最新向量法证明线面平行及垂直问题教案
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龙文学校个性化辅导教案提纲 教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段
一、授课目的与考点分析：向量法证明线面平行及垂直
掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离．
二、授课内容及过程：
考点1.利用空间向量证明空间垂直问题
例1:已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12
AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ；
证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空
间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,
12），N （12,0,0），S （1,12,0）111(1,1,),(,,0)222
CM SN =-=--, 因为110022
CM SN ?=-++=， 所以CM ⊥SN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通
过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.
例2:在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA = 1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得
(0,2,0)D ,(1,2,1)F , 1(0,0,4)A ,31,,02E ?? ???
已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ?
?=-- ???,11,,02ED ??=- ??
?于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ?=
所以AF ⊥平面1A ED
【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可. 例3：在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.求证：平面EFG ⊥平面PDC .
解析：以A 为原点，向量DA ,AB ,AM 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，如
图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C (－2,2,0),D(－
2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,12
),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， ∴EG =(-1,0,12
),GF =(－1,0,0),设平面EFG 的法向量m =（x ，y ，z ），则 EG ?m =12x z -+
=0且GF ?m =x -=0，取y =1，则x =z =0，∴m =（0，1,0）, 易证面PDC 的法向量为DA =(2,0,0), ∵DA ?m =200100?+?+?=0,
∴m ⊥DA , ∴平面EFG ⊥平面PDC
【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.
考点2.利用空间向量处理空间平行关系
例4:在正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱1DD 的中点。在棱11C D 上是否存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ?证明你的结论。
解析：以A 为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则
B(2,0,0),E(0,2,1),1A (0,0,2),1B (2,0,2)，∴BE =(－2,2,1),1BA =（－2，0，2），
设面1BEA 的法向量为m =（x ，y ，z ），则
BE ?m =22x y z -++=0且1BA ?m =22x z +=0，取x =1，则z =－1，y =32
， ∴m =（1，32
，－1）,假设在棱11C D 上存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ， 设F(0x ，2，2)（0≤0x ≤2）,则BF =（02x -，2，2）， 则BF ?m =031(2)2(1)22
x ?-+
?+-?=0， 解得0x =1， ∴当F 为11C D 中点时，1B F ∥平面1A BE .
【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.
例5在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，在底面ABC 中ABC ∠=090,D 是BC 上一点，且1A B ∥面1AC D ，1D 为11B C 的中点，求证：面11A BD ∥面1AC D .
龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校 解析：以B 点为原点，如图建立坐标系，设AB=a ，BC=2b ，1BB =c ，则A （a ,0,0），
1C (0，2b ，c )，1B (0,0, c )，1A (a ，0，c )， ∴1D (0，b ，c )，设D(0，0y ，
0)（0≤0y ≤2b ），∴AD =(－a ，0y ，0)，1AC =(－a ，2b ，c )，
1BA =(a ，0，c )，1BD =（0，b ，c ）
，设面1AC D 的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，则AD ?m =101ax y y -+=0且1AC ?m =1112ax by cz -++=0，取1y =a ，则1x =0y ，
1z =
02ay ab c -，则m =（0y ，a ，02ay ab c
-）， 又∵1A B ∥面1AC D ， ∴1BA ?m =002ay ab ay c c -+?
=0，解得0y =b ， ∴m =（b ，a ，ab c -），
设面11A BD 的法向量为n =(2x ,2y ,2z ),则1BA ?n =22ax cz +=0且1BD ?n =22by cz +=0，
取2z =1，则2x =c a -
，2y =c b -，则n =(c a -，c b -，1)，
∴n =c ab
-m ， ∴m ∥n ， ∴面11A BD ∥面1AC D . 【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.
六、本次作业及点评：
课后练习
四、学生对本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：______________
五、教师评定：
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
教师签字：_______________
线面垂直判定经典证明题
线面垂直判定 1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。 求证：PA⊥平面ABC。 ] 2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。 求证：PA⊥BC。 ' 3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。 求证：VB⊥AC | 4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。 求证：BD⊥平面AEGC 5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB, 求证：BC⊥平面PAC ;
6、如图，AD ⊥BD, AD ⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60° 求证： BD ⊥平面ADC : 7、.如图所示，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面PAD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 《 . 8、已知：如图，P 是棱形ABCD 所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC PBD 平面 ： A D ~ C B P
9、已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。 （1）求证：⊥AE 平面BCD ; （2）求证：BC AD ⊥; \ 10、三棱锥A-BCD 中，AB=1，BC=2，BD=AC=3 AD=2，求证：AB ⊥平面BCD > ! 11、 在四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形 求证：AC ⊥平面SBD > ? 12、 如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，求证：AB ⊥平面ADE ； · C B A E D A B
线面平行与垂直的证明题
线面平行与垂直的证明1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求证：AC⊥平面B1BDD1； （2）求三棱锥B-ACB1体积． 2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE． D1 C1 B1 A1 C D B A
3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，2 1 AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD . 4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF .
5：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是P C的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD； 6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且 AM=FN. C
求证：MN ‖平面BCE. 7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1；
8：如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点， 求证：(1) FD∥平面ABC (2) AF⊥平面EDB. 9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点， （1）求证：平面A B1D1∥平面EFG; （2）求证：平面AA1C⊥面EFG.
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )
用法向量求二面角和证明两平面垂直
用法向量求二面角和证明两平面垂直 用法向量证明两平面垂直问题 要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明这两个法向量相互垂直。 例1.如右图，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ， BD ∥CE ，且CE=CA=2BD ，M 是EA 的中点。 求证：（1）DE=DA ； （2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA ； 分析（3）：建立如图所示右手直角坐标系 ，不妨设CA=2， 则CE=2，BD=1，C （0，0，0），A （3，1，0），B （0，2，0），E （0，0，2），D （0，2，1），( ) 2,1,3-= EA ，()2,0,0=CE ，()1,2,0-=ED ， 分 别假设面CEA 与面DEA 的法向量是()1111,,z y x n =、()3222,,z y x n =，所以得 11111113203200x y z y x z z ??+-==???? ?==????，22222 2222 3203202x y z x y y z z y ??+-==?????-==???? 不妨取() 0,3,11-=n 、()2,1,32=n ，从而计算得02 1 =?n n ，所以两个法向量相互 垂直，两个平就相互垂直。 用法向量求二面角 如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与 2n 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。 例2、如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=a ，AD=3a ，sin ∠ADC= 5 5 ，且PA ⊥平面ABCD ，PA=a ，求二面角P-CD-A 的平面角的余弦值。 分析：依题意，先过C 点CE ⊥AD ，计算得ED=2a ，BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P （0，0，a ）,D(0,3a,0)， C(a,a,0), () a a PD -=,3,0, () a a a PC -=,,, ()0,3,0a AD =,()0,,a a AC = 取平面ACD 的一个法向量()1,0,01=n ，设平面PCD 的法 z y x E A D B P C z y x M C B A E D
高中数学立体几何线面垂直的证明
立体几何证明 【知识梳理】 1. 直线与平面平行 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线平行”） 2.．直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直?线面垂直”） 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （线面垂直?线线垂直） 性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 1. 平面与平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行?面面平行”） 2. 两个平面垂直 判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直?面面垂直”） 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直?线面垂直）
知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。 （1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证： 平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V. 2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的 中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V . 3、如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明： （1）AE ⊥CD （2）PD ⊥平面ABE ．
(完整版)线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊 立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。 例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析： 如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线 例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。 方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已 知平面平行的平面 例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 如图⑷ 如图⑸ 如图⑹ E B A D C G F F y C B E D A S z _ M _ D _ A B _ O E P E D C B O A B C D E F N M
例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC . 方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 （或找空间一组基底）及平面的法向量。 例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ； 分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ???? ? ????? ，，，，，， 02b EF a ??=- ?? ?u u u r ，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向 量为n r =（0，1，0） 则：02b EF n a ??=- ?? ?u u u r r g g ，，（0，1，0）=0 因此 EF n ⊥u u u r r 所以EF ∥平面SAD ．
线线平行线面平行面面平行的练习题
线线平行、线面平行、面面平行部分的练习题 1．如图2-3-3所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB ∥α.求证：ＣＤ∥EF. 2.已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b ， 求证//a b ． 3. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证：MN //平面BCE 4．如图2-3-7所示，正三棱柱ABC —A1B1C1中，D 是BC 的中点，试判断A1B 与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论. 5．、已知⊥PA 矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN//平面PAD. 6.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；（2）面AMN ∥面EFBD. 7．已知在正方体ABCD －1111D C B A 中，M 、N 分别是11D A 、11B A 的中点，在该正方体中作出与平面AMN 平行的平面，并证 明你的结论。
8．已知点 是△ 所在平面外一点，点 ， ， 分 别是△ ，△ ，△ 的重心，求证：平面 平 面 ． 9. 已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′： S △ABC . . 10. 如图所示11 1 ABC A B C -中，平面ABC//平面A 1B 1C 1 ， 若D 是棱1 CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使 11//C AB DE 证明你的结论 答案与提示： 1.证明：∵AB β,AB α,又∵AB ∥α,α∩β =CD,∴AB ∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴ＣＤ∥ＥＦ. 2. 证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ， ∵a ∥平面α，a ∥平面β， ∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ?平面β，c ?平面β， ∴c ∥平面β， d c b a δ γ β α
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .
§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系
§3.2立体几何中的向量方法(二) ——空间向量与垂直关系 课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 1．空间垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直 设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______ 设直线l的方向向量是a＝ (a1，b1，c1)，平面α的法向量 u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α? ________ 若平面α的法向量u＝(a1，b1 ， c1)，平面β的法向量为v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β? ________ 线线垂直线面垂直面面垂直 ①证明两直线的方向向量的数 量积为______． ①证明直线的方向向量与平面的法向 量是______． ①证明两 个平面的 法向量 _________ ___． ②证明两直线所成角为 ______. ②证明直线与平面内的相交直线 ________. ②证明二 面角的平 面角为 ________._ _______. 一、选择题 1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于() A．1B．2C．3D．4 2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是() A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥α C．l?αD．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定 5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．不确定 6. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系 是( ) A ．平行 B ．相交 C ．相交且垂直 D ．以上都不是 二、填空题 7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______. 8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中： ①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题 10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱 CC 1上的点，且CN ＝1 4 CC 1.求证：AB 1⊥MN . 11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.
立体几何线面、面面平行的证明
Q D C B A P C 1 B 1 A 1D 1 D C B A D A 1 C 1 C B 1 B 理科数学复习专题 立体几何 线面平行与面面平行专题复习 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1. a 、b 、c 是直线，,,αβγ是平面，下列命题正确的是_____________ α αβ βααβαβαγαγββααα////a ,//a //a //,//a ////a ,//a ////,////a //,//a //a //,//a b b b b c c b b 则⑥则⑤则④则③则②则① 归纳：_______________________________________ 题型二 线面平行的判定 1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E 、F 分别是ＰＢ，ＰＣ的中点，求证：EF 归纳： 3、在正方体中，Ｅ，Ｆ分别为C1D1和BC 的中点， 求证： FE 1111111//. ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面11111111111,,:(1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证平面为的中点，求证：平面平面111ABC A B C -AB AC =,,M N P 11,,BC CC BB 1//A N AMP
【综合练习】 一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的（ ） (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交 2、已知a b ||,αα?，则必有（ ） ()||(),A a b B a b 异面 (),C a b 相交 (),D a b 平行或异面 3、若直线a,b 都与平面?平行，则a 和b 的位置关系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交或是异面直线 4.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的 ( ) A ．①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤ 5．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 6. 以下命题（其中a ，b 表示直线，?表示平面） ①若a ∥b ，b ??，则a ∥? ②若a ∥?，b ∥?，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥?，则a ∥? ④若a ∥?，b ??，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） 个 个 个 个 二、解答题 1．如图，E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点， 求证：1//A E 平面1BDC ； 2、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=1，点E 是PC 的中点，作EF PB 交PB 于点
怎么证明面面垂直
怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB 在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD 垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法
A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线） 看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行） 例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点． （1）求证：//PA 平面MBD ； （2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． 例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 二：线面垂直的证明方法： 通过线线垂直，证明线面垂直 1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂 直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直； 4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C
线面平行证明常用方法
线面平行证明的常用方法 方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平 行线使它们与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。 （08浙江卷）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=?90,AD=3,EF=2。求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG 可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形， 所以AD EG ∥，从而四边形ADGE 故AE DG ∥． 因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ． 方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点, 使得所作平面与已知平面的交线。 （06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC . 分析：由D 、P 、B 三点的平面与已知平面AEC 的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线. 证明：连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB. 又 PB ?平面 AEC ，EO ?平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.
方法三：两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行, 关键：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面 （０８安徽卷）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：M 为OA 的中点,找OA(或AD)中点,再连线。 证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖ 又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖
高中立体几何证明线面平行的常见方法
D E B 1 A 1 C 1 C A B M 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证： AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P ABCD 底面是直角梯形, E F B A C D P （第
,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC A B C D E F G M
P E D C B A 的中点. 求证：AB 12 1中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、 BD 上的点，且SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面，90BCA ∠=o ，PB=BC=CA ， 为的中点，为的中点，点在上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面； （2）求证：//CM 平面；
如何证明线面垂直
如何证明线面垂直∵PA⊥平面α，直线L∈平面α ∴PA⊥L========================① ∵PB⊥平面β，直线L∈平面β ∴PB⊥L========================② 综合①②得： 直线L⊥平面PAB(垂直于平面两条相交直线的直线垂直于这个平面) ∴L⊥AB(垂直于平面的直线垂直于平面内的任一直线) 线面垂直的判定定理证明，我一直觉得证明过程太过复杂。前年曾经这样证明，今天写在这里。m和n为平面中两条相交直线，通过平移或者说原本就在，使得l经过m、n的交点O，我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD，则得到平行四边形ABCD。此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g。 答案补充 证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF，分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则⊿OED ≌⊿ OFB (SAS) 延长DE、BF分别交 L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC(ASA)(注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等)。所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC(SAS)所以AD=CB 因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB 所以⊿MAD≌⊿MCD(SSS)所以角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF(SAS) 所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF(SSS)，所以角MOE=角MOF 又因为角MOE与角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
高中立体几何证明线面平行的常见方法
D A 1 A F 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、 BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE （第1题图） A B C D E F G M
6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； （3） 利用平行四边形的性质 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为 BB 1的中点，求证： D 1O//平面A 1BC 1; 8、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2 1 DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且 SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1 ）求证：BE ⊥ 平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；
用向量方法证明直线垂直,求两直线夹角
3.2．2用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 学习目标： 1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算 2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角 3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题 复习回顾 1、 向量数量积的运算及其性质？ 2、 向量夹角与线线夹角的联系与区别？ 3、 如何求向量的夹角？ 一、课前达标： 1、异面直线所成的角： 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示）， 则 .||||| |cos b a b a ??=θ 2、预习检测 （1）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证EF ⊥DA 1 . （2）如图，在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′中，E `1 、F 1分别是A 1B `1、C 1D 1的四等分点，求BE 1与DF 1所成的角．
二、典例分析： 1、建立坐标系证明线线垂直，求夹角 例3 在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值；⑶求FH 的长。 注意思考： （1） 如何建立坐标系、把已知条件转化为向量表示？ （2） 如何对已经表示出来的向量进行运算才可获得所需结论？ 巩固练习：练习A 1 练习B 1 2、选取基向量求解线线夹角：例4、（见课本100页） O -A B C ,O A =4,O B =5,O C =3; A O B =B O C = C O A =90,M ,N O A ,B C M N ,B C ∠∠∠三棱锥分别是中点，求直线所成角 注意：基向量的选取；如何用基向量来表示未知向量。 巩固练习：练习B 3 三：作业：如下图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.
线面垂直的证明及应用(含答案)
线面垂直的证明及应用 一、单选题(共10道，每道10分) 1.若为平面，为直线，则下列选项中能得到的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定 2.如图，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，则图中一定与AC垂直的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
3.如图，在三棱柱中，底面是正三角形，且侧棱，若E是BC的中点，则下列叙述正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质 4.在长方体中，已知AB=BC=1，，E是侧棱的中点，则直线 AE与平面所成角的大小为( ) A.60° B.90° C.45° D.以上都不正确
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质 5.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，且SD⊥底面ABCD，则下列结论不正确的是( ) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.AC⊥平面SBD D.AB与SC所成的角等于CD与SA所成的角 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质 6.如图，在正方体中，O是底面ABCD的中心，，H为垂足，则与平面的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.斜交 D.以上都不对 答案：A
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定 7.如图，在等边三角形ABC中，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点，现将△ACD 沿CD折起，使平面ACD⊥平面BCD，则下列结论中不正确的是( ) A.AB∥平面DEF B.CD⊥平面ABD C.EF⊥平面ACD D. 答案：C