惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

截面图形的几何性质

一.重点及难点：

(一).截面静矩和形心

1.静矩的定义式

如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即

ydA

dSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为

??==A

y ydA

Sx xdA

S （I-1） 2.形心与静矩关系图I-1

设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0

S y x

= ， A S x y = （I-2）

推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心

设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴

的静矩分别为

∑∑∑∑========n

i n

i i

i xi x n

i i

i n

i yi y y A S S x A S 1

11S （I-3）

截面图形的形心坐标为

∑∑===

i i

i A

A x 1

1 ， ∑∑===

i i

i A

A y 1

1 （I-4）

4.静矩的特征

(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

（二）.惯性矩惯性积惯性半径

1. 惯性矩

定义设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为

?=A

p dA I 2ρ （I-5）

图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为

?=A

y dA x I 2 ， dA y I A

x ?=2 （I-6）

惯性矩的特征

（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐

标轴定义的。

（2）极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。

（3）极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。

（4）图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原

点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即

??+=+==A

x y A

p I I dA y x dA I )(222ρ （I-7）

（5）组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，

分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即

∑==n i i I I 1

ρρ ，∑==n i yi y I I 1

， ∑==n

i xi I Ix 1

（I-8）

图I-2 图I-3

2. 惯性积

定义设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对y 轴和

x 轴的惯性积定义为

?=A

xy xydA I （I-9）

惯性积的特征

（1）界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。（2）惯性积的单位为4m 。

（3）惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有

一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。

（4）组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一

坐标轴的惯性积之和，即

∑==n

i xyi xy I I 1 （I-10）

3. 惯性半径

定义：任意形状的截面图形的面积为A （图I-3）,则图形对y 轴和x 轴的惯性半径分别定义为

I i y y =

， A

I i x

x =

（I-11）惯性半径的特征

（1）惯性半径是对某一坐标轴定义的。（2）惯性半径的单位为m 。（3）惯性半径的数值恒取证之。

（三）.惯性矩和惯性积的平行移轴公式

平行移轴公式

b I I A a I I yC y xC x 2

2+=+= （I-12）

abA I I xCyC xy += （I-13）

平行移轴公式的特征

（1）意形状界面光图形的面积为A （图（I-4）；C C y x ，轴为图形的形心轴；x ，y 轴为分别与C C y x ，形心轴相距为a 和b 的平行轴。（2）两对平行轴之间的距离a 和b 的正负，可任意选取坐标轴x ，y 或形心C C y x ，为参考轴加以确定。

（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。

x 图I-4

(四)、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩

转轴公式 αα2sin 2cos 221xy y

x y

x x I I I I I I --++= αα2sin 2cos 2

1xy y

x y

x y I I I I I I +--

αα2cos 2sin 2

11xy y

x y x I I I I +-=

转轴公式的特征

(1) 角度α的正负号，从原坐标轴x,y 转至新坐标轴11,y x ，以逆时

针转向者为正（图5）。

(2) 原点O 为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无

关。

(3) 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯

性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即 P y x y x I I I I I =+=+11

主惯性轴、主惯性矩任意形状截面图形对以某一点O 为坐标原点的坐

标轴0x 、0y 的惯性积为零（00

0=y x I ），则坐标轴0x 、0y 称为图形通过

点O 的主惯性轴(图6)。截面图形对主惯性轴的惯性矩0

,y x I I ，称为

主惯性矩。

主惯性轴、主惯性矩的确定

(1) 对于某一点O ，若能找到通过点O 的图形的对称轴，则以点

O 为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点O 的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形（或组合图形），往往已知其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点o

的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。

(2) 若通过某一点o 没有图形的对称轴，则可以点o 为坐标原点，

任作一坐标轴x ，y 为参考轴，并求出图形对参考轴x ，y 的惯性矩y x I I ,和惯性积xy I 。于是，图形通过点o 的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为

x xy I I I --

=22tan 0α （I-16）

0022xy y x y

x y x I I I I I I I +???

? ?

?-±+= (I-17) 主惯性轴、主惯性矩的特征

（1）图形通过某一点O 至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势图形对通过同一点O 所有轴的惯性矩中最大和最小。（2）主惯性轴的方位角0α，从参考轴x ，y 量起，以逆时针转向为正。

（3）若图形对一点o 为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点o 的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。（4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。

图I-5 图I-6

二.典型例题分析

例I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。

解：计算此截面对于x 轴的静矩x S 时，可以去平行于x 轴的狭长条(见图)作为面积元素（因其上各点的y 坐标相等），即dy y b dA )(=。由相似三角形关系，可知:

)()(y h h b y b -=

,因此有dy y h h

dA )(-=。将其代入公式（I-1）的第二式，即得 ????

=-=-==A

h h h x bh dy y h b ydy b dy y h h b ydA S 002

)(

b(y)

0 x

b 例题I-a 图

解题指导：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。