函数的奇偶性
函数奇偶性
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）。
定义
函数奇偶性
奇偶函数图象的特征：
定理奇函数的图象关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
设f(x)为奇函数等价于f(x)的图像关于原点对称
则点（x,y）→（-x,-y）
因为偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上是单调递减。
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
附：需要注意的是奇偶函数的定义域肯定是对称的，例如区间为（-2,2）。函数就是不可能对称的，不可能是奇函数或者偶函数！
函数奇偶性的归纳总结
函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：
奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 《函数的奇偶性》教案 一、教材分析 “奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。 函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手，体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。尝试画出f(x)=x2和f(x)=|x|的图像，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，奇偶性既是函数概念的拓展和深入，又是为以后学习基本初等函数奠定了基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。 二、学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，上节课学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。 三、教学目标 【知识与技能】 1．理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义； 2．能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性，学会函数的应用。 【过程与方法】 通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合，定性与定量的转化，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。 【情感、态度与价值观】 1.在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力； 2.通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。 四、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和函数图像的特征。 难点：利用函数奇偶性的概念和图像的对称性，证明或判断函数的奇偶性。 五、教学方法 引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件。 七、教学过程 （一）情境导入、观察图像 出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。 师：“同学们，这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体，你能说出它们有什么特点吗？” 生：“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。” 师：“是的，而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像，首先我们来尝试画一下f(x)=x2和f(x)=|x|的图像，并一起探究几个问题。” （二）探究新知、形成概念 探究1．观察下列两个函数f(x)=x2和f(x)=|x|的图象，它们有什么共同特征吗？ 师：什么是函数的奇偶性呢？ 生：回答 师：我们在函数奇偶性的知识点上重点考察的题型有哪些呢？ 生：回答 师：我们通过今天的学习一起来回顾一下函数奇偶性的重点题目。 一、函数奇偶性定义 1、图形描述： 函数()f x 的图像关于y 轴对称?()f x 为偶函数； 函数()f x 的图像关于原点轴对称?()f x 为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -= 与 函数的奇偶性 ()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函 数。 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。 特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断 ()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶 性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、()y f x =是偶函数?()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数? ()y f x =的图像关于原点对称。 2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。 3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且1 2D D 要关于原点对称，那么就有以下结论： 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇?奇=偶 偶?偶=偶 奇?偶=奇 5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。 6、多项整式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++ +的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项的系数全为零。 （20-40分钟） 类型一 函数奇偶性的判断 例1：判断下列函数是否具有奇偶性： (1)f (x )＝2x 4＋3x 2 ； (2)f (x )＝1x ＋x ； 练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2 ＋1； 考点 函数的奇偶性说课稿 一、说教材 1、说课内容： 函数的奇偶性 2、教材的编写意图： 教材从具体到抽象,从感性到理性,从实践到理论,层次分明,循序渐进地引导学生回顾自然界和日常生活中具有对称美的事物, 进入数学领域观察、归纳,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想,形成函数奇偶性概念。 3、教学目标 （1）、从形和数两个方面进行引导,使学生理解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性. （2）、在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法. （3）、在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神. 4、教学重点 函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断 5、教学难点 对函数奇偶性的概念的理解 二、说教法 根据本节教材内容和编排特点,为了更有效地突出重点,突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师为主导,学生为主体,训练为主线的指导思想,采用以引导发现法为主,直观演示法、设疑诱导法为辅。教学中,教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题,创设问题情景,诱导学生思考,使学生始终处于主动探索问题的积极状态,从而培养思维能力。 三、说学法 根据学法指导自主性和差异性原则,让学生在“观察一归纳一检验一应用”的学习过程中,自主参与知识的发生、发展、形成的过程,使学生掌握知识。 四、说程序设计： 课堂教学是学生数学知识的获得、技能技巧的形成、智力、能力的发展以及思想品德的养成的主要途径。为了达到预期的教学目标,我对整个教学过程进行了系统地规划,设计了四个主要的教学程序是： （一）设疑导入观图激趣,。 （二）指导观察,形成概念。 （三）给出例题、加深理解。 （四）、学生探索、发展思维。 五、说课过程： （一）、设疑导入、观图激趣、。 1、让学生感受生活中的美：对称美 学生举例,出示一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志） （通过让学生观察麦当劳的标志导入新课,既激发了学生浓厚的学习兴趣,又为新知作好铺垫。） （二）、指导观察、形成概念。 数学中对称的形式也很多,这节课我们就同学们谈到的与轴对称的函数展开研究。 思考：那些函数的图象关于轴对称？试举例。 以函数为例,给出图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?此时提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律? 利用函数的奇偶性求函数解析式及求值学案 ------邓隆耀 一、教学目的： 让学生掌握利用函数的奇偶性来求函数的解析式 重点：利用奇偶性的性质来求函数的解析式 难点：从特殊到一般的转化。 一、复习函数奇偶性的概念： ①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。 ②设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。 从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义 (1) 前提条件：定义域关于原点对称。 )(x f y =的定义域为[a-1,2a]则=a ______ (2) )(x f 与)(x f -的关系： 当)()(x f x f =-时为____函数； 当)()(x f x f -=-时为____函数。 ① 已知)(x f y =是奇函数，2)2(=-f ，求)2(f ② 已知)(x f y =是奇函数，当0>x 时，3)(x x f =，求)2(-f 二、题型一。 1.已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()32f x x =，求当0x <时，()f x 的解析式。 （变式一）设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数，又当0>x 时2()2f x x x =-，试求)(x f 的解析式。 （变式二）设函数)(x f 为定义在R 上的偶函数，又当0≥x 时，2()23f x x x =--，试求)(x f 的解析式。 （变式三）设函数)(x f 为定义在[a-1,2a]的奇函数，又当]2,0(a x ∈时，2()23f x ax x =--，试求)(x f 的解析式。 练习：1.已知函数,)(0)(2x x f x x f y R =<=时，满足上的奇函数定义在则=)))))1(((((f f f f f _____ 甘孜藏族自治州职业技术学校电子教案 专业名称：文化基础 课程名称：数学 任课教师：何小波 授课班级：2019级旅游1班 授课时间：2019-2020学年第2学期 甘孜藏族自治州职业技术学校教务处制 甘孜藏族自治州职业技术学校教学设计 课程名称：《数学》授课次序： 1 任课老师：何小波教研组长签字： 课题 名称 3.1.4 函数的奇偶性 授课 类型 理论课教学时数2学时（80分钟） 授课时间第周 星期 第节 第周 星期 第节 第周 星期 第节 第周 星期 第节 备注 授课班级2019级旅游 1班 教学目标 1.知识与技能：理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征． 2.过程与方法：掌握判断函数奇偶性的方法． 3.情感态度与价值观：通过教学，渗透数形结合思想，培养学生类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩证唯物主义思想． 教学内容与教 材3.1.4 函数的奇偶性 1. 函数奇偶性的定义； 2. 判定函数奇偶的方法、步骤． 教学 设备 多媒体、课件 教学 重点 奇偶性概念与函数奇偶性的判断． 教学 难点 理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域． 方法手段这节课主要采用类比教学法．先由两个具体的函数入手，引导学生发现函数f(x)在x与在－ x的函数值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象特征．然后由学生自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解题过程中深化对概念的理解． 教学过程 教学 环节 教学内容教师活动学生活动设计意图一、 导入新课（5分钟）复习前面所学求函数值的知识． 教师提出问题， 学生回答． 学生回答为学生理 解奇、偶 函数的定 义做好准 备． 二、新知学习（30分钟） 新知学习： 1．奇函数 （1）奇函数定义 如果对于函数y＝f (x)的定义 域A内的任意一个x都有 f (－x)＝－f (x)， 则这个函数叫做奇函数． （2）奇函数图像特征 奇函数的图象都是以坐标原点 为对称中心的中心对称图形． 教师引导学生发现规律，总结 规律：自变量互为相反数时， 函数值互为相反数． 教师通过引例，归纳得到奇函 数定义． 提高学生 的读图能 力，渗透 数形结合 的数学思 想． 2.偶函数 （1）偶函数定义 如果对于函数y＝f (x)的定义 域A内的任意一个x都有 f (－x)＝f (x)， 则这个函数叫做偶函数． （2）偶函数图像特征 偶函数的图象都是以y轴为对 称轴的轴对称图形． 通过类比、自学，培养学生的 理性思维，提高学生的学习能 力，加强学生间的合作交流． 在掌握了 奇函数判 断方法的 基础上， 放手让学 生自己去 进行偶函 数的判 断，提高 学生举一 反三解决 问题的能y x O (x，f (x)) (-x，f (-x)) 《函数的奇偶性》教案 授课教师 授课时间：授课班级： 教材：广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》（广东高等教育出版社出版） 教材主要特点：这本教材注意与初中有关知识紧密衔接，注重基础，增加弹性，使用教材可以根据有关专业的特点，选用相关的章节，教学要求和练习内容分A、B两档，适应分层教学。练习A的题目主要是基础练习，供全体学生学习，也是最低的要求；练习B的题目为拓展延伸的练习，供学有余力并且准备进一步深造的学生学习。 教学要求：教师在授课时主要是探究用奇、偶函数的定义判断函数的奇、偶性，奇、偶函数的性质（课本不要求证明）是作为拓展延伸的内容，以学生自学为主，教师适当给予辅导。教材已经分层编写，有利于实施分层教学时可以不分班教学。 任教班级特点：会计072班共有学生62人，男生6人，女生56人。学生数学平均入学成绩为58.3分，上课纪律良好，学生上课注意力比较集中，使用了这本教材后，绝大多数学生喜欢学数学，学生的学习成绩越来越好。 【教学过程】： 一、创设情境，引入新课 [设计意图：从生活中的实例出发，从感性认识入手，为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备] 对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象．如美丽的蝴蝶是左右对称的（轴对称）。 现实生活中有许多以对称形式呈现的事物，如汽车的车前灯、音响中的音箱，汉字中也有诸如“双”、“林”等对称形式的字体，这些都给以对称的感觉。函数里也有这样的现象。 提出问题让学生回答：1、中心对称图形的概念（提醒学生：中心对称——图形绕点旋转180度）；2、轴对称图形的概念（提醒学生：轴对称——图形沿轴翻折180度）。 数学中，对称也是函数图象的一个重要特征，下面展示的是五个函数的图像，请你说出下面的图像是中心对称图形还是轴对称图形或者两者都不是？ [教学说明：图像（1）、（4）是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；图像（2）、（3） x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(，（2） x x x f -=3)( （3） ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法 教案 教者李德双科目数学班级3班课题函数的奇偶性课型启发式教学 时间2019年12 月19 日地点多媒体教室 教学目标1．知识与技能目标：理解奇（偶）函数概念；会利用定义判断简单函数是否为奇（偶）函数；掌握奇（偶）函数图象性质； 2．过程与方法目标：在学习过程掌握从特殊到一般的研究方法；学会用对称的方法来方便问题的解决； 3．情感态度与价值观目标：锻炼学生思维的严谨性；体验探究的乐趣； 教学重点函数的奇偶性定义及其图像性质； 教学难点函数的奇偶性判断； 学情分析学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的知识储备，并能进行简单的特殊到一般的推导。 课前准备对称的图片和函数奇偶性的PPT 教学环节教学内容学生活动教学方 法 导入新授 一、创设情景，兴趣导入 出示一组轴对称和中心对称的图片 给出一组函数图像，根据图像对称性认识偶函数和 奇函数 二、动脑思考、探索新知 1．偶函数 探究1．观察函数 2 ) (x x f=的图象 （1）.求值并观察 f (-x) 与 f (x)的规律: f (1) = ；f (-1) = ； f (2) = ；f (-2) = ； f (a) = ；f (-a) = ； 关系：) (x f-______) (x f （2）.思考图像有何对称的特征？ 这类函数就是偶函数,具体定义和性质如下: 一般地，如果函数) (x f的定义域关于原点对称， 并且对定义域内任意一个值x，都有) ( ) (x f x f= -， 观察并回 答 回答 结果 通过图片 引起学生 的兴趣， 培养学生 的审美 观，激发 学习兴 趣。 从熟悉的 函数入 手，符合 学生的认 知规律 从“形” 第四讲 函数的奇偶性 一、知识要点： 1、函数奇偶性定义： 如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； 如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法 （1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。 (2) 利用图像判断函数奇偶性的方法： 图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数， （3）简单性质： 设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 二、基础练习： 1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则f (x )，g (x )均为偶函数,h (x )一定为偶函数吗？ 反之是否成立？ 2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ①y =f (|x |); ②y =f (-x ); ③y =x ·f (x ); ④y =f (x )+x . 3.设函数若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 4.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2 -2x ，则在x<0上f (x )的表达式为 5. 设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 f (x 1)与f (-x 2)的大小关系是 三、例题精讲： 题型1： 函数奇偶性的判定 例1. 判断下列函数的奇偶性： ① x x x x f -+-=11)1()(,②|4||3|y x x =++-,③22(0)()(0)x x x f x x x x ?+??④2211)(x x x f --= 变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数： ① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）。 必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号） 1.3.2函数的奇偶性 教学目标：理解函数的奇偶性 教学重点：函数奇偶性的概念和判定 教学过程： 1、通过对函数x y 1=，2x y =的分析，引出函数奇偶性的定义 2、函数奇偶性的几个性质： （1）奇偶函数的定义域关于原点对称； （2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； （3）)()()(x f x f x f ?=-是偶函数，)()()(x f x f x f ?-=-是奇函数； （4）0)()()()(=--?=-x f x f x f x f , 0)()()()(=-+?-=-x f x f x f x f ； （5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； （6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 3、判断下列命题是否正确 (1)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。 (2)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如 , ，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且 ，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。 （3）是任意函数，那么与 都是偶函数。 此命题错误。一方面，对于函数 ， 不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言， 不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数 是偶函数。 函数的奇偶性与周期性 1.(文)(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R 上的偶函数( ) A ．y ＝x 2－2x B ．y ＝2x C ．y ＝cos2x D ．y ＝1|x |－1 (理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是 ( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1| C ．f (x )＝12(a x ＋a －x ) D ．f (x )＝ln 2－x 2＋x 2．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f (x )的零点共有( ) A ．1005个 B ．1006个 C ．2009个 D ．2011个 3．(文)(2011·全国理)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时， f (x )＝2x (1－x )，则f (－52 )＝( ) A ．－ 12 B ．－ 14 (理)(2011·兰州诊断)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f ?x ? ，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f ＝( ) A ． B ．－ C ． D ．－ 4．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3 5 ．函数y ＝log 22－x 2＋x 的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y ＝x 对称 6．奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f ?x ?－f ?－x ?x <0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1) 7．(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示， 则不等式f ?x ?g ?x ? <0的解集是________． 8．(文)函数f (x )＝????? x －1 x >0a x ＝0x ＋b x <0是奇函数，则a ＋b ＝________. (理)若函数f (x )＝a －e x 1＋a e x (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________． 1．3函数的基本性质-----奇偶性 （一）教学目标 1．知识与技能： 使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性. 2．过程与方法： 通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力. 3．情感、态度与价值观： 通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质. （二）教学重点与难点 重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断. （三）教学方法 应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固. （四）教学过程 一．复习与回顾 1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？ 2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象. 3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2， x=±1 2 ，…的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函 数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (–x) = –f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立. 二．新课讲授 1、奇函数、偶函数的定义： 奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (–x) = –f (x)， 则这个函数叫奇函数. 偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (–x) = g (x)，则这个函数叫做偶函数. 问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ 强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 . 问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称. 问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题： （1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？ 点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论. （2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 2、奇函数与偶函数图象的对称性： 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 3、举例分析 《函数的奇偶性》 一、教材分析 1．教材所处的地位和作用 “奇偶性”是人教A版第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。 奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的及入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性。从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。 2．学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题． 3．教学目标 基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标： 【知识与技能】 1．能判断一些简单函数的奇偶性。 2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。 从课堂反应看，基本上达到了预期效果。 4、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和几何意义。 几年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验x f x f= - -或 = - f ) ( ) ( ) ( f x (x ) 成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。 难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。 由于，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。 二、教法与学法分析 1、教法 根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。教学中，精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题 7-8．函数的单调性和奇偶性 【知识要点归纳】 一.函数的单调性 1.定义：对于函数)(x f 的定义域M 内某个区间上的任意．． 两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x 2x 时，都有)(1x f )(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数，有的书上用符号↑；⑵若当1x 时，都有)(1x f )(2x f ,则说 )(x f 在这个区间上是减函数. 有的书上用符号↓ 2.判断方法 （1）图象法：图像的平移变换 （2）定义法： (3)常见结论 二.函数的奇偶性 1.定义 （1）奇函数：若对于定义域内的任何一个x ，都有 ，则这个函数就是奇函数 （2）偶函数：若对于定义域内的任何一个x ，都有 ，则这个函数就是偶函数 2.判断方法： （1）定义法 （2）图象法 【经典例题】 例1：已知函数)(x f =22++x x （R x ∈），证明函数y =)(x f 在R 上是单调递增函数. 例2：已知单调性求参数范围 （1）若f(x)=(2m －1)x + n 在区间(－∞，+∞)上是单调递减函数，则m 的取值范围是( ) A) 12m > B) 12m < C) 1 2 m = D) 0n > （2）若f(x)=x 2 －2ax+c 在区间(1，+∞)上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A) a<1 B) a ≤1 C) a>1 D) a<1，且c<0 例3：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=3x 4 + (2)f(x)=+ （3）f(x)=+ 例4：已知奇偶性求参数的值 （1）已知函数2 ()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b += （2）设函数f （x ）=1 22)12(+-+x x a 是奇函数，则a 的值为 . 例5：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3 f 的x 取值范围是？ 例6. 已知 课时教学流程 课时教学流程☆补充设计☆ 形. 例1判断下列函数是不是奇函数： 1 3 ⑴ f(X)= -；(2) f (X) = - x ; 入 3 5 7 (3) f (x) = x+ 1; (4) f(x) = x+ x + - + x . 1 解(1)函数f (x)= -的定义域 x A = {x | x 丰 0}, 所以当x ￡A时，一x ￡A. 1 1 因为f (—x)=——f (x), —x x 1 所以函数f (x) = x是奇函数. x (2) 函数f (x)=—x3的定义域为R, 所以当x € R时，一x € R . 因为f( —x) = —(—x)3= x3= —f (x), 所以函数f (x)=—x3是奇函数. (3) 函数f (x)= x+ 1的定义域为R, 所以当x ER时，一x ER. 因为f (—x) = —x+ 1 —f (x) = —(x+ 1) = —x—1 , 所以f (—x) M —f (x). 所以函数f (x)= x+ 1不是奇函数. (4) 函数f (x)= x+ x3+ x5+ x7的定义域 为R，所以当x € R时，一x € R. 因为f (—x) = —x—x3—x5—x7 =—(x+ x3+ x5+ x7) =—f (x). 所以函数f(x) = x+ x3+ x5+ x7是奇函数. 练习1教材P 73,练习A组第1题. 二、偶函数 1. 定义. 如果对于函数y = f (x)的定义域A内的 任意一个x都有 f (—x) = f (x), 则这个函数叫做偶函数. 2. 图象特征. 偶函数的图象都是以y轴为对称轴的轴 教师出示例题. 教师首先请学生讨论：判断奇函数 的方法. 学生尝试解答例题(1)，对学生的 回答给以补充、完善，师生共同总结判 断方法： S1判断当淀A时，是否有一x WA,即函数的定义域对应的区间是否关 于坐标原点对称； S2当S1成立时，对于任意一个 x^A，若f( —x) = —f(x)，则函数y= f(x)是奇函数. 板书解题过程； 其间穿插师生问答. 老师强调，引起学生重视. 学生模仿练习. 学生探究：偶函数. 师：结合函数f (x) = x2的 图象，出示自学提纲： 1?偶函数的定义是什么？ 例题根据各种不同 情况进行设计，作了层次 处理. 在教师引导讲解例 题后紧跟相应练习，使学 生对每一类型都有比较深 刻印象，符合学生认知心 理，为学生更好地掌握定 义奠定基础. 规范解题步骤，使 学生模仿形成技能. 通过例题与练习的 解答，加深对奇函数定义 的理解，并将定义运用 到解题中. 通过类比、自学， 培养学生的理性思维，提 高学生的学习能力，加强 学生间的合作交流. 在掌握了奇函数判 断方法的基础 第四节函数的奇偶性与周期性 高考概览：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． [知识梳理] 1．函数的奇偶性 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． [辨识巧记] 1．一条规律 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 2．两个性质 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3．函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)． (2)若f(x＋a)＝1 f(x) ，则T＝2a(a≠0)． (3)若f(x＋a)＝－1 f(x) ，则T＝2a(a≠0)． [双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．() (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.() (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．() (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．() [答案](1)×(2)×(3)√(4)√ 2．下列函数中，为奇函数的是() A．y＝3x＋1 3x B．y＝x，x∈{0,1}函数的奇偶性公开课优秀教案(比赛课教案)
2高一数学函数的奇偶性(1对1)
高中数学-函数的奇偶性说课稿
函数的奇偶性求解析式并求值 (2)
3.1.4 函数的奇偶性
《函数的奇偶性》公开课课程教案
最新函数的奇偶性的经典总结
函数的奇偶性
函数的奇偶性公开课教案
第4讲 函数的奇偶性(学案)
1.3.2 函数的奇偶性
1-4 函数的奇偶性与周期性
函数的基本性质奇偶性教案2
函数的奇偶性教案
函数的单调性和奇偶性(一、二)
中职数学基础模块3.1.4函数的奇偶性教学设计教案人教版
第四节 函数的奇偶性与周期性