第二章刚体的基本运动
第二章 刚体的基本运动
一、目的要求
1．明确刚体平行移动（平动）和刚体绕定轴转动的特征，能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。
2．对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要清晰的理解，熟知匀速和匀变速转动的定义与公式。
3．能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。
4．掌握传动比的概念及其公式的应用。
5．对角速度矢、角加速度矢以及用矢积表示定轴转动刚体上任一点的速度和加速度有初步了解。
二、基本内容
刚体的平动；刚体绕定轴转动；转动刚体内各点的速度和加速度；轮系的转动比；以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度。
（1）基本概念
刚体平动与定轴转动的定义，刚体在作这两种运动时刚体上各点速度、加速度的分布规律。
（2）主要公式
平动刚体上，任意两点之间均有
B A v v =，B A a a =
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度为
ωr v =，ατr a =，2ωr a n =，22n a a a +=τ，n a a tg τθ=
以矢积表示的刚体上一点的速度与加速度为
r v ?=ω
v r a ?+?=ωα
三、重点和难点
1．重点
（1）刚体平动及其运动特征。
（2）刚体的定轴转动，转动方程，角速度与角加速度。
（3）转动刚体内各点的速度与加速度。
2．难点：
用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。
四、学习建议
（1）对刚体平动强调“三相同”。
（2）对刚体绕定轴转动的特征及其上点的速度，加速度分布规律要讲透，让学生熟练掌握已知刚体转动规律会求其上一点的运动规律，反之，已知转动刚体上一点的运动规律要会求其上各点的运动规律及整体的转动规律。
（3）对轮系传动比作一般介绍。
（4）对ω ，α 方向的确定要介绍练习，对速度和加速度用矢积表示只作一
般介绍以供推导公式用。
第六章刚体的基本运动习题解答
第六章刚体的基本运动习题解答 习题 6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图 6-16所示。图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为ω=5rad/s，角加速度为α=2rad/s2, 试求 三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。 图6-16 v C =v D =O 1A ω=0. 1?5=0. 5m/s a C =a D =O 1A ω τ τ n n 2 =0. 1?5=2. 5m/s 2 22 a C =a D =O 1A α=0. 1?2=0. 2m/s 6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm，以等角速度ω=4rad/s绕O 轴转动。设t =0时，求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时，导杆BC 的速度和加速度。?=0， 图6-17 x O 1=2OA cos ?=2R cos ωt =2?0. 1?cos 4t =0. 2cos 4t m O 1=-0. 8sin 4t m/s ?=30?时 x O 1=-0. 4m / s x O 1=-3. 2cos 4t m/s2 O 1=-1. 63m /s 2 x x v =0. 4m /s a =1. 63m /s 2=2. 771m /s 2 6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为α=-b -c ω2, 式中b 、c 均是常数。设运 动开始时飞轮的角速度为ω0，问经过多长时间飞轮停止转动？ α=-b -c ω
2 d ωb +c ω 2 =-d t ? d ωb +c ω 2 ω0 = ? t -d t arctan(1bc c b ω) |ω=-t arctan( c b ω0) 6-4 物体绕定轴转动的转动方程为?=4t -3t 3。试求物体内与转轴相距R =0.5m的一点，在t =0及t =1s时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。 2 =4-9t 2 ? =-18t ?=4t -3t ? t =0时 =4 ? =0 ? v =R ω=0. 5?4=2m/s
最新第六章刚体的基本运动习题解答
习 题 6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图6-16所示。图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为rad/s 5=ω，角加速度为2rad/s 2=α,试求三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。 图6-16 m/s 5.051.01=?===ωA O v v D C 2221n n m/s 5.251.0=?===ωA O a a D C 21ττm/s 2.021.0=?===αA O a a D C 6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm ，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm ，以等角速度rad/s 4=ω绕O 轴转动。设t =0时， 0=?， 求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时，导杆BC 的速度和加速度。 图6-17 m 4cos 2.04cos 1.02cos 2cos 21t t t R OA x O =??===ω? m/s 4sin 8.01t x O -= ?=30?时 m/s 4.01-=O x 21m/s 4cos 2.3t x O -= 21m/s 36.1-=O x m /s 4.0=v 2 2m/s 771.2m/s 36.1==a 6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为2ωαc b --=,式中b 、c 均是常数。设运动开始时飞轮的角速度为0ω，问经过多长时间飞轮停止转动？ 2ωαc b --= t c b d d 2-=+ω ω ??-=+t t c b 002d d 0ωωω t b c bc -=00|)arctan(1ωω )arctan(10ωb c bc t = 6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334t t -=?。试求物体内与转轴相距R =0.5m 的一点，在t =0及t =1s 时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。 234t t -=? 294t -=? t 18-=? t =0时 4=? 0=? m/s 245.0=?==ωR v
清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析
6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
(完整版)刚体的基本运动(可编辑修改word版)
第三章刚体力学 §3.1 刚体运动的分析§3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程§3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量§3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7 刚体的平面平行运动 §3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量 1.刚体是特殊质点组 dr ij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。 2.描述刚体位置的独立变数 描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用 3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变, 如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需 9-3=6 个变量即可。 刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α, β,γ。 二、刚体的运动分类 1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行. 任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动) 2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变 量φ 3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。可以用平行于固定平面的截面代 表刚体。需要三个独立变量。 4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。需三个独立的欧拉角。 5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量 定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴. ω = lim ?n = d n 刚体在 dt 时间内转过的角位移为 d n ，则角速度定义为 角速度反映刚体转动的快慢。 ?t →0 ?t dt 线速度与角速度的关系：d r =d n ?r , ∴ v = d r dt =ω ?r
刚体的基本运动
第七章 刚体的基本运动 一、目的要求 1．明确刚体平行移动（平动）和刚体绕定轴转动的特征，能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。 2．对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要清晰的理解，熟知匀速和匀变速转动的定义与公式。 3．能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。 4．掌握传动比的概念及其公式的应用。 5．对角速度矢、角加速度矢以及用矢积表示定轴转动刚体上任一点的速度和加速度有初步了解。 二、基本内容 刚体的平动；刚体绕定轴转动；转动刚体内各点的速度和加速度；轮系的转动比；以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度。 （1）基本概念 刚体平动与定轴转动的定义，刚体在作这两种运动时刚体上各点速度、加速度的分布规律。 （2）主要公式 平动刚体上，任意两点之间均有 B A v v =，B A a a = 定轴转动刚体上任一点的速度和加速度为 ωr v =，ατr a =，2ωr a n =，22n a a a +=τ，n a a tg τθ= 以矢积表示的刚体上一点的速度与加速度为 r v ?=ω v r a ?+?=ωα 三、重点和难点
1．重点 （1）刚体平动及其运动特征。 （2）刚体的定轴转动，转动方程，角速度与角加速度。 （3）转动刚体内各点的速度与加速度。 2．难点： 用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。 四、学习建议 （1）对刚体平动强调“三相同”。 （2）对刚体绕定轴转动的特征及其上点的速度，加速度分布规律要讲透，让学生熟练掌握已知刚体转动规律会求其上一点的运动规律，反之，已知转动刚体上一点的运动规律要会求其上各点的运动规律及整体的转动规律。 （3）对轮系传动比作一般介绍。 （4）对ω ，α 方向的确定要介绍练习，对速度和加速度用矢积表示只作一 般介绍以供推导公式用。
第6章刚体的平面运动习题解答080814
第六章 刚体的平面运动 本章要点 一、刚体平面运动的描述 1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ??=. 2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度 1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即 BA A B v v v +=， 其中BA v 的大小为ωAB v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。 2投影法 速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即 AB A AB B v v ][][= 3瞬心法 任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。 平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。 面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即 ωCM v M =， 其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。 解题要领： 1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。 2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是
刚体的基本运动
刚体的基本运动 班级 姓名 学号 一、是非题（正确用√，错误用×，填入括号内。） 1、定轴转动刚体上与转动轴平行的任一直线上的各点加速度的大小相等，而且方向也相同。 （ ） 2、刚体作平动时，其上各点的轨迹可以是直线，可以是平面曲线，也可以是空间曲线。 （ ） 3、刚体作定轴转动时，垂直于转动轴的同一直线上的各点，不但速度的方向相同而且其加速度的方向也相同。 （ ） 二、选择题（每题3分。请将答案的序号填入划线内。） 1、在图示机构中，杆B O A O 21//，杆D O C O 32//，且201=A O cm ，402=C O cm, CM=MD =30cm, 若杆1AO 以角速度s rad /3=ω匀速转动， 则D 点的速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍cm ，M 点的加速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2/s cm 。 ① 60 ；② 120 ；③ 150 ；④ 360 ； 2、已知正方形板ABCD 作定轴转动，转轴垂直于板面，A 点的速度s cm v A /10=，加速度 2/210s cm a A =，方向如图。则正方形板转动的角速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。 ①s rad /1； ②s rad /2； ③无法确定。 三、计算题 1、已知搅拌机的主动齿轮O 1以m in r 950=n 的转速转动。搅杆ABC 用销钉A 、B 与齿轮O 2、O 3相连，如图所示。且 32O O AB =，m 25.023==B O A O ，各齿轮齿数为z 1=20，z 2=50，z 3=50。求搅杆端点C 的速度和轨迹。
2、机构如图所示，假定杆AB 在某段时间内以匀速v 运动，开始时0=?。试求当4π?=时，摇杆OC 的角速度和角 加速度。 3、图示曲柄滑道机构中，T 形杆中BC 保持水平、DE 保持铅直。曲柄OA 长10cm ，以匀角速度s rad /20=ω绕O 轴转动，通过套筒A 使杆BC 作往复运动。求杆BC 的速度和加速度。
第4章点的运动和刚体基本运动习题解答080814
第四章 点的运动和刚体基本运动 本章要点 一、点的运动 1 点运动位置的确定的三种方法 ⅰ）矢量法：)(t r r =； ⅱ）直角坐标法：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =； ⅲ）弧坐标法（轨迹已知）：)(t s s =. 2 点的速度与加速度的矢量表示 速度 t d d r v =， 加速度 22t d d t d d r v a ＝= . 3 点的速度与加速度的直角坐标表示 速度在各坐标轴上的投影为 t x v d d = x ， t y v d d =y ， t z v d d =z . 速度的大小和方向余弦为 ? ? ? ??===++=v v v v v v v v v v z y x 2z 2y 2x )，cos(，)，cos(，)，cos(k v j v i v 加速度在各坐标轴上的投影为 222222d d d d d d d d d d d d dt z t v a ，t y t v a ，t x t v a z z y y x x ====== 加速度的大小和方向余弦分别为 ? ? ? ??===++=a a a a a a a a a a z y x 2z 2y 2x )，cos(，)，cos(，)，cos(k a j a i a 4 点的速度与加速度的弧坐标表示 点的速度 τv t d s d = ， 切向加速度 ττa 22t d s d t d d ==v τ；
法向加速度 n a ρ v 2 n =， 其中τ为切线单位矢量，指向弧坐标增加的方向；n 表示主法线正向的单位矢量，指向曲率中心（即指向曲线凹的一方）。 全加速度为 n τa a a += 全加速度a 的大小和它与法线间夹角的正切分别为 2 n 2τa a a +=，()n τ tg a a = n a, 解题要领： 1 确定动点，根据题意是选择矢量法、直角坐标法还是弧坐标法，三种方法各有所长. 2 从点的运动方程出发求点的速度和加速度是对时间的求导运算；反之，也可以从加速度出发求速度和运动方程，或从速度出发求运动方程，这是积分运算，但结果都不唯一 ，积分常数需要用初始条件来确定。 3 从直角坐标形式的运动方程出发计算切向加速度、法向加速度、曲率半径、弧坐标的过程 点的速度：222z y x v v v v ++= ， 点的加速度： 2 22z y x a a a a ++=， 切向加速度： t d d t v = a ， 法向加速度：2 t 2n a a a -=， 曲率半径：n 2 a v =ρ， 弧坐标：?=t t v s 0d . 二、刚体的平移 刚体在运动过程中，其上任意一条直线始终平行于它的初始位置，刚体的这种运动称为平移。具有性质：刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度和加速度也相同。刚体的平移问题可以归结为点的运动问题. 三、刚体的定轴转动 1 刚体定轴转动的整体描述 转动方程 )(t ??=， 角速度 t d d ?ω= ， 角加速度 22t d d t d d ?ωα== . 匀速转动（ω为常量），则 t ω??+=0，
第二章 刚体的基本运动
第二章 刚体的基本运动 一、目的要求 1．明确刚体平行移动（平动）和刚体绕定轴转动的特征，能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。 2．对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要清晰的理解，熟知匀速和匀变速转动的定义与公式。 3．能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。 4．掌握传动比的概念及其公式的应用。 5．对角速度矢、角加速度矢以及用矢积表示定轴转动刚体上任一点的速度和加速度有初步了解。 二、基本内容 刚体的平动；刚体绕定轴转动；转动刚体内各点的速度和加速度；轮系的转动比；以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度。 （1）基本概念 刚体平动与定轴转动的定义，刚体在作这两种运动时刚体上各点速度、加速度的分布规律。 （2）主要公式 平动刚体上，任意两点之间均有 B A v v =，B A a a = 定轴转动刚体上任一点的速度和加速度为 ωr v =，ατr a =，2ωr a n =，22n a a a +=τ，n a a tg τ θ= 以矢积表示的刚体上一点的速度与加速度为 r v ?=ω v r a ?+?=ωα
三、重点和难点 1．重点 （1）刚体平动及其运动特征。 （2）刚体的定轴转动，转动方程，角速度与角加速度。 （3）转动刚体内各点的速度与加速度。 2．难点： 用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。 四、学习建议 （1）对刚体平动强调“三相同”。 （2）对刚体绕定轴转动的特征及其上点的速度，加速度分布规律要讲透，让学生熟练掌握已知刚体转动规律会求其上一点的运动规律，反之，已知转动刚体上一点的运动规律要会求其上各点的运动规律及整体的转动规律。 （3）对轮系传动比作一般介绍。 （4）对ω ，α 方向的确定要介绍练习，对速度和加速度用矢积表示只作一 般介绍以供推导公式用。
第六章刚体动力学_大学物理
第七章机械振动 刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系 刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律 刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理 掌握刚体的概念和刚体的基本运动 理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量 掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法 了解进动现象和基本描述 §6.1 刚体和自由度的概念 一. 力矩 力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体 运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因. 将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于 不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即 力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零. 讨论: (1)力对点的力矩. (2) 力对定轴力矩的矢量形式 力矩的方向由右螺旋法则确定. (3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.
例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图) 求摩擦力对y 轴的力矩. 解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如 图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为 则该线元的摩擦力对y轴的力矩为 积分得摩擦力对y轴的力矩为 注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如
理论力学---第4章点的运动和刚体基本运动习题解答
第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答 4-1 图示曲线规尺的杆长200==AB OA mm ，50====AE AC DE CD mm 。杆OA 绕O 轴转动的规律为t 5 π?= rad ，并且当运动开始时，角 0=?，求尺上D 点的运动方程和轨迹。 解： 已知t π?2.0=，故点D 的运动方程为 m m 2.0cos 200D t x π= m m 2.0sin 100D t y π= 消去时间t 得到点D 的轨迹方程为 11002002 222=+D D y x （椭圆） 4-2 图示AB 杆长l ，以t ω?=的规律绕B 点转动， ω为常量。而与杆连接的滑块B 以t b a s ωsin +=的规 律沿水平线作谐振动，a 、b 为常量。求A 点的轨迹。 解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系O xy , 则A 点位置坐标为?sin l s x += ，?cos l y -=，即 ()t l b a x ωsin ++= t l y ωcos -=. 消去时间t 得A 点轨迹方程为： 2 2 2 2()1()x a y b l l -+=+.（椭圆） 4-3 套筒A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑 轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A 的速度和加速度与距离x 的关系式。 解：设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ,到达图示位置 则 =++= +t v l x BC AB 022常量，将上式求导，得到管套 A 的速度和加速度为 2 20d d l x x v t x v A +-==， 32 20d d x l v t v a A A -==， 负号表示A A a v ,的实际方向与x 轴相反。 4-4 如图所示，半径为R 的圆形凸轮可绕O 轴转动，带动顶杆BC 作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A 点，偏心距e =OA ，t ω?=，其中ω为常量。试求顶杆上B 点的运动方程、速度和加速度。 解：以O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得 2222cos AB OA OB OA OB t ω=+-?? 其中OA=e ，AB=R ，设B y =OB 代入上式 题 4-1图 题4-2图 题4-3图
第6章刚体的基本运动习题
第6章 刚体的基本运动习题 1.是非题（对画√，错画×） 6-1.平移刚体上各点的轨迹一定是直线。（ ） 6-2.在每一瞬时刚体上各点的速度相等，刚体作平移运动。（ ） 6-3.某瞬时刚体有两点的速度相等，刚体作平移运动。（ ） 6-4.研究刚体的平移运动用点的运动学知识即可。（ ） 6-5.平移刚体上各点的轨迹形状相同，同一瞬时刚体上各点的速度相等，各点的速度相等。（ ） 6-6.刚体在运动的过程中，存在一条不动的直线，则刚体作定轴转动。 6-7.刚体作定轴转动时各点的速度大小与到转轴的距离成正比，各点的加速度大小与到转轴的距离成反比。 6-8.刚体作定轴转动时法向加速度ωr a n 2=。（ ） 6-9.齿轮传递时其角速度的比等于半径的正比。（ ） 6-10.刚体作定轴转动时角速度与角加速度同号时，刚体作加速转动。（ ） 2.简答题 6-11.刚体作匀速转动时，各点的加速度等于零吗？为什么？ 6-12.齿轮传递时，如图6-12所示，接触点的速度相等，加速度也相等吗？为什么？ 6-13.下列刚体作平移还是作定轴转动： （1）在直线轨道行驶的车箱。 （2）在弯道行驶的车箱。 （3）车床上旋转的飞轮。 （4）在地面滚动的圆轮。 6-14.如图所示，直角刚杆AO=1m ，BO=2m ，已知某瞬时A 点的速度V A =4m/s ，而B 点的加速度与BO 成α=45°，则该瞬时刚杆的角加速度α为多少？。 6-15.如图所示，鼓轮的角速度由下式 题6-14图 题6-15图
r x tan 1 -=? 求得， (dt d dt d ω==?r x tan 1-） 问此解法对吗？为什么？ 3.计算题 6-16.如图所示的机构中，已知O 1A=O 2B=AM=r=0.2m ，O 1O 2=AB ，轮O 1的运动方程为t π15=?（rad ），试求当s 50.t =时，杆AB 上的点M 的速度和加速度。 6-17.揉茶机的揉桶有三个曲柄支持，曲柄支座A 、B 、C 与支轴a 、b 、c 恰好组成等边三角形，如图所示。三个曲柄长相等，长为cm 15=l ，并以相同的转速r/min 45=n 分别绕其支座转动，试求揉桶中心点O 的速度和加速度。 题6-16图 题6-17图 6-18.如图所示，带有水平滑槽的套杆可沿固定板的铅锤导轨运动，从而带动销钉B 沿半径R =100mm 的圆弧滑槽运动。已知套杆以匀速度2=o v m/s 铅直向上运动，试求当y =100mm 时，线段OB 的角速度。
第6章刚体的基本运动
第6章 刚体的基本运动 在上一章的基础上本章的研究对象是刚体，学习的内容是刚体的平行移动和定轴转动，它构成刚体的两个基本运动，也是研究刚体复杂运动的基础。 6.1 刚体平行移动 工程实际中，如气缸内活塞的运动，打桩机上桩锤的运动等等，其共同的运动体点是在运动过程中，刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行，刚体的这种运动称为平行移动，简称平移。如图6-1所示车轮的平行推杆AB 在运动过程中始终与它初始位置相平行，因此推杆AB 作平移。 确定平移刚体的位置和运动状况，只需研究刚体上任意直线段AB ，A 、B 两点的矢径为A r 和B r ，A 、B 两点间的有向线段AB r 之间的关系为 AB B A r r r += （6-1） 图6-1 图6-2
由平动定义知AB r 为恒矢量，A 、B 两点的轨迹只相差AB r 的恒矢量，即A 、B 两点的轨迹形状相同。 式（6-1）对时间求导，得 B A v v = （6-2） B A a a = （6-3） 结论： （1）平移刚体上各点的轨迹形状相同； （2）在同一瞬时平移刚体上各点的速度相等，各点的加速度相等。 因此，刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究，即点的运动学。 6.2 刚体的定轴转动 工程实际中绕固定转动的物体很多，如飞论、电动机的转子、卷扬机的鼓轮、齿轮等均绕定轴转动。这些刚体的运动特点是：在运动过程中，刚体上存在一条不动的直线段，刚体的这种运动称为刚体的绕定轴转动，简称转动，转动刚体的不动的直线段称为刚体的转轴。 6.2.1转动刚体的运动描述 如图6-3所示，选定参考坐标系oxyz ，设z 轴与刚体的转轴重合，过z 轴作一个不动的平面0P （称为静平面），再作一个与刚体一起转动的平面P （称为动平面），令静平面0P 位于oxz 面上，初始瞬时这两个平面重合，当刚体转动到t 瞬时，两个平面间的夹角为?，?称为刚体的转角，用来描述转动刚体的代数量。按照右手螺旋法则规定转角?的符号，其单位为弧度（rad ）。 刚体定轴转动的运动方程是 f(t)=? （6-4） f(t)是时间t 的单值连续函数。
第8章 刚体的平面运动
安徽工程大学教师备课教案 本章节讲稿共6页教案8 第 1 页备课时间：2015年10月7日教师签名：汪太平
第8章刚体的平面运动 §8-1 刚体平面运动概述和运动分解 例：曲柄连杆机构中连杆的运动；行星齿轮机构中行星轮的运动。 1. 特点：在运动中，刚体上任意一点与某一固定平面的距离保持不变。 2. 平面图形：刚体在运动平面内的正投影。是运动学的简化模型。 3. 平面图形的运动方程 平面图形在其平面内位置的确定方法： 在平面内任意选择线段O'M ，其位置可由以下参数确定： 1) 线段上任一点O'''(,)O O x y ； 2) 线段与x 轴夹角φ。 则平面图形的运动方程可分为两部分： ''()()()''O O x x t y y t O t O ???=? ?? =??? =?随点的平移绕点的转动 定义：O'为基点。 4. 刚体平面运动的分解 动系O'x'y'固连于基点O'，则动系仅作平移运动，所以 刚体的平面运动＝随基点的平移＋绕基点的转动 1) 随基点的平移为牵连运动。（与基点的选择有关，因为平面运动刚体上各点 运动不同，基点不同，动系的平移运动不同，其速度和加速度不同。） 2) 绕基点的转动是相对于动系的相对运动。（与基点的选择无关，因为对于不 同的基点，刚体任一时刻的转角都相同、角速度相同、角加速度也相同。） §8-2 求平面图形内各点速度的基点法 1. 平面图形内任一点B 的绝对速度 等于基点A 的速度与B 点随图形绕基点转动速度的矢量和。 B A BA v v v AB AB ω=+ √√ ⊥大小？方向？ 基点A 的平移速度A v 沿AB 处处相等，相对速度BA v 沿AB 线性分布。 作速度平行四边形，由三角关系求解。共有六个要素，一般已知四个要素。
理论力学-刚体的平面运动
第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 （ ） 2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ） 3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 （ ） 4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ 永远成立。 （ ） 5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ） 6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 （ ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ） 二、选择题 1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为。 ①u B sin ； ②u B cos ； ③u B /sin ； ④u B /cos 。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度 0逆时针转动，则
齿轮Ⅰ对曲柄OA的相对角速度 1r应为 。 ① 1r=（r2/ r1） 0（逆钟向）； ② 1r=（r2/ r1） 0（顺钟向）； ③ 1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（逆钟向）； ④ 1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（顺钟向）。 3．一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶 点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图（b）所示，则 图（a）的运动是的，图（b）的运动是的。 ①可能； ②不可能； ③不确定。 4．图示机构中，O1A=O2B。若以 1、 1与 2、 2分别表示O1A杆与O2B杆的角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时，有。 ① 1= 2， 1= 2； ② 1≠ 2， 1= 2； ③ 1= 2， 1≠ 2； ④ 1≠ 2， 1≠ 2。
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
图 题46-第六章 刚体的基本运动 习题全解 [习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=?（?以rad 计，t 以s 计）。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解： 角速度： 2394)34(t t t dt d dt d -=-== ?ω 角加速度：t t dt d dt d 18)94(2-=-==ωα 速度： )94(2t r r v -==ω 切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度：222 22 )94()]94([t r r t r v a n -=-==ρ 加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+= 物体改变方向时，速度等于零。即： [习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。后因刹车，该点以 )/(1.02s m t a t =作减速运动。设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及 ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。 解： t dt d a t 1.04.022-===? ρα （作减速运动，角加速度为负） 02=C ，故运动方程为： 速度方程：1005.02 +-=t v 切向加速度：)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=?-=-== 法向加速度：222)25125.0(4.0+-?==t a n ρω [习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过５分钟 后，转子的角加速度为)/(600 s rad πω=。试求转子在这段时间内转了多少转？ 解：kt dt d ==ωα ππ?60000450 300|3300=?==s t ， 转数)30000260000N r （＝ π π [习题6-4] 图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆m OA 5.1=，在铅垂面内转动，杆m AB 8.0=，Ａ端为铰链，Ｂ端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为s m /05.0，ＡＢ杆始终铅垂。设运动开始时，角0=?。求运动过程中角?与时间的关系。并求点Ｂ的轨 迹方程。 解： ＯＡ作定轴转动；ＡＢ作刚体的平动。 01=C 故
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
第六章 刚体的基本运动 习题全解 [习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=?（?以rad 计，t 以s 计）。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解： 角速度： 2 394)34(t t t dt d dt d -=-==?ω 角加速度：t t dt d dt d 18)94(2 -=-== ωα 速度： )94(2t r r v -==ω )/(2)094(5.0|2 0s m r v t =?-?===ω )/(5.2)194(5.0|2 1s m v t -=?-?== 切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度：2 22 22 )94()] 94([t r r t r v a n -=-= =ρ 加速度： 4 222 2 2 2 2 2 )94(324] )94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-= += )/(8165.0)094(0324|2 4 2 2 0s m r a t =?=?-+?== )/(405.1581.305.0)194(1324|2 4 2 2 1s m r a t =?=?-+?== 物体改变方向时，速度等于零。即： 0)94(2 =-=t r v )(667.0)(3 2s s t == [习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。后因刹车，该点以 )/(1.02 s m t a t =作减速运动。设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及 ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。 解： t dt d a t 1.04.02 2 -===?ρα （作减速运动，角加速度为负） t dt d 25.022 -=? 12 125.0C t dt d +-=? 2130417.0C t C t ++-=? 12 124.005.0)125.0(4.0C t C t dt d R v +-=+-?==? 104.0005.0|12 0=+?-==C v t
大学物理之刚体的基本运动
五、刚体的定轴转动 程英豪 5-1 刚体运动的基本概念 一、刚体模型 刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。 （物体内任意两点的距离不变） 二、刚体的运动 平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方向始终不变（各点位移、速度、加速度均相同，可视为质点，刚体质心的 运动代表了刚体平动中每一质元的运动） 转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作圆周运动。 质心轴：通过质心的转动轴。 定轴转动：转轴固定不动的转动。 旋进(进动)：转轴上一点静止，转轴方向变化。 平面平行运动：刚体内所有运动点都平行于某一平面(参考平面)。刚体的一般运动：可以视为平动以及转动的合成。 三、转动惯性的量度（转动惯量） 1、转动惯量 定义： ∑? = i i i z r m I2 ——对z轴的转动惯量 连续分布有： ?=dm r I z 2
刚体的转动动能： 2 21ωz k I E = 转动惯量的物理意义：Iz 表示刚体转动时惯性的大小。 转动惯量Iz 的大小决定于： 1)刚体的质量：同形状的刚体，ρ越大，Iz 就越大； (2)质量的分布：质量相同，dm 分布在 r 越大的地方，则Iz 越大； (3)刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的Iz 。 2、、平行轴定理 2 md J J C +=——平行轴定理 3、薄板的垂直轴定理 z 轴与x 轴、y 轴两两垂直。
4、常见刚体的转动惯量 5-2 刚体定轴转动的运动学规律1、角量与线量之间的关系 对刚体上的质元 Pi ， 2、角速度矢量
5-3 刚体定轴转动的动力学规律 一、刚体定轴转动定律 dt d I M z z ω = （Mz ：总外力矩，各外力对转轴对z 轴的力矩代数和） Mz=0 时，刚体将保持静止或匀速(匀角速度)转动。 二、刚体定轴转动的动量矩定理 守恒定律 1.刚体定轴转动的动量矩 刚体对定轴 z 的动量矩： 2.刚体定轴转动的动量矩定理
刚体的基本运动
第三章 刚体力学 §3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动 §3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量 1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。 2.描述刚体位置的独立变数 描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。 刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。 二、刚体的运动分类 1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行. 任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动) 2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ 3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。可以用平行于固定平面的截面代表刚体。需要三个独立变量。 4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。需三个独立的欧拉角。 5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量 定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴. 刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ，则角速度定义为 0lim t d t dt ?→?== ?n n ω 角速度反映刚体转动的快慢。 线速度与角速度的关系： ,t d d d d =??∴= =r v r n r ωr Q
第八章 刚体的平面运动
第八章刚体的平面运动 教学目的及要求 1．明确刚体平面运动的特征，掌握研究平面运动的方法（运动的合成与分解），能够正确地判断机构中作平面运动的刚体。 2．能熟练地应用各种方法——基点法、瞬心法和速度投影定理求平面图形上任一点的速度。 3．能熟练地用基点法分析平面图形内一点的加速度。 4．会求解运动学综合问题中的速度，了解求加速度。 §8-1平面运动的基本概念 教学重点：1．平面运动及平面图形的概念 2．平面运动的分解 教学难点：对平面运动分解为平动和转动的理解 教学内容： 1．平面运动：在运动中，刚体上的任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。2．平面图形：刚体平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。证明平面图形的运动代表刚体的运动。 3．平面运动分解为平动和转动 平面图形S的运动可以分解为随着基点的平动和绕着基点的转动。平面运动分解为平动和转动时，其中平动部分的速度和加速度与基点选择有关。在同一瞬时，平面图形绕任何点的转动角速度（或角加速度），都相同，或者说，平面图形的角速度（或角加速度）与基点的选择无关，把它称为平面图形的角速度（或角加速度），而不必指出其基点何在。 §8-2平面图形内各点速度的基点法和投影法 教学重点：1．速度的基点法 2．速度的投影法 教学难点：速度基点法和投影法的应用 教学内容： 1．基点法（速度合成法） 平面图形内任一点的速度，等于基点速度（牵连速度）与该点绕基点转动速度（相对速度）的矢量和。即： 注意：符号的下标表示它是B点绕A点转动的速度，而的下标则表 示它是A点绕B点转动的速度。≠应注意两者的区分。 2．速度投影定理 平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影彼此相等。
《理论力学》第八章 刚体的平面运动习题解
第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点 的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 22021 0C +?=α 02=C 22 1t α?=
2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：