专题一 数与式

专题一数与式

【德育目标】

强调养成良好的行为习惯，遇到老师要主动问好，和同学和睦相处。

【学情分析】

本专题中考点较多，容易得分的题目较多。比较难的考点就是先化简在求

值。大部分学生通过知识梳理后能掌握解题方法，但还是有部分同学上课不认

真听讲，学习态度不端正。在本专题的教学中注意对简单题的强化，对易错题

得多练习。

【教学目标】

1.理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.

2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，会比较两个有理数的大小.

3.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式.

4.能运用有理数的运算解决简单的实际问题，会探索有规律性的计算问题.

【教学重点、难点】

重点：有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算.

难点：对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.

第1课时实数的有关概念

【知识梳理】

1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限

环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.

2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点

一一对应.

3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反

数是0.

5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所

有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.

6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法

叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.

7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.

8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.

9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做

a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．

10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．

11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正

数x 就叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0．

12. 立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3=a ，那么这个数x 就叫

做a 的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．

13. 开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．

【思想方法】

数形结合，分类讨论

【例题精讲】 例1.下列运算正确的是（ ） A ．33--= B ．3)

3

1(1

-=-

C

3=± D

3=-

例

） A

． B

C

．- D

例3.2的平方根是（ ）

A ．4 B

C

． D

．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）

A ．10

7.2610? 元

B ．9

72.610? 元

C ．110.72610? 元

D ．11

7.2610?元

例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，

则必有（ ）

A ．0a b +>

B ．0a b -<

C ．0ab >

D ．0a

b

< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：

a ⊕

b = n (n 为常数)时，得

（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3

现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．

【当堂检测】

1.计算3

12??

- ???

的结果是（ ）

0 例5图

A ．

16

B ．16-

C ．1

8

D ．18- 2.2-的倒数是（ ） A ．1

2

-

B ．

12

C ．2

D ．2-

3.下列各式中，正确的是（ ）

A ．3152<<

B ．4153<<

C ．5154<<

D ．161514<< 4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，

则化简|1|a -（ ） A ．1 B ．1- C ．12a -

D ．21a -

5.2-的相反数是（ ）

A ．2

B ．2-

C ．

12

D ．12

-

6.-5的相反数是____,-

1

2

的绝对值是

=_____.

7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 . 8.如果2

()13?-=，则“

”内应填的实数是（ ）

A ．

32

B ．

23

C ．2

3-

D ．3

2

-

【课后作业】 总复习第8页。 【板书设计】

实数的有关概念

知 例 练 课

识 后 梳 题 习 作 理 业 【教学反思】

第4题图

第2课时 实数的运算

【知识梳理】

1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．

4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．

5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 如果有括号，先算括号里面的． 6．有理数的运算律：

加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数

)

【思想方法】

数形结合，分类讨论

【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.

例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月

17日上午9时应是( )

A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.

B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.

C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .

D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.

例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个

圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________

9 0 -4 国际标准时间（时） -5 例2图

……

例3图

例4.下列运算正确的是（ ） A ．523=

+ B ．623=?

C ．13)13(2-=-

D ．353522-=- 例5.计算：

(1) 9

11)1(8302+-+--+-π

(2)0

(tan 45π--+o

(3)102)21

()13(2-+--；

(4)2008

011(1)

()3

π--+-

【当堂检测】

1.下列运算正确的是（ ）

A ．a 4×a 2=a 6

B ．22

532a b a b -=

C ．325()a a -=

D ．2336

(3)9ab a b =

2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )

A ．8

1041?元 B ．9

101.4?元 C ．9

102.4?元 D ．8

107.41?元 3.估计68的立方根的大小在( )

A.2与3之间

B.3与4之间

C.4与5之间

D.5与6之间 4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ） A

B

．

C ． 3.2- D

．5.计算： (1)022009

60cos 16)2

1

()1(-+--- （2

）

)

1

112-??

- ???

第4题图

【课后作业】 总复习第9页。

【板书设计】

实数的运算

知 例 练 课 识 后 梳 题 习 作 理 业

【教学反思】

第3课时 整式与分解因式

【知识梳理】

1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n

n n b a ab =)(（n 为正

整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n

a

a

1

=

-（a≠0，n 为正整数）；

2.整式的乘除法:

(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.

(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.

(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；

(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2

2

2

2)(b ab a b a +±=±

3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．

4.分解因式的方法：

⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±

5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一

定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：

⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）

A. a ＋2a=3a 2

B. 3a －2a=a

C. a 2

?a 3

=a 6 D.6a 2

÷2a 2

=3a 2

【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的

结果是（ ）

A ．m

B ．m

C ．m +1

D ．m -1

【例3】若2

320a a --=，则2

526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )

A ．22()()x y x y x y -=+-

B ．2269(3)x x x ++=+

C ．2()x xy x x y +=+

D ．222()x y x y +=+

【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________

【例6】给出三个多项式：

21212x x +-，21412x x ++，21

22

x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．

【当堂检测】

1.分解因式：3

9a a -= ， _____________223=---x x x 2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“?”：（a ，b ）?（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）?（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6?109，b=4?103，则a 2÷2b=( )

A. 2?107

B. 4?1014

C.3.2?105

D. 3.2?1014 ．

4.先化简，再求值：22

()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中

22a b =-=．

5．先化简，再求值：2

2

()()()2a b a b a b a +-++-，其中133

a b ==-，． 【课后作业】

总复习第10页-11页。

【板书设计】

整式与分解因式

知 例 练 课 识 后 梳 题 习 作 理 业

【教学反思】

第4课时 分式与分式方程

【知识梳理】

1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式

B

A

叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算

4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．

5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】

1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）

2.检验

【例题精讲】

1．化简：222211

1x x x x x x

-+-÷-+

2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --??

÷-- ?-+??

，其中2x =

3．先化简

1

1112-÷-+x x x ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．

4．解下列方程（1）

013522=--+x x x x （2）416

22222

-=-+-+-x

x x x x

5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )

A. B.

C. D.

【当堂检测】

1．当99a =时，分式21

1

a a --的值是

．

2．当x 时，分式1

1

2

--x x 有意义；当x 时，该式的值为0．

3．计算2

2

()ab ab 的结果为

．

4. ．若分式方程

x

x k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-2

5．若分式

3

2

-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x

6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x y

x 4y 5x y x 4xy

5x y 2xy x 2222-+

-+÷-++的值

7．先化简，再求值：4x

x 16

x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x

8.解分式方程． (1)22011

x

x x -=+- (2) x 2)3(x 22x x -=--；

(3)

11322x

x x -=--- (4)11

-x 1x 1x 22

=+--

【课后作业】

总复习第11页-12页。 【板书设计】

分式与分式方程

知 例 练 课 识 后 梳 题 习 作 理 业

【教学反思】

第5课时 二次根式

【知识梳理】 1.二次根式：

(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：

3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号

4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：

（1a 0b 0≥≥，）

（2a 0b 0≥，）

6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次

根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用

【例题精讲】

【例1

】要使式子

x

有意义，x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠

B ．0x ≠

C ．10x x >-≠且

D ．10x x ≠≥-且

【例2

）

． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间

D ．9到10之间

【例3】 若实数x y ，

2(0y =，则xy 的值是 ． 【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有5

2π7

-，，四个实数，从中任取两张卡片．

A B C D

（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．

【例5】计算：

（1）1

03

130tan 3)14.3(27-+?---）（π

（2

）1

01(1)52-??

π-+-+- ???

【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-?+--a a a ，其中33-=a ．

【当堂检测】

1.计算：（1

032tan 60(1--+-． （2）cos45°·(－

21)－－(22－3)0＋｜－32｜＋1

21

- （3

）023cos 304sin 60

++-．

2.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简

【课后作业】

考试说明第55页-58页。

【板书设计】

二次根式

知例练课识后梳题习作理业

【教学反思】