人教版小学数学六年级下册第五单元【推荐】《数学广角—鸽巢问题》优质教案

数学广角—鸽巢问题

教材分析

例1：本例描述“抽屉原理”的最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。教材呈现了两种思考方法：第一种方法是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放1支，这时剩下1支。剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。

通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。

例2：本例描述“抽屉原理”更为一般的形式，即“把多于（是正整数）个物体任意分放进个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体”。教材首先探究把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书的情形。当数据变得越来越大时，如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，对于学生来说是有困难的。这时需要学生用到“反证法”这样一种思想，即如果所有的抽屉最多放2本，那么3个抽屉里最多放6本书，可是题目中是7本书，还剩1本书，怎么办？这就使学生明白只要放到任意一个抽屉里即可，总有一个抽屉里至少放进3本书。通过这样的方式，实际上学生是在经历“反证法”的这样一个过程。在具体编排这道例题的时候，在数据上进行了一个很细微的调整。在过去，由于数据的问题，学生会得到不太正确的推论，比如说如果是两个抽屉的话，最后得到的余数总是1，那么学生很容易得到一个错误的结论：总有一个抽屉里放进“商+余数”本书（因为余数正好是1）。而实际上，这里的结论应该是“商+1”本书，所以教材在这里呈现了8除以3余2的情况，这时候余数是2，可是最后的结论还是“把8本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了3本书”。通过这样的数据方面的调整，可以让学生得到一个更加正确的推论。

例3：跟之前教材的编排是一样的，是抽屉原理的一个逆向的应用。要解决这个问题，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一个抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化为“抽屉问题”。教材通过学生的对话，指出了可以通过先猜测再验证的方法来解决问题，也反映了学生在解决这个问题时可能会遇到的困难。很多学生误以为要摸5次才可以摸出球，这可以让学生通过实验来验证。

教学目标

1、知识与技能

知道什么是“鸽巢问题”并掌握解决“鸽巢问题”的方法。

2、过程与方法

通过探究“鸽巢问题”的解决过程，掌握数形结合的学习思想。

3、情感态度和价值观通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考问题的能力。

教学重难点

把具体问题转化成“鸽巢问题”并总结“鸽巢问题”解决的方法。

教学准备

多媒体课件

教学过程

一、情景引入（课件展示）

我给大家变一个“魔术”：一副扑克牌，抽掉大小王之后还有52张牌，现在你们5个人每人随意抽一张，我知道至少有两张牌是同花色的，你相信我吗？

二、导入新课

例1、把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？

学生动手操作：

方法一：把各种情况都摆出来。（列举法）

方法二：把4分解成3个数。（分解法）

例1提出的问题就是“鸽巢问题”，4支铅笔就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。

例2、把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢？如果有8本书会怎样呢？10本书呢？

方法一：把7本书放进3个抽屉里，共有8种情况，每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种分法中最多那个数最小是3，即总有1个抽屉至少放进3本书。

方法二：如果每个抽屉最多放2本，那么3个抽屉最多放6本，可是题目要求放7本，那么剩下的那本书要放在3个抽屉中的其中一个中。所以7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。

8÷3＝2余2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个抽屉都变成3本；放进其中一个抽屉里，这个抽屉就变成4本。因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽

屉里至少放进3本书。

10÷3＝3余1本，把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。

问题：你是这样想的吗？你有什么发现？

例3、盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？

思考：只摸2个球就能保证这2个球同色吗？当摸出的这两个球正好是一红一蓝时就不能同色。

解：把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为3÷2＝2余下1，所以摸出3个球时，至少有2个是同色的。

结论：只要摸出的球数比它们的颜色种数多1，就能保证有两个球同色。

三、即时练习

1、5只鸽子飞进了3只笼子，总有一只鸽笼至少飞进了2只鸽子，为什么？

解：3只鸽子分别飞入3只笼子中，剩下的2只分别放入其中2只鸽笼中，那么这两只鸽笼中都有2只鸽子；剩下的2只放入其中一只鸽笼里，那么这只鸽笼就有3只鸽子。所以5只鸽子飞进了3只笼子，总有一只鸽笼至少飞进了2只鸽子。

2、你理解上面扑克魔术的道理了吗？

解：扑克牌有4种花色，看做4个“鸽巢”，5个人每人抽一张，抽了5张，看做5只“鸽子”；问题就转化为“5只鸽子飞入4个鸽巢，总有一个鸽巢飞入了2只鸽子”。4只鸽子分别飞入4个鸽巢中，剩下的1只飞入其中一个鸽巢，那么总有一个鸽巢飞入了2只鸽子。

3、11只鸽子飞进了4只鸽笼，总有一只鸽笼至少飞入了3只鸽子，为什么？

解：11÷4＝2余3只，分别放进其中3只鸽笼中，使其中3只鸽笼都变成3只；放进其中2只鸽笼里，这两只鸽笼中一只鸽笼变成4只鸽子，另一只鸽笼里变成了3只鸽子；放进其中一个鸽笼里，这个鸽笼利就变成了5只鸽子。所以11只鸽子飞进了4只鸽笼，总有一只鸽笼至少飞入了3只鸽子。

4、5人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人，为什么？

解：5÷4＝1余下1人，这个人坐在其中一个椅子上，那么这把椅子上坐了2个人。所以5人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。

5、向东小学六年级共有367名学生，其中六（2）班有49名学生。（1）六年级里至少有2个人的生日是同一天。（2）六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。他们说的对吗？

为什么？

解：（1）一年最多366天。假设367个学生中366个学生的生日在不同的一天：367÷366＝1余1个学生，可以看做鸽巢问题，所以六年级里至少有2个人的生日在同一天。

（2）一年有12个月。假设49个学生的生日分别在不同的月份：49÷12＝4余1人，看做鸽巢问题，所以六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。所以他们的说法正确。

6、把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？

解：看作鸽巢问题，5÷4＝1余1，至少取5个球，就能保证取到两个颜色相同的球。拓展思考

把红、蓝、黄3种颜色的筷子各3根混在一起，如果让你闭上眼睛，每次最少拿出几根才能保证一定有2根同色的筷子？如果要保证有2双筷子呢？

解：把红、黄、蓝看作3个鸽巢：4÷3＝1余1，每次至少拿出4根能保证一定有2根同色的筷子。

保证有2双筷子：一次拿出5根时，因为每种颜色各有3根，当一种颜色的筷子拿了3根，其余2种颜色的筷子各拿1根，这时不能保证有2双筷子；一次拿出6根时，有以下情况：

红（黄、蓝）蓝（红、黄）黄（蓝、红）222

321

330这时能保证至少有2双筷子。所以至少拿出6根能保证有2双筷子。

习题巩固

1、随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同，为什么？

解：一共有12个属相。13÷12＝1余1，所以他们中至少有2个人属相相同。

2、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？

解：当5镖全部低于9环时，成绩最多是5×8＝40环，而张叔叔得了41环，那么其中一环必定要大于8环，即至少有一镖不低于9环。

3、给一个正方体木块的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色。不论怎么涂至少有3个面涂

的颜色相同，为什么？

解：蓝（黄）色涂1个面时，黄（蓝）色涂5个面；蓝（黄）色涂2个面时，黄（蓝）色涂4个面；蓝（黄）色涂3个面时，黄（蓝）色涂3个面。所以不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。

4、任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数，为什么？

解：已知：偶数与偶数的和是偶数，奇数与奇数的和是偶数，自然数分为偶数、奇数。那么找出3个自然数只有两种情况：两个偶数，一个奇数；一个偶数，两个奇数。这两种情况都满足有2个数的和是偶数。

本课小结

1、把具体问题转化成“鸽巢问题”。

2、总结“鸽巢问题”解决的方法。