二次函数中考压轴题精选

1.（2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【】

A．5B．4

C．3 D．4

2 （2012浙江义乌3分）如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：

①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；

③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．

其中正确的是【】

A．①②B．①④C．②③D．③④

【答案】D。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。∴此判断错误。

②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，

若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。

∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。∴此判断错误。

③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），

当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；∴此判断正确。

④∵使得M=1时，

若y1=﹣2x2+2=1，解得：x12

，x2=

若y2=2x+2=1，解得：x=﹣1

。

由图象可得出：当2

＞0，此时对应y1=M。

∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，

∴M=1时，2

或x=﹣

。∴此判断正确。

因此正确的有：③④。故选D。

3. （2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S ．试探究S 是否存在最大值若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点O ，∴c=0。

又∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、C ，

∴a+b=24a+2b=1???，解得3a=27

b=2

-??????。

∴抛物线解析式为237

y=x +x 22

-。

（2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴△OPN ∽△OCD ，可得PN=

t 2。∴P （t ，t

）。 ∵点M 在抛物线上，∴M （t ，23

7t +t 22

-）。

如图1，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，

AG=y A ﹣y M =2﹣223

737t +t =t t+22

222??-- ???，

BH=PN=

。当AG=BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，

∴23

t t+2=

-，化简得3t 2﹣8t+4=0。解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=2

，

∴点P 的坐标为（21

33 ，）

。 ∴存在点P （21

，）

，使得四边形ABPM 为等腰梯形。（3）如图2，△AOB 沿AC 方向平移至△A′O′B′，A′B′

交x 轴

于T ，交OC 于Q ，A′O′交x 轴于K ，交OC 于R 。

由A 、C 的坐标可求得过A 、C 的直线为y AC =﹣x+3

设点A′的横坐标为a ，则点A′（a ，﹣a+3），易知△OQT ∽△OCD ，可得QT=a 2

。 ∴点Q 的坐标为（a ，

）。设AB 与OC 相交于点J ，

∵△A′RQ ∽△AOJ ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴

HT A Q

OB AJ

'。

∴13a a

A Q 2HT=OB=

1=2a 1AJ 22

--'??--。 ∴KT=

12A′T=12（3﹣a ），A′Q=y A′﹣y Q =（﹣a+3）﹣a 2=3﹣32

a 。 ∴S 四边形RKTQ =S △A′KT ﹣S △A′RQ =12KTA′T ﹣1

A′QHT

()()2

213a 13133133

3a 3a a+2=a +a =a +2222224228

-????=??--?-?----- ? ?????。 ∵12

-＜0，

∴在线段AC 上存在点A′（3322，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为38

。

【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。【分析】（1）抛物线y=ax 2+bx+c 经过点O 、A 、C ，利用待定系数法求抛物线的解析式。

（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t 的值，从

而可解。结论：存在点P （2133

，）

，使得四边形ABPM 为等腰梯形。（3）求出得重叠部分面积S 的表达式，然后利用二次函数的极值求得S 的最大值。

4. （2012浙江绍兴12分）把一边长为40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。 ①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm 2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

【答案】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm 。

则（40－2x ）2=484，解得1x 31=（不合题意，舍去），29x =。 ∴剪掉的正方形的边长为9cm 。 ②侧面积有最大值。

设剪掉的正方形的边长为xcm ，盒子的侧面积为ycm 2，

则y 与x 的函数关系为：2

y 4(402x)x 8x 160x 8(x 10)800=-=-+=--+， ∴x=10时，y 最大=800。

即当剪掉的正方形的边长为10cm 时，长方形盒子的侧面积最大为800cm 2。（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm 。

则2(402)(20)2(20)2(402)550x x x x x x --+-+-= ，解得：135x =-（不合题意，舍去），215x =。 ∴剪掉的正方形的边长为15cm 。

此时长方体盒子的长为15cm ，宽为10cm ，高为5cm 。

【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。

【分析】（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm ，根据题意得出（40－2x ）2=484，求出即可

②假设剪掉的正方形的边长为xcm ，盒子的侧面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系为：y=4（40-2x ）x ，利用二次函数最值求出即可。

（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm ，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm 2，得出等式方程求出即

可。

5 （2012浙江绍兴14分）如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC ，抛物线2

y x 4x 2=--经过A ，B 两点。（1）求A 点坐标及线段AB 的长；

（2）若点P 由点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB 边向点B 移动，1秒后点Q 也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO ，OC ，CB 边向点B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒。 ①当PQ ⊥AC 时，求t 的值；

②当PQ ∥AC 时，对于抛物线对称轴上一点H ，∠HOQ ＞∠POQ ，求点H 的纵坐标的取值范围。【答案】解：（1）由抛物线2

y x 4x 2=--知：当x=0时，y=﹣2，∴A （0，﹣2）。

∵四边形OABC 是矩形，∴AB ∥x 轴，即A 、B 的纵坐标相同。

当y=﹣2时，2

2x 4x 2-=--，解得12x 0x 4==，。∴B （4，﹣2）。

∴AB=4。

（2）①由题意知：A 点移动路程为AP=t ，Q 点移动路程为7（t －1）=7 t －7。

当Q 点在OA 上时，即07t 72≤-<，9

1t 7

≤≤

时，如图1，若PQ ⊥AC ，则有Rt △QAP ∽Rt △ABC 。

∴

QA AP =AB BC ，即7t 7t 42-=，解得7

t 5=。

∵79

>，∴此时t 值不合题意。当Q 点在OC 上时，即27t 76≤-<，913

t 77

≤<时，

如图2，过Q 点作QD ⊥AB 。∴AD=OQ=7（t ﹣1）﹣2=7t ﹣9。 ∴DP=t ﹣（7t ﹣9）=9﹣6t 。

若PQ ⊥AC ，则有Rt △QDP ∽Rt △ABC ，

∴

QA DP =

AB BC ，即296t 44-=，解得4

t 3=。 ∵9413737<<，∴4t 3

=符合题意。当Q 点在BC 上时，即67t 78≤-≤，1315

t 77

≤≤时，

如图3，若PQ ⊥AC ，过Q 点作QG ∥AC ，则QG ⊥PG ，即∠GQP=90°。

∴∠QPB ＞90°，这与△QPB 的内角和为180°矛盾，此时PQ 不与AC 垂直。综上所述，当4

t 3

时，有PQ ⊥AC 。 ②当PQ ∥AC 时，如图4，△BPQ ∽△BAC ，∴BP BQ

BA BC

， ∴

4t 87(t 1)

---=

，解得t=2。即当t=2时，PQ ∥AC 。此时AP=2，BQ=CQ=1。 ∴P （2，﹣2），Q （4，﹣1）。抛物线对称轴的解析式为x=2，

当H 1为对称轴与OP 的交点时，有∠H 1OQ=∠POQ ， ∴当y H ＜﹣2时，∠HOQ ＞∠POQ 。

作P 点关于OQ 的对称点P′，连接PP′交OQ 于点M ，过P′作P′N 垂

直于对称

轴，垂足为N ，连接OP′，

在Rt △OCQ 中，∵OC=4，CQ=1。∴OQ=17， ∵S △OPQ =S 四边形ABCD ﹣S △AOP ﹣S △COQ ﹣S △QBP =3=

OQ×PM ， ∴PM=

61717。∴PP′=2PM=1217

。 ∵NPP′=∠COQ 。∴Rt △COQ ∽△Rt △NPP′。 ∴

''CQ OQ OC ==NP PP PN ，即'1174==

P N PN

1217，解得'

12P N 17= ，48PN 17=。 ∴P′（

46141717，）。∴直线OP′的解析式为7

y x 23

=。

∴OP′与NP 的交点H 2（2，14

）。

∴当H 14

y 23

>时，∠HOP ＞∠POQ 。

综上所述，当H y 2<-或H 14

y 23

时，∠HOQ ＞∠POQ 。【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。

【分析】（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A 点坐标；由于四边形OABC 是矩形，那么A 、B 纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B 点坐标，则AB 长可求。

（2）①Q 点的位置可分：在OA 上、在OC 上、在CB 上三段来分析，若PQ ⊥AC 时，很显然前两种情况符

合要求，首先确定这三段上t 的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t 的值，然后由t 的取值范围将不合题意的值舍去。

②当PQ ∥AC 时，△BPQ ∽△BAC ，通过比例线段求出t 的值以及P 、Q 点的坐标，可判定P 点在抛物线

的对称轴上，若P 、H 1重合，此时有∠H 1OQ=∠POQ 。若作P 点关于OQ 的对称点P′，OP′与NP 的交点H 2，亦可得到∠H 2OQ=∠POQ ，而题目要求的是∠HOQ ＞∠POQ ，那么H 1点以下、H 2点以上的H 点都是符合要求的。

6. （2012浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：

（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；

（2）选择适当的函数表示s 与t 之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止

②当t 分别为t 1，t 2（t 1＜t 2）时，对应s 的值分别为s 1，s 2，请比较11

s t 与22s

t 的大小，并解释比较结果的实际意义．【答案】解：（1）描点图所示：

（2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at 2＋bt ＋c ，

∵抛物线经过点（0，0），∴c=0。又由点（，），（1，10）可得：

0.04a+0.2b=2.8a+b=10??

，解得：a=5

b=15-???。经检验，其余各点均在s=－5t 2+15t 上。 ∴二次函数的解析式为：2s 5t 15t =-+。

（3）①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。

∵2

345

s 5t 15t=5t 24??=-+--+ ???

，∴当t=32时，滑行距离最大，为454。

因此，刹车后汽车行驶了

米才停止。

②∵2s 5t 15t =-+，∴22111222s 5t 15t s 5t 15t =-+=-+，。

∴22111222121122

s 5t 15t s 5t 15t ==5t 15==5t 15t t t t -+-+-+-+ ，。 ∵t 1＜t 2，∴

()()12122112s s =5t 155t 15=5t t 0t t >--+--+-。∴1212

s s

t t >。其实际意义是刹车后到t 2时间内的平均速到t 1时间内的度小于刹车后平均速度。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析】（1）描点作图即可。

（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。（4）求出

s t 与22s

t ，用差值法比较大小。 7. （2012浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线2

y x 2mx(m 0)=-+>与x 轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM x ⊥轴于点M ，交抛物线于点B.记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B 、C 不重合）.连结CB,CP 。（1）当m 3=时，求点A 的坐标及BC 的长；（2）当m 1>时，连结CA ，问m 为何值时CA ⊥CP

（3）过点P 作PE ⊥PC 且PE=PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上若存在，求出所有满足要求的m 的值，并写出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）当m=3时，y=－x 2＋6x 。

令y=0得－x 2＋6x=0，解得，x 1=0，x 2=6。∴A （6，0）。当x=1时，y=5。∴B （1，5）。

∵抛物线y=－x 2＋6x 的对称轴为直线x=3，且B ，C 关于对称轴对称，∴BC=4。（2）过点C 作CH ⊥x 轴于点H （如图1）

由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB 。又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH ∽△PCB 。 ∴

AH PB

CH BC

。 ∵抛物线y=－x 2＋2mx 的对称轴为直线x=m ，其中m ＞1，且B ，

C 关于对称

轴对称，

∴BC=2（m －1）。

∵B （1，2m －1），P （1，m ），∴BP=m －1。

又∵A （2m ，0），C （2m －1，2m －1），∴H （2m －1，0）。 ∴AH=1，CH=2m －1，

∴

()1m 12m 12m 1-=--，解得m=3

。（3）存在。∵B ，C 不重合，∴m≠1。

（I ）当m ＞1时，BC=2（m －1），PM=m ，BP=m －1，（i ）若点E 在x 轴上（如图1），

∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP 。

∴△BPC ≌△MEP ，∴BC=PM ，即2（m-1）=m ，解得m=2。此时点E 的坐标是（2，0）。

（ii ）若点E 在y 轴上（如图2），过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，易证△BPC ≌△NPE ，

∴BP=NP=OM=1，即m －1=1，解得，m=2。此时点E 的坐标是（0，4）。

（II ）当0＜m ＜1时，BC=2（1－m ），PM=m ，BP=1－m ，（i ）若点E 在x 轴上（如图3），易证△BPC ≌△MEP ，

∴BC=PM ，即2（1－m ）=m ，解得，m=

。此时点E 的坐标是（

，0）。（ii ）若点E 在y 轴上（如图4），

过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，易证△BPC ≌△NPE ， ∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。

综上所述，当m=2时，点E 的坐标是（0，2）或（0，4），

当m=

23时，点E 的坐标是（4

，0）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x 轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC 的长。

（2）过点C 作CH ⊥x 轴于点H （如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明

△AGH ∽△PCB ，根据相似的性质得到：AH PB

CH BC

，再用含有m 的代数式表示出BC ，CH ，BP ，代入比例式即可求出m 的值。

（3）存在。本题要分当m ＞1时，BC=2（m-1），PM=m ，BP=m －1和当0＜m ＜1时，BC=2（1－m ），PM=m ，BP=1－m ，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m 值和相对应的点E 坐标。

8. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx 与抛物线2422

y=x +x 273

-交于点A （3，6）

．（1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度；

（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个

【答案】解：（1）把点A （3，6）代入y=kx 得；6=3k ，即k=2。

∴y=2x 。

∴22OA 3+6=35=。

（2）线段QM 与线段QN 的长度之比是一个定值，理由如下：

如图1，过点Q 作QG ⊥y 轴于点G ，QH ⊥x 轴于点H ． ①当QH 与QM 重合时，显然QG 与QN 重合，此时

QM QH QH

tan AOM=2QN QG OH

===∠。 ②当QH 与QM 不重合时，

∵QN ⊥QM ，QG ⊥QH 不妨设点H ，G 分别在x 、y

轴的正

半轴上，

∴∠MQH=∠GQN 。

又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM ∽△QGN 。∴QM QH QH

tan AOM=2QN QG OH ===∠。当点P 、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得QM

=2QN

。

∴线段QM 与线段QN 的长度之比是一个定值。（3）如图2，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作

FC ⊥OA

于点C ，过点A 作AR ⊥x 轴于点R 。

∵∠AOD=∠BAE ，∴AF=OF 。 ∴OC=AC=1

OA=

522

。 ∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC ， ∴△AOR ∽△FOC 。∴OF AO 35

5OC OR ===。∴OF=

5155522

?=。 ∴点F （

，0）。设点B （x ，2422

x +x 273

-），过点B 作BK ⊥AR 于点K ，则△AKB ∽△ARF 。

∴BK AK FR AR =，即24

226x +x x 32737.536

??-- ?

-??=-。解得x 1=6，x 2=3（舍去）。∴点B （6，2）。 ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。

在△ABE 与△OED 中，∵∠BAE=∠BED ，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB 。 ∴∠ABE=∠DEO 。

∵∠BAE=∠EOD ，∴△ABE ∽△OED 。设OE=x ，则AE=35﹣x （0x 35<<），由△ABE ∽△OED 得

AE OD AB OE

=，即35x m

x -=。

∴()()

21135139

m=x 35x =x +x=x 5+0x 3555524

∴顶点为39x 524?

?- ??

? ，。如图3，当9m=4时，OE=x=3

，此时E 点有1个；当9

0m 4

时，任取一个m 的值都对应着两个x 值，此时E

点有2个．

∴当9m=4

时，E 点只有1个，当9

0m 4

时，E 点有2个。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。

【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx 的解析式，根据A 点坐标用勾股定理求出线段OA 的长度。

（2）如图1，过点Q 作QG ⊥y 轴于点G ，QH ⊥x 轴于点H ，构造相似三角形△QHM 与△QGN ，将线段QM

与线段QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比，即QM QH QH

tan AOM=2QN QG OH

===∠为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。

（3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD ，可以得到△ABE ∽△OED 。在相似三角形△ABE 与△

OED 中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB 的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直

线）的性质求得AB 的长度。设OE=x ，则由相似边的比例关系可以得到m 关于x 的表达式2

139

m=x 5+524

??--

???，这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如图3），可见m 在不同取值范围时，x 的取值（即OE 的长度，或E 点的位置）有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。

中考二次函数压轴题经典题型

中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

精选中考二次函数压轴题[附答案解析]

精选中考二次函数压轴题（含答案） 1．如图，二次函数c x y +-=2 21的图象经过点D ??? ? ?-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：AH AD ＝EF BC ；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式． 3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16 x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由 4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC =23．设直线AC (第2(图1) (图

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解答：

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

《二次函数热点压轴题》

第一部分：以“增减性”为主导的综合问题【典型例题1】在平面直角坐标系xOy 中.已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x =1. （1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是 m ≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值 . 二次函数热点压轴题

【变式与拓展】 1.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ，过点B （0，t ）作与y 轴垂直的直线l ，分别交抛物线于E ，F 两点，设点E （x 1，y 1），点F （x 2，y 2）（x 1＜x 2）．（1）求抛物线顶点C 的坐标；（2）当点C 到直线l 的距离为2时，求线段EF 的长；（3）若存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立，直接写出t 的取值范围．

2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线223 y x bx =-+-的对称轴为直线x=2．（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中 12 x x<． ①当 213 x x-=时，结合函数图象，求出m的值； ②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，44 y -≤≤，求m的取值范围．

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

人教版中考数学压轴题型24道：二次函数专题含答案解析

人教版中考数学压轴题24道：二次函数专题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值；（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位

置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 4．已知函数y ＝（n 为常数）（1）当n ＝5， ①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4，求n 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ＝x 2 ﹣2x ，其顶点为A ．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ． ①试求抛物线y ＝x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y ＝x 2﹣2x ，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式．

2019年中考二次函数压轴题整理

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．平行四边形类 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质． 5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案)

1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，关于x的二次函数y=x2+b x+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点 C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 3．如图，已知二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值． 4．如图1，已知二次函数y=ax2+b x+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．

中考二次函数压轴题及答案

二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围．

2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△为直角三角形时点P的坐标．

2019中考二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．图2

2.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．题型二：构造直角三角形【例2】（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2 +bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，C E D G A x y O B F

中考数学二次函数压轴题题型归纳

中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ；

2018年中考数学二次函数压轴题汇编

1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点．（1）当⊙O的半径为2时， ①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是． ②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．

中考二次函数压轴题解题技巧

中考二次函数压轴题———解题技巧二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，我们的学生大部分都难以在有限时间内完全解答出来，最主要的原因是对解题思路以及方向上没有做到大体的定位。经多番研究比较，发现26题基本设有三小问，第一问基础为主（3到4分），多为求解析式、坐标轴上坐标、系数、顶点，第二问为中等档次（4分），多以求线段长度类、面积类、三角形形状判断、四边形形状、全等、相似，第三问区分度较大，拉开距离的小问（4到5分），多以动点类结合，构成四边形、三角形，此问涉及面广，有多种情况。压轴题出题方向多与几何图形紧密结合，出题范围广，但万变不离其宗，抓住其中关键性质，利用好代数式，80%的分值可以拿到手，现将压轴题的各种解法思路罗列出来，望各位同学有针对性的去查漏补缺，做到1得2拿3取半。几个自定义概念： ① 三角形基本模型：有一边在X 轴或Y 上，或有一边平行于X 轴或Y 轴的三角形称为三角形基本模型。 ② 动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵”。如：动点P 在y=2x+1上，就可设 P （t, 2t+1）.若动点Ｐ在ｙ＝2 321x x -+，则可设为P （t ，2 321t t -+）当然若动点M 在X 轴上，则设为（t, 0）.若动点M 在Ｙ轴上，设为()t ，0 ③ 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。 ④ 动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 ⑤ 定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ⑥ 定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：63-=x y 。 ⑦ X 标，Y 标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x 标，纵坐标称为y 标。 ⑧ 直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“表示”是针对直接动点坐标而言的。 1.求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x 轴（y 轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。２、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t ），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y 轴的线段长度计算公式 -y y 下上或 21y y -，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：

(完整版)2017中考二次函数压轴题专题分类训练

2017中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．图2

2.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点 C ，顶点为 D ． E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于 F 、 G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2 +bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． C E D G A x y O B F

二次函数中考压轴题附答案(整理)

中考压轴题 1、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223 y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52 x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．

解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴225 4()32 m =?-+ ∴1 6 m =- ∴所求函数关系式为：22251210 ()432633 y x x x =--=-+ （2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4， ∴5AB = ∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC =CD =DA =AB =5 ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．当5x =时，2210 554433y = ?-?+= 当2x =时，2210 224033 y =?-?+= ∴点C 和点D 在所求抛物线上．（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则 5420k b k b +=?? +=? 解得：48,33k b ==-．∴48 33y x =- ∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ， ∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =- +， 4833 N y t =-， ∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ?? =-=---+=-+-=--+ ??? ∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12 ）

中考数学专题训练二次函数压轴题

中考数学专题训练二次函数压轴题 1. 如图①，抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m，0)(0

∵OP ＝m ， ∴AP ＝4－m ， ∵PM ⊥x 轴， ∴△OAB ∽△PAN ， ∴OB OA ＝PN PA ，即24＝PN 4－m ， ∴PN ＝1 2(4－m )， ∵M 在抛物线上， ∴PM ＝－12m 2＋3 2m ＋2， ∵PN ∶MN ＝1∶3， ∴PN ∶PM ＝1∶4， ∴－12m 2＋32m ＋2＝4×1 2(4－m )，解得m ＝3或m ＝4(舍去)，即m 的值为3； (3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2＝32 ，

第1题解图由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2， ∴OP 2OB ＝3 2 ，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2， ∴QP 2BP 2＝OP 2OB ＝32 ， ∴当Q (0，92)时，QP 2＝3 2BP 2， ∴AP 2＋3 2 BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ， ∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值，又∵A (4，0)，Q (0，9 2)， ∴AQ ＝ 42 ＋（92）2＝1452 ，即AP 2＋32BP 2的最小值为145 2 . 2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于

(完整版)2017年中考数学二次函数压轴题(答案)

2017年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

中考二次函数难题压轴题中考精选

二次函数中考题精选 1、41、（2009年枣庄市）如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由． 2、（2009年株洲市）已知ABC ?为直角三角形，90ACB ∠=?，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ．（1）求点A 的坐标（用m 表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值． y x Q P F E D C B A O y x O A B 第24题图

3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。（1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系；（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为 12)8(8 1 2+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 4、（2009年重庆市江津区）抛物线c bx x y ++-=2 与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

中考二次函数压轴题及答案

26. (彬州市）如图（1），抛物线42 y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C . b ；若分（2）当b ＝0时，直线为y x =，由2 4 y x y x x =??=+-?解得1122x y =??=?，222 2x y =-??=-? 所以B 、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2） 1 4242 ABE S =??=，1 4242 ACE S =??= 所以ABE ACE S S =当4b >-时，仍有ABE ACE S S =成立. 理由如下由2 4y x b y x x =+??=+-?，解得11x y b ?=??=??，22x y ?=??=??所以B 、C b 作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ，则而ABE 和ACE 是同底的两个三角形，所以ABE ACE S S =. （3）存在这样的b . 因为90BF CG,BEF CEG,BFE CGE =∠=∠∠=∠=? 所以BEF CEG ?

所以BE CE =，即E 为BC 的中点所以当OE =CE 时，OBC 为直角三角形 …………………..8分因为GE b b GC =-== 所以 CE = OE b = b =，解得124, 2b b ==-，所以当b ＝4或－2时，ΔOBC 为直角三角形.………………….10分 25.(常德）如图9，已知抛物线2 12 y x bx c x =++与轴交于点A （-4，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于C 点. (1)求此抛物线的解析式； (2)设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当CEF 的面积是BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标； (3)若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标. 25．解：（1）由二次函数2 12 y x bx c = ++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得： 221 (4)402 1102 b c b c ?--+=??? ??++=??，．解得： 322b c ?=???=-?，．故所求二次函数的解析式为213 222 y x x =+-．………………3分（2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1 .3 BF BC =………………4分 ∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ , ∴△BEF ～△BAC , ………………5分图9 x