函数新定义问题
函数新定义问题
历年高考新定义函数问题
一、 利用函数性质解决函数新定义问题
1．（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ??=???x x 为有理数为无理数
,则下列结论错误的是
（ ）
A ．()D x 的值域为{}0,1
B ．()D x 是偶函数
C ．()
D x 不是周期函数
D ．()D x 不是单调函数
1【答案】C
【解析】A,B.D 均正确,C 错误.
【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键.
2．（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:2
2,*,a ab a b b ab ?-?=??-?a b
a b
≤>,
设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等
的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.
2【解析】由定义运算“*”可知
22
2
2112()0(21)(21)(1),21148
()=11(1)(21)(1),211()0
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x x x x x x x f x x x x x x x x ?--≤??-----≤-??=??------???--+??，＞＞,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是
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-（）.
二、 利用数形结合解决函数新定义问题
1.【2015高考天津，理8】已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取
值范围是( )
（A ）7
,4??+∞ ??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ??? （D ）7,24?? ???
【答案】D
【解析】由()()2
2,2,2,2,x x f x x x -≤??=?->??得222,0
(2),0x x f x x x --≥??-=?
()(2)42,
0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ?-+
=+-=---≤≤??--+->?
， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+
=+-=≤≤??-+>?
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程
()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知
7
24
b <<.
【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.
【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.
2.【2015高考四川，理15】已知函数x x f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）.对于不相等的实数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=
，2
121)
()(x x x g x g n --=.现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；
（2）对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =； （4）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=. 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）. 【答案】①④ 【解析】
设11221122(,()),(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x g x D x g x .
对（1），从2x y =的图象可看出，0AB m k =>恒成立，故正确.对（2），直线CD 的斜率可为负，即0n <，故不正确.
对（3），由m =n 得1212()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x -=-. 令2()()()2x h x f x g x x ax =-=--，则()2ln 22x h x x a '=--.
由()0h x '=得：2ln 22x x a =+，作出2ln 2,2x y y x a ==+的图象知，方程
2ln 22x x a =+不一定有解，所以()h x 不一定有极值点，即对于任意的a ，不一定存在
不相等的实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即不一定存在不相等的实数21,x x ，使得n m =.故不正确.
对（4），由m =－n 得1221()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x +=+. 令2()()()2x h x f x g x x ax =+=++，则()2ln 22x h x x a '=++.
由()0h x '=得：2ln 22x x a =--，作出2ln 2,2x y y x a ==--的图象知，方程
2ln 22x x a =--必一定有解，所以()h x 一定有极值点，即对于任意的a ，一定存在不
相等的实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即一定存在不相等的实数21,x x ，使得m n =-.故正确. 所以（1）（4）
【考点定位】函数与不等式的综合应用.
【名师点睛】四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.
3．（2013年高考湖北卷（文8））x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数
()[]f x x x =-在R 上为
（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．增函数
D ．周期函数
【答案】D
【命题立意】本题考查函数的性质与判断。在12x ≤<时，()1f x x =-，在23x ≤<时，
()2f x x =-，在34x ≤<时，()3f x x =-。在1n x n ≤<+时，()f x x n =- 。画出图象
由图象可知函数没有奇偶性,在[n,n+1)上单调递增，是周期函数，周期是1.选D.