用平移、旋转和轴对称几何问题

用平移、旋转和轴对称研究几何问题

学习旋转要解决的问题：

分三个层次①直接的旋转作图或者旋转关系的叙述；②增加干扰线段，隐

含部分已知，主动发现旋转关系，并证明某些结论③需要添加辅助线，完善图形创造

情境，进行证明。

要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；（辅助线添

加方向）

一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用

1.已知：△ ABC与△ADE都是等腰直角三角形?求证：BD丄EC.

2 .如图，已知△ ABC^A DE , Z B= 45 °,￡= 20 ° ,z EAB= 30。，则zD =

，若AC、DE 交于点F,则/ EFC= _________ °.

3 .如图，△ ABC中，/BAC=120 o，以BC为边向形外作等边△ BCD，把A ABD绕着点D按顺时针方向旋转60o后到AECD的位置若AB=3 , AC=2，求/BAD的度数和AD的长.

4 ?已知：如图，A 、B 、C 在同一直线上，且 ABE 与 BCD 都是等边三角形，求证:

AD CE .

拓展 如图1，点C 为线段AB 上一点，△KCM ， ZCBN 是等边三角形， 直线AN 、MC 交于点E ，BM 、CN 交于点F . (1) 求证：AN=BM ;

(2) 求证：ZCEF 为等边三角形；

(3)

将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转 90o ，其他条件不变，在图 2中补出符合要求的图形，并判断第( 1 )、( 2)

两小题的结论是否仍然成立(不要求证明)

5 .如图，已知正方形 ABCD 和BC 边上一点E ,将直角三角形 ABE 绕点B 逆时针旋转90。，再沿BC 方向平移，平移

距离是线段BC 的长度，请画出图形?并回答：旋转后三角形的斜边与 AE 有什么关系？为什么？

二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线

A D

B E

C

几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化, 有助于问题的解决?同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力

?平面几何的辅

助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的关

系

.

1.（三角形的倍长中线） 已知：在△ABC 中，AB=AC , CD 是中线，延长AB 至U E ,使BE=AB ,连结CE.求证：CD= - CE. 2

拓展2如图2，已知△ ABC 中，AB = AC , D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，且 BD = CE , DE 与BC 交于点F .求

证：DF=EF .

提示：此题辅助线作法较多，如： ①作DG //AE 交BC 于G ;

拓展1如图1，已知△ ABC 中, AD 是△ABC 的中线, AB=8，AC=6，求AD 的取值范围.

提示：延长AD 至A

，使 A / D = AD ，连结 BA /.根据“ SAS ”易证A A / BD 也Z CD ，得AC = A / B .这样将 AC

转移到△ A / BA 中，根据三角形三边关系定理可解.

②作EH // BA 交BC 的延长线于 H ;

再通过证三角形全等得 DF = EF .

拓展2已知：△ ABC 中，/ A= 90 , AD 是BC 边上的高，BE 是角平分线，且交 AD 于P.求证：AE=AP.

3.

（梯形的线段倍长）已知：梯形 ABCD 中，AD//BC , E 是DC 的中点，AE 平分/BAD

?求证：AB=AD+BC

拓展1如图，已知：在梯形 ABCD 中，AB//CD , /ADC=90 o , F 为BC 的中点，/ AFC=3 ZBAF.求证：CD=CF.

2 .（三角形的翻折角平分线）已知：在 ABC 中，B 2 C , AD 是 BAC 的平分线?求证：AB BD AC .

拓展1如图，已知：在 ABC 中，AB AC , AD 是

BAC 的平分线，P 是AD 上任意一点.求证：

AB AC PB PC

.

C

ABCD 中，AB//DC , AB 丄AD , F 为BC 的中点，CF=DC .求证：/ AFC=3 /BAF .

1

证：MN//BC,MN —(BC AD)。

2

4. (正方形中的三角形旋转)已知：如图E是正方形

ABCD边BC上任意一点，AF

平分角EAD交CD于F,试说明BE+DF=AE.

拓展1如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有BE DF EF .

求：EAF的度数?

拓展3已知：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC,M、N分别是BD、

拓展2已知：直角梯形

拓展2如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有EAF=45

求证：BE DF EF .

拓展3如图，正方形ABCD边长为1 , AB、AD上各有一点P、Q，若△APQ的周长为2 .求Z PCQ的大小.

拓展4如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC上的点，且/ EAF=45 o , AH丄EF.求证：AH=AB

拓展5如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是

EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍.试确定/ HAF的大小，写出

推导的过程.

5. （三角形的辅助线旋转）已知，如图在△ ABC中，AB=AC ,

Z BAC=90 ° ,ZDAE=45

分析 将△ABC 以A 为中心逆时针旋转一角度/ BAC ，到△ACE 的位置.连 DE ,由Z ADB >Z ADC , 得

Z AEC >Z ADC .又 Z ADE= Z AED ，相减，得 /DEC >Z EDC .

??? CD > CE .

即 CD > BD ，从而/ DBC >/DCB .

拓展3若P 为正方形 ABCD 内一点，PA : PB : PC=1 : 2 : 3 .试证/ APB=135 ° .

BD=2 , CE=3 .求证：DE 的长.

ABC 中，P 是三角形内的一点，且/ APB= ZAPC .求证PB=PC .

拓展 2 △ABC 中，AB=AC , ADB >Z ADC .求证/ DBC >Z DCB .

拓展1如图，在等腰三角形

D 是三角形内一点，若/

2 2 2

AP PE 1 8 9 AE

??? ZAPE=90

是/APB=135

分析将A CPB旋转到△ AP'B，连接PP'，延长BP,过A作AD丄BD.易知A APP'是直角三角形，因为/ BPP'=60 0，所

以/APD=30 o，贝U AD=2 , DP= 2 3

6. （轴对称变换（翻折问题））

（1）如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E, AD=8 , AB=4.求ABED的面积.

分析利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中, 为简单起见不妨设PA=1,PB=2 , PC=3 .绕B点顺时针旋转90 0，使△CBP到△ABE的位置，这时BE=2 , AE=3 , Z PBE=90 o ~PE= 2 - 2 ,/BPE=45 o。又

拓展4在等边三角形内有一点P.连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边

长

?（答案：；25+13

3 ）

(2) 如图，将边长为12厘米的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG .若FG的长为13厘米?

求线段CE的长.

(3) 如图，点M、N为矩形ABCD 一组对边的中点，将矩形的一角向内折叠，使点B落在直线MN上，得到落点

B'和折痕AE，延长EB'交AD于F.判断A AEF是什么三角形，并说明理由.

(4)把一张正方形纸片ABCD从中间对折后仍然摊平，得折痕为EF,如图(1)所示.接着，使点C 不动，把B 点处的纸向右上方折起来使B点落在EF上，得落点为B',折痕为GC,如图(2)所示.连AB'，问图中/GAB'是多少度？求/ GAB'相当于求/AB'E

显然三角形CGB和三角形CGB'是全等的，因为是对折得到的，所以CB'=CB=1/2CF

又因为EF垂直于BC,所以Z FB'C=30 °

假设正方形边长为1，算出B'F=(根号3) /2

所以B'E=1-(根号3) 12

所以Z AB'E=75 ° /GAB'

MN -(AB CD) ?

2

所以 tan Z AB'E=AE/B'E=(1/2) 十(1-(根号3) /2)=2+根号

3

AB//CD, A 60 ,AD BC DC ?求证：AB 2CD .

(2)已知：如图3，在梯形ABCD 中，AB//CD,AC BD ?求证：梯形 ABCD 是等腰梯形

.

(3 )已知：如图 7,在梯形 ABCD 中，AB // CD, A

B 90 ,M 、N 分别是D

C 、AB 的中点?求证

:

(1) 已知：如图2，在梯形ABCD 中,

几何综合

1 ?如图1，在CABCD中，AE丄BC于E, E恰为BC的中点，tanB 2.

(1)求证：AD = AE;

(2)如图2，点P在BE上，作EF丄DP于点F,连结AF.

求证：DF EF 、2AF ;

(3)请你在图3中画图探究：当P为射线E C上任意一点(P不与点E重合)时，作EF丄DP于点F,连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论

图1图2图3

2 .如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y . 3x 3.3的图象与x轴交于点A,

与y轴交于点B,点C的坐标为(3,0)，连结BC.

C

(1)求证：△ ABC是等边三角形;

(2)点P在线段BC的延长线上，连结AP,作AP的垂直平分线，垂足为点D,并与y

轴交于点D，分别连结EA、EP.

①若CP = 6，直接写出/ AEP的度数；

②若点P在线段BC的延长线上运动(P不与点C重合)，/AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求

出Z ADP的度数；

(3)在(2 )的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度. EC与AP于点

F,设△AEF的面积为S i, △CFP的面积为S2 ,

y= S i - S2，运动时间为t (t>0 )秒时，求y关于t的函数关系式.

3 .已知：如图1，点P在线段AB上(AP > PB) , C、D、E分别是AP、

AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧.

PB

、

(1)求证：△ EHG是等腰直角三角形；

(2)若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后，其它已知

条件不变，如图2，判断△ EHG还是等腰直角三角形吗？请说明理由.

4 .如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ 与正方形ABCD全等，射线MN 与MQ不过A、B、

C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点.

(1)求证：ME=MF ;

(2)若将原题中的正方形改为矩形，且BC 2AB 4，其他条件不变，探索线段ME与

线段MF的数量关系.

A n A D

Q

B

P

5.如图10-1 ,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD

外作正方形CEFG，连结BG, DE .我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:

（1 ［①请直接写出图10-1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；

②将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图10-2、如图10-3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图10-2证明你的判断.

(|*j 10-3)

（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4 ?10-6 )，且AB a, BC b,CE ka,CG kb (a b, k 0)，试判

断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明

1

⑶在图1。-5中，连结DG、BE，且a 4,b 2，k -，则BE2 DG2 = ------------------------------------------

1.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是BC边上任意一点，把正方形沿着GH折叠，使A与E重合，D与D'

重合，ED '与边CD交于点F。

(1)当点E为BC边中点时，求"ECF的周长？连结AE, AF，求/EAF的度数?

(2)当点E在BC边上运动时，(1)中的结论变化吗？试说明理由。

2 ?已知正方形纸片ABCD的边长为2 .

操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合)，折痕为EF,折叠后AB 边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G.

探究：(1)观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论；

的最小值是 3 .几何模型:

△ EDP 周长的比是多少(图2为备用图)？

D

条件如下左图， A 、B 是直线I 同旁的两个定点?问题：在直线 I 上确定一点 P ，使PA PB 的值最小.

方法：作点 A 关于直线I 的对称点A ，连结AB 交I 于点P ,

则PA PB AB 的值最小(不必证明)

模型应用:

(1)如图1,正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点,

P 是AC 上一动点.连结 BD ，由正方形对称性可知, B 与D 关于直线AC 对称?连结ED 交AC 于P ，则

PB PE 的最小值是

(2)如图2, ?O 的半径为2,点A B 、C 在O O 上, OA

OB , AOC 60° , P 是 OB 上一动点，则 PA PC

(3)如图3 ,

AOB 45°, P 是 AOB 内一点，PO 10 , Q 、 R 分别是OA 、OB 上

△ PQR 周长的最小值是

(2)当点 C

的动点，则 C

图1 A

B

图2

4 .如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC , O为坐标原点，AB //x轴，B (3 ,),现将纸片按如图折叠，AD , DE为折痕，/ OAD=30。.折叠后，点O落在点O i,点C落在点C1，并且DO 1与DC 1在同一直线上.

(1)求折痕AD所在直线的解析式；

(2)求经过三点O, C1 , C的抛物线的解析式；

(3)若0 P的半径为r，圆心P在直线AD上，当O P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.