圆柱和圆锥的侧面展开图
例 （1）若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是
2cm ______.
（2）若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度. 分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用lR S 2
1
=
扇求得2cm 15π，
（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.
例 一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.
分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l ，底面半径r .由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOA Rt ?，且,,,10r OA l SA SO ===关键找出l 与r 的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系
,22
2l l
ππ=，即r l 2=. 解：设圆锥底面半径r ，扇形弧长为C ，母线长为l ， 由题意得,2
2l
C π=
又.2r C π= ,22
2l l
ππ=∴
得r l 2= ① 在SOA Rt ?中，2
2
2
10+=r l ② 由①、②得：cm.2
3
20cm,2310==
l r ∴所求圆锥的侧面积为
)cm (3
200332033102πππ=??
==rl S
例 圆锥的轴截面是等腰PAB ?，EG ,2,3===AB PB PA M 是AB 上一点，且
2=PM ，那么在锥面上A 、M 两点间的最短距离是多少？
分析：设圆锥的侧面展开图是扇形,B PB 'A 点落在A '点，则所求A '、M 之间的最短距离就是侧面展开图中线段A 'M 的长度.
解：如图，扇形的圆心角.1203
1
360360οοο
=?=?
=l r ο60='∠∴PB A ，在PM A '?中，过A '作PM N A ⊥'于
N ，则,5.12
1
='=
A P PN ,32
3
5.1322=
-='∴N A MN
A Rt '?中
，
.74
1
42722=+=
+'='MN N A M A
典型例题八
例 已知一个三角形的边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ， 求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．
略解：如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3， ∵AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°． （1）当以AC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为3，母线长为5的圆锥．
π=+??π=+=24)35(3S S S 侧底全（cm 2）．
（2）当以BC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．
π
=+??π=+=36)45(4S S S 侧底全（cm 2）．
（3）当以AB 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的
两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3． 圆锥的底面半径=
512
543=
? π=??π+??π=+=5
84
35124512S S S 2
1侧侧全（cm 2）
． 说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．
典型例题九
例 一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．
解：设圆锥的母线SA=l ，底面半径为r ，
则底边周长c=2πr ，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径为l ，它的中心角为α，则 c=
πα
180
l ， 又△ASB 为等腰直角三角形，∴l =2r ． ∴
r 2r 2180
π=?πα
，∴?=α)2180(． 说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的
34
5
A
B
C 34
5
A
B
C
D
长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．
典型例题十
例矩形的边
，
，以
为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是（）
（A）（B）（C）（D）
分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱
的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与
圆柱的高（母线）的积，解之选（C ）.
典型例题十二
例 一个圆锥的底面半径为10cm ，母线长20cm ，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.
解 （1）).cm (3002001002
2
πππππ=+=+=rl r S 圆锥表
（2）如图，OS 为圆锥的高，在Rt OSA ?中，31010202222=-=-=AS OA OS （cm ）.
（3）设轴与一条母线所夹的角为α，在Rt OSA ?中，
.30,2
1
sin ?=∴==
ααOA AS （4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为β，则由180
2l
r βππ=
得?=180β，
∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.
说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.
典型例题十三
例 一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：
π取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）
解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，表面积为S .
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得.102
2
2
=+l l ∴25=l （负值已舍）.
又 )cm (19.189)525(514.3)(,5102
1
2≈+??=+=∴=?=
r l r S r π 则.0.47398.47219.1895.2≈=?
答 至少要油漆473.0克.
说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.
例 （1）如果圆柱底面半径为4cm ，它的侧面积为2
cm 64π，那么圆柱的母线长为（ ）. （A ）16cm （B ）16πcm （C ）8cm （D ）8πcm
（2）如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为10cm ，那么圆柱的侧面积为（ ） （A ）302
cm π （B ）602
cm π （C ）902
cm π （D ）1202
cm π
分析 圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm ，故选（C ），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B ）.
典型例题二
例 已知矩形ABCD 一边AB=10cm ，AD=6 cm ，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．
解：（1）以AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=
π
5
则圆柱表面积为π
+
=π
?π?+=5060)5(260S 2
． （2）以AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π
3 则圆柱表面积为π
+
=π
?π?+=1860)3(260S 2
． 说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．
典型例题五
例 已知矩形ABCD 一边AB=10cm ，AD=6 cm ，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．
解：（1）以AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π
5
则圆柱表面积为π
+
=π
?π?+=5060)5(260S 2
． （2）以AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π
3 则圆柱表面积为π
+
=π
?π?+=1860)3(260S 2
． 说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．
典型例题九
例 一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．
解：设圆锥的母线SA=l ，底面半径为r ，
则底边周长c=2πr ，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径为l ，它的中心角为α，则 c=
πα
180
l ， 又△ASB 为等腰直角三角形，∴l =2r ．
∴r 2r 2180
π=?πα，∴?=α)2180(． 说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．
典型例题七
例 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积．
解：∵扇形的半径为18cm ，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=π=?π?2418018
240
∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm ，底面半径=12224=π
π
cm ∴圆锥的高为56121822=-（cm ），
∴圆锥的轴截面积S=
57256242
1
=??（cm 2） 说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．
典型例题六
例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形，求它们侧面积． 解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm 2
∴圆柱的高为4cm ，圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm ．
∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm 2．
说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．
典型例题一
例 矩形的边
，
，以
为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是（）
（A）（B）（C）（D）
分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱
的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与
圆柱的高（母线）的积，解之选（C ）.
典型例题七
例 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积．
解：∵扇形的半径为18cm ，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=π=?π?2418018
240
∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm ，底面半径=12224=π
π
cm ∴圆锥的高为56121822=-（cm ）， ∴圆锥的轴截面积S=
57256242
1
=??（cm 2） 说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．
典型例题四
例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形，求它们侧面积． 解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm 2
∴圆柱的高为4cm ，圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm ．
∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm 2．
说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．
典型例题五
例 （1）若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是
2cm ______.
（2）若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度. 分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用lR S 2
1
=扇求得2cm 15π，
（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.
典型例题十一
例 已知：斜边
，以直线为轴旋转一周得一表面积为的圆锥，则这个圆锥的高等于 .
分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.
此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为
的长，关键在于求底面半径
，不妨设
，则，即可求出，解之得高＝12cm.
典型例题八
例 已知一个三角形的边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ， 求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．
略解：如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3， ∵AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°． （1）当以AC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为3，母线长为5的圆锥．
π=+??π=+=24)35(3S S S 侧底全（cm 2）．
（2）当以BC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．
π
=+??π=+=36)45(4S S S 侧底全（cm 2）．
（3）当以AB 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的
两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3． 圆锥的底面半径=
512
543=
? π=??π+??π=+=5
84
35124512S S S 2
1侧侧全（cm 2）
． 说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．
典型例题六
例 一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.
分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l ，底面半径r .由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOA Rt ?，且,,,10r OA l SA SO ===关键找出l 与r 的关系，
又其侧面展开图是34
5
A
B
C 34
5
A
B
C
D
半圆，可得关系
,22
2l l
ππ=，即r l 2=. 解：设圆锥底面半径r ，扇形弧长为C ，母线长为l ， 由题意得,2
2l
C π=
又.2r C π= ,22
2l l
ππ=∴
得r l 2= ① 在SOA Rt ?中，2
2
2
10+=r l ② 由①、②得：cm.2
3
20cm,2310==
l r ∴所求圆锥的侧面积为
)cm (3
200332033102πππ=??
==rl S
典型例题十
例 已知：斜边
，以直线为轴旋转一周得一表面积为的圆锥，则这个圆锥的高等于 .
分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.
此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为
的长，关键在于求底面半径
，不妨设