） 条纹是等间距的； I 扎

（2） 相邻两条纹的间距为 一。

d

至此，证明了条纹间距公式： O

d d 2 l 2

2； 2

一 n ■ 上式中，d 的数量级为10*m ,，为10 J m 。故d 2 - n 2,2 = d 2, x 的表达式简化为: l

2

d 2

其中I 的数量级为100m , d 的数量级为10” m 。故

I 2

d 2 :104 x 的表达式简化为: +