(完整word版)初中数学总复习尺规作图
尺规作图
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
①作射线AP；
②在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.
作法：
①分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同
线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；
②连接PQ交MN于O．
则点O就是所求作的ＭＮ的中点。
（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）
题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
①以O为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA，OB于M，N；
②分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN
的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
③作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）
题目五：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
①作线段AB = c；
②以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心
a为半径作弧与前弧相交于C；
③连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m，n, ∠α.
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.
作法：
①作∠A=∠α；
②在AB上截取AB=m ,AC=n；
③连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目七：已知两角及夹边作三角形。
已知：如图，∠α，∠β，线段m .
求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：
①作线段AB=m；
②在AB的同旁作∠A=∠α，作∠B=∠β，
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所求作的图形（三角形）。
C
B
A
C
B
A
A
一、尺规基本作图归纳 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作角的平分线； 4、作线段的中垂线；
5、已知三边,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形;
6、已知底边和底边上的高作等腰三角形；
7、过直线上一点作直线的垂线；
8、过直线外一点作直线的垂线. 例题：
1、如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定这个圆形零件的半径.
2、 如图:107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C 和D,现要修建一个货站P,使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
3、 三条
公路两两
相交，交点分别为A ，
B ，
C ，现计划建一个加油站，
要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？
4、过点C 作一条线平行于AB ；
5、过不在同一直线上的三点A 、B 、C 作圆O ；
6、过直线外一点A 作圆O 的切线。
C
B
A
二、几何画图：
1、只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图: 1）画等腰三角形ABC 的对称轴: 2)画∠AOB 的对称轴
2、有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.
3、某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计至少三种不同的方案，分别画在下面正方形图形上（用尺规作图或画图均可，但要尽可能准确些、美观些）．
4、某村一块若干亩土地的图形是ΔABC ，现决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供至少两种分法。要求：画出图形，并简要说明分法。
5、如图所示，在正方形网格上有一个三角形ABC. ①作△ABC 关于直线MN 的对称图形(不写作法)； ②若网格上的最小正方形的边长为1.求△ABC 的面积.
6、如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”． ①求图中四边形ABCD 的面积；
②在图中方格纸上画一个格点△EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．
7、如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的( ) A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
D
C
B
A
6题
7题
C
B
B
8、某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛。
（1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图）内确定圆形花坛的圆心P ； （2）若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积。
9、如图，平行四边形纸条ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点。张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF 沿EF 翻折，得到一个V 字形图案。
(1)请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE ；(用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹) (2)已知∠A=63°，求∠B1FC 的大小。
10、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB 画在方格纸上，请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB 的平分线。
11、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图,保留作图痕迹)
12、某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
（1）按圆形设计，利用图1
画出你所设计的圆形花坛示意图；
10题
8题
（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； （3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由 .
13、作一个半圆，使圆心在直角三角形ABC 直角边AC 上，且与斜边AB 直角边BC 都相切 14、问题探究： （1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．
点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形
ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．
的点P ，并说明理由． （3）问题解决：如图③，现在一块矩形钢板
43ABCD AB BC ==，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大
的APB △和CP D '△钢板，且60APB CP D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出
APB
△的面积 （结果保留根
号）． 14．（本
题满分12分） 解：（1）如图①， 连接
AC BD 、交于点P ，则90APB ∠=°．
∴点P 为所求． ······················································· （3分）
（2）如图②，画法如下： 1）以
AB 为边在正方形内作等边ABP △；
2）作ABP △的外接圆O ⊙，分别与
AD BC 、交于点E F 、．
Q 在O ⊙中，弦AB 所对的?APB 上的圆周角均为60°，
?EF ∴上的所有点均为所求的点P ． ·························· （7分）
（3）如图③，画法如下： 1）连接AC ；
2）以
AB 为边作等边ABE △；
3）作等边ABE △的外接圆O ⊙，交
AC 于点P ；
D C B A
①
D C
B
A
③
D C B
A ②
（第14题图）
D
C
B A
①
P
②
③
（第14题答案图）
4）在
AC 上截取AP CP '=．
则点P P '、为所求． ··············································· （9分） （评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点B 作BG AC ⊥，交
AC 于点G ．
Q 在Rt ABC △中，43AB BC ==，．
5AC ∴==．
12
5
AB BC BG AC ∴=
=g ． （10分）
在Rt ABG △中，4AB =，
16
5
AG ∴==
． 在Rt BPG △中，60BPA ∠=°，
12tan 60535
BG PG ∴=
=?=°．
∴165AP AG PG =+=
1116122255APB
S AP BG ?∴==?+?= ??
g △． （12分）
尺规作图
〖考试内容〗
基本作图.利用基本作图作三角形.过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
〖考试要求〗
①能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.
②能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.
③能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.
〖考点复习〗
[例1]如图，已知△ABC，∠C＝90o。按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹）；
①作∠B的平分线，与AC相交于点D；
②在AB边上取一点E，使BE＝BC；
③连结ED。
（2）根据所作图形，写出一组相等的线段和一组相等的锐角。（不包括BE＝BC，∠EBD＝∠CBD）
[例2]如图，∠AOB内有两定点C、D，求作：一点P使PC=PD，且P到∠AOB的两边之距相等。要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
[例3]要在公路旁建一所小学，使A村、B村到小学的距离之和最小，请作出小学的位置。
[例4]如图，在大圆中有一个小圆O。
（1）确定大圆的圆心；
（2）作直线l，使其将两圆的面积均二等分。
[例5]已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.
（1）将图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1，请你在图1中画出△A1B1C1. （2）在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形.
A
〖考题训练〗
1．下列关于作图的语句中正确的是（）
A. 画直线AB＝10厘米.
B. 画射线OB＝10厘米.
C. 已知A、B、C三点，过这三点画一条直线.
D. 过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.
2．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正
方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画
出图形．
（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2 2 ；
（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；
（3）以（1）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数．
3．小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。
图2
F
D E
A B
C
图1
4．如图，平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，张老师请同学将纸条的下半部分□ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案。
（1）请你在原图中画出翻折后的图形□A'B'FE
；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）（2）已知∠A=630，求∠B′FC的大小。
5．如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
理由是：
6．如图，已知正方形ABCD的面积为S。
（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，
点D1和点D关于点A对称（只要画出图形，不要求写出作法）；
（2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；
（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四边形，面积为S2，则S1与S2是否相等？为什么？
例5．如图，A为半圆上一个三等分点，B为
⌒
AN中点，MN为直径，P为MN上一动点，在MN上求作一点，使
PA＋PB的距离最短，并求PA＋PB的最小值。（）
A、1
B、
2
2C、 2
D、 3 －1
〖课后作业〗
①．请在图中作出△ABC的角平分线BD（要求保留作图痕迹）。
②．用尺规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。为保护环境，市政府计划在连结A、B两居民区的公路北侧1500米的海边修建一座污水处理厂，设计时要求该污水处理厂到A、B两居民区的距离相等。
（1）若要以1∶50000的比例尺画设计图，求污水处理厂到公路的图上距离；
（2）在图中画出污水处理厂的位置P。
③．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（4，4），则该圆 弧所在圆的圆心坐标
为
。
④．如图，有一条小船，
（1）若把小船平移，使点A 平移到点B ，请你在图中画出平移后的小船；
（2）若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后，再航行到点B ，但要求航程最短，试在图中画出点P 的位置。
1、（11·贵港）（本题满分6分）
按要求用尺规作图（只保留作图痕迹，不必写出作法）
（1）在图（1）中作出∠ABC 的平分线；（2）在图（2）中作出△DEF 的外接圆O ．
【答案】如图，（每画对一个得3分，共6分）
A
B
C
图(1)
F
D
E
图(2)
2．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画
射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于___________．
3、（
2011?重庆）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M 到广场
的两个入口A 、B 的距离相等，且到广场管理处C 的距离等于A 和B 之间距离的一半，A 、B 、C 的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M 的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
考点：作图—应用与设计作图。 专题：作图题。
分析：易得M 在AB 的垂直平分线上，且到C 的距离等于AB 的一半．
解答：解：作AB 的垂直平分线，以点C 为圆心，以AB 的一半为半径画弧交AB 的垂直平分线于点M 即可．
点评：考查设计作图；得到点M 是AB 的垂直平分线与以点C 为圆心，以AB 的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键．
(第11题) B
A M
O