形考作业1答案(高等数学基础电大形考作业一)

高等数学基础形考作业1答案：

第1章 函数 第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2

)(x x f =

，x x g =)(

C. 3

ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1

1)(2

--=

x x x g

分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同

A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等；

B 、()f x x =

=，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；

C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等

D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；2

1()11

x g x x x -==+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠

定义域不同，所以两函数不等。 故选C

⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称

偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1

y f

x -=关于y x =

对称，

奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称

设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称

故选C

⒊下列函数中为奇函数是（B ）．

A. )1ln(2x y +=

B. x x y cos =

C. 2

x

x

a

a y -+= D. )1ln(x y +=

分析：A 、()()()()2

2ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数

B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数

C 、()()2

x

x

a

a y x y x -+-=

=，所以为偶函数

D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数 故选B

⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -=

C. 2

x

y = D. ??

?≥<-=0

,

10,

1x x y

分析：六种基本初等函数

（1） y c =（常值）———常值函数

（2） ,y x αα=为常数——幂函数 （3） ()0,1x

y a

a a =>≠———指数函数

（4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数

（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数

（6） [][]sin ,1,1,

cos ,1,1,

tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x

=-=-==——反三角函数

分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对

对照比较选C

⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A. 12

lim 2

2

=+∞

→x x

x B. 0)1ln(lim 0

=+→x x

C. 0sin lim

=∞

→x

x x D. 01sin

lim =∞

→x

x x

分析：A 、已知()1lim

00n

x n x

→∞

=>

22

2

22

2

2

2

11lim

lim

lim

1222

10

1x x x x

x

x x x x

x

x

→∞

→∞

→∞

===

=+++

+

B 、0

lim ln(1)ln(10)0x x →+=+=

初等函数在期定义域内是连续的 C 、sin 1lim

lim sin 0x x x x x

x

→∞

→∞

==

x →∞时，1x

是无穷小量，sin x 是有界函数，

无穷小量×有界函数仍是无穷小量

D 、1

sin 1lim sin

lim

1x x x x x

x

→∞

→∞

=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →==

故选D

⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A.

x

x sin B.

x

1

C. x

x 1sin D. 2)ln(+x

分析；()lim 0x a

f x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量

A 、0

sin lim 1x x x →=，重要极限

B 、0

1lim

x x

→=∞，无穷大量 C 、0

1lim sin

0x x x

→=，无穷小量x ×有界函数1sin

x

仍为无穷小量

D 、()0

lim ln(2)=ln 0+2ln 2x x →+=

故选C

⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00

x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义

C. )()(lim 00

x f x f x x =+

→ D. )(lim )(lim 0

x f x f x x x x -

+

→→=

分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即()()0

0lim x x f x f x →=

连续的充分必要条件()()()()()0

0000lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x f x →→+

→-

=?==

故选A

（二）填空题

⒈函数)1ln(3

9)(2

x x x x f ++--=

的定义域是 }3|{>x x ．

分析：求定义域一般遵循的原则

（1） 偶次根号下的量0≥

（2） 分母的值不等于0

（3） 对数符号下量（真值）为正

（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1

（5） 正切符号内的量不能取()0,1,22

k k π

π±=

然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域 )1ln(3

9)(2

x x x x f ++--=

要求

2903010

x x x ?-≥?

-≠??+>?

得33

3

1x x x x ≥≤-??≠??>?或－

定义域为 {}|3x x > ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x x -2 ． 分析：法一，令1t x =+得1x t =-

则()()2

2

()11f t t t t t =-+-=-则()2

f x x x =-

法二，()()(1)(1)111f x x x x x +=+=+-+所以()()1f t t t =-

⒊=+

∞

→x

x x

)

211(lim 21

e ．

分析：重要极限1lim 1x

x e x →∞?

?+= ??

?，等价式()1

0lim 1x x x e →+=

推广()lim x a

f x →=∞则()

()

1lim (1)

f x x a

e f x →+

=

()l i m 0x a

f x →=

则()()

1

lim (1)

f x x a

f x e →+=

11

22

211lim (1)lim (1)

22x x

x x e x

x

?

→∞

→∞

+

=+

=

⒋若函数???

??

≥+<+=0

,

0,

)1()(1

x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．

分析：分段函数在分段点0x 处连续()()()000lim lim x x x x f x f x f x →+

→-

?==

()()()()001

00lim lim 0lim lim 1x x x x x f x x k k k

f x x e

→+

→+

→-

→-

=+=+==+= 所以k e =

⒌函数??

?≤>+=0

,

sin 0,1x x x x y 的间断点是 0x =(为第一类间断点)．

分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点

初等函数在其定义域范围内都是连续的

分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）

()()()0000lim lim 1011

lim lim sin 0

x x x x f x x f x x →+

→+→-

→-

=+=+===不等，所以0x =为其间断点

⒍若A x f x x =→)(lim 0

，则当0x x →时，A x f -)(称为无穷小量 ．

分析：0

lim (())lim ()lim 0x x x x x x f x A f x A A A →→→-=-=-=

所以A x f -)(为0x x →时的无穷小量

（三）计算题

⒈设函数

??

?≤>=0

,

0,

e )(x x x x

f x

求：)1(,)0(,)2(f f f -．

解：()22f -=-，()00f =，()1

1f e e ==

⒉求函数21lg

x y x

-=的定义域．

解：21lg x y x -=有意义，要求21

x x x -?>????≠??

解得1020

x x x ???

>

则定义域为1|02x x x ?

?<>

???

?

或 ⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：

设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R （其中，AB 为梯形上底，下底CD 与半园直径重合，O 为园心，E 为AB 中点）

直角三角形AOE 中，利用勾股定理得

AE =

=

则上底AB

＝2AE =

故(

(22

h

S R h R =

+=+

⒋求x

x x 2sin 3sin lim

→． （第4，5，6，7，9的极限还可用洛贝塔法则做）

解：0

sin 3sin 33sin 3333lim

lim

lim sin 2sin 2sin 22222x x x x

x

x

x x x x x x

x

x

x

→→→?==??＝133122?=

⒌求)

1sin(1lim

2

1

+--→x x x ．

解：2

1

1

1

1(1)(1)111lim

lim

lim

2sin(1)sin(1)

sin(1)

1

1

x x x x x x x x x x x →-→-→---+---===

=-++++

⒍求x x x 3tan lim

→．

解：0

0tan 3sin 31sin 311lim

lim

lim 3133cos 33cos 31

x x x x x x x

x

x x x →→→==??=??=

⒎求x

x

x sin 1

1lim

2

-+→．

解：2

11)

lim

lim

lim

sin x x x x

x

→→→--+==

()0

lim

0sin 111

1)

x x

x x

→==

=+?

⒏求x

x x x )3

1(

lim +-∞

→．

解：1

14

3

3

3111

1(1)

[(1)

]

1lim (

)lim (

)lim

lim 3

3

3

11(1)[(1)]

3

x

x x

x

x

x x x x x x e

x x x e

x e

x

x x

----→∞

→∞→∞→∞-

-

+

--====

=++

++

⒐求4

586lim

2

2

4

+-+-→x x x x x ．

解：()()()()

2

2

4

4

4

42682422lim

lim

lim

54

411

41

3

x x x x x x x x x x x x x →→→---+--===

=

-+----

⒑设函数

??

?

??-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f

讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间． 解：分别对分段点1,1x x =-=处讨论连续性 （1）

)()()1111lim lim 1

lim lim 1110

x x x x f x x f x x →-+

→-+→--

→--

==-=+=-+=

所以()()11lim lim x x f x f x →-+

→--

≠，即()f x 在1x =-处不连续

（2）

()()()()()22

1111lim lim 2121

lim lim 1

11

x x x x f x x f x x f →+

→+→-

→-

=-=-====

所以()()()11lim lim 1x x f x f x f →+

→-

==即()f x 在1x =处连续

由（1）（2）得()f x 在除点1x =-外均连续 故()f x 的连续区间为()(),11,-∞--+∞