高一教案2.1.3 函数-映射

课题：2.1.3 函数－映射

教学目的：

（1）了解映射的概念及表示方法

（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.

（3）会结合简单的图示，了解一一映射

的概念

教学重点：映射的概念

教学难点：映射的概念

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于

因此，要联系前一章的内容

和函数的概念来学习本节，映射是是两

个集合的元素与元素的对应关系的一个

映射中涉及的“原象的集合A”

“象的集合B”以及“从集合A到集合

B的对应法则f”可以更广泛的理解集合

A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向

着内容的增多和深入，可以逐渐加深对

映射概念的理解，例如实数对与平面点

集的对应，曲线与方程的对应等都是映

射的例子

念

教学过程：

一、复习引入：

在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）

①看电影时，电影票与座位之间存在者一

②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应

③坐标平面内任意一点 A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应

④任意一个三角形，都有唯一的确定的面

⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一

对应

函数的概念

本节我们将学习一种特殊的对应—映

射.

二、讲解新课：看下面的例子：

设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，

设A ，B 分别是两个有限集

求平方B

说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同

特点是：对于左边集合A 中

的任何一个元素，在右边集合B

映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合

A中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，

这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫

做集合A到集合B的映射记作：B

f→

象、原象：给定一个集合A到集合B的

映射，且B

∈,，如

a∈

果元素a和元素b对应，则元素b 叫做元素a的象，元素a叫

做元素b的原象

关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）

①“A到B”：映射是有方向的，A到B

的映射与B到A的映射往往不是同

一个映射,A到B是求平方，B到A

则是开平方，因此映射是有序的；

②“任一”：就是说对集合A中任何一

个元素，集合B中都有元素和它对

应，这是映射的存在性；

③“唯一”：对于集合A中的任何一个

元素，集合B中都是唯一的元素和

它对应，这是映射的唯一性；

④“在集合B中”：也就是说A中元素

的象必在集合B中，这是映射的封

闭性.

指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B

的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3

思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？

回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都

有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集

合B的映射

思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?

一对一，多对一是映射但

辨析：

①任意性：映射中的两个集合A,B可以是

数集、点集或由图形组成的集

合等；

②有序性：映射是有方向的，A到B的映

射与B到A的映射往往不是同

一个映射；

③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；

④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；

⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象

都必须是B中的元素，不要求B

中的每一个元素都有原象，即A

中元素的象集是B的子集.

映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；

三、例题讲解

例1 判断下列对应是否映射？有没有对应

法则？

e a

b f b f

b f

c g c g

c g

(是) （不是）（是）

是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的

例2下列各组映射是否同一映射？

b f b

f b f

c g c

g c g

例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，

对应法则1

→x

（2）设}1,0{

A，对应法则

,*=

f→

得的余数

除以2

（3）N

A=，}2,1,0{=B，除所得的余数

f→

被3

（4）设

1,31,21,1{},4,3,2,1{==Y X 取倒数x x f →: （

5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，

的最大质数小于x x f →: 四、练习： 1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集

合A 中的元素x 按照对应法则“乘2加1”和集合B 中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）

2．设A=N*，B={0，1}，集合A 中的元

素x 按照对应法则“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A 中没有象））

3．A=Z ，B=N*，集合A 中的元素x 按

照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（是）

4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A

中的元素x 按照对应法则“f ：a τ b=(a -1)2”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（是）

5．在从集合A 到集合B 的映射中，下列

说法哪一个是正确的？

（A）B中的某一个元素b的原象可能不止一个

（B）A中的某一个元素a的象可能不止一个

（C）A中的两个不同元素所对应的象必不相同

（D）B中的两个不同元素的原象可能相同

6．下面哪一个说法正确？

（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射

（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射

（C）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能

建立一个映射

（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立

一个映射

7．集合A=N ，B={m|m=1

212+-n n ,n ∈N},f:x →y=1212+-x x ，x ∈A ，y ∈B.请计算在f 作用下，象119，13

11的原象分别是多少.( 5，6.) 分析：求象119的原象只需解方程1212+-x x =11

9求出x

即可.同理可求1311的原象. 五、小结本节课学习了以下内容：对应、映射概念，特征、要素

六、课后作业：课本第52页习题2.1：7，8

七、板书设计（略）

八、课后记：

高一函数的概念教案

教学内容第一部分知识梳理知识点一，函数的概念 1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：， x A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示．课题名称函数及其表示学科数学年级高一学校雷锋中学课时时长（分钟） 120分钟知识点函数的概念教学目标会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. 能理解函数与映射的关系与区别。教学重点函数概念的理解教学难点对于求值域问题能灵活运用各种方法解题

区间表示： {x|a≤x≤b}=[a，b]；；； . 知识点二、映射与函数 1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 注意： (1)A中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a的象记为f(a). 2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. 三、规律方法指导 1.函数定义域的求法 (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. (3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和

《变量与函数》第2课时教学设计

《变量与函数》教学设计第2课时进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念． 1．进一步体会运动变化过程中的数量变化； 2．从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念．概括并理解函数概念中的对应关系．多媒体：PPT课件、电子白板. 一、观察思考，分析变化问题1 下面变化过程中，是否包含两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的路程为s km；（2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出 x张票，票房收入为y 元；（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为 r ，面积为 S ；（4）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为 x，它的邻边长为 y． [活动说明与建议]说明：本问题主要是给出具体事例让学生认识并抽象得到函数的概◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆ ◆教学过程

念，函数概念的抽象应循序渐进，首先让学生知道这些事例是一个变换的过程，其次这些变换过程中都含有两个变量，这两个变量之间存在着某种联系，最后由教师引导通过具体的数据，发现当给定一个变量的值时，有唯一的另一个变量的值与之对应，这种对应关系每个问题都不同. 建议：在教师的引导下，充分的让学生通过实例感知函数，感知这种对应关系. 【归纳】上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一的值与之对应. 二、观察思考，再次概括问题2：一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间存在上面那样的关系. （1）下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作 x 和 y，对于表中每一个确定的届数 x，都对应着一个确定的金牌数y 吗？（2）如图是北京某天的气温变化图，你能根据图象说出某一时刻的气温吗？问题3：综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．如果当 x =a 时，对应的 y =b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值．三、初步应用，巩固知识：

1.2 函数及其表示教学设计教案

教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识． 2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域； 3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性. 2. 教学重点/难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 3. 教学用具多媒体 4. 标签函数及其表示教学过程（一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题. 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点； 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．（二）研探新知 1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意： ①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

高数同济7版教案第一章函数与极限

广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班使用教材：高等数学同济大学第7版教研室：数学与应用数学教研室授课教师: 、课程教学计划表、教案正文第一章函数与极限

（一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。三)教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节映射与函数一、映射 1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.

1.2.1函数的概念(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)

1．2．1函数的概念（教学设计）教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。教学重点：理解函数的概念教学难点：函数的概念教学过程：一、复习回顾，新课引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？问题2：x y =与x x y 2 =是同一函数吗？观察对应： 300450600 90212 22 3941 1-12-23-3 3-32-21-1 149 123 123456 (1) (2)(3)(4) 开平方求正弦求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、师生互动，新课讲解：（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合 {}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。

《变量与函数》教学设计

课题：19.1.1《变量与函数》教学设计

一、教学任务分析教学目标知识技能掌握函数的概念，初步理解对应的思想，能正确地判断一些关系式是否是函数，能列出简单的函数关系式．数学思考通过对实际问题的分析、对比，归纳函数的概念，并在此基础上理解掌握函数的概念．解决问题理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式．情感态度学生通过对问题的分析，感受现实生活中函数的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约．教学重点理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式．教学难点领悟函数概念；能把实际问题抽象概括为函数问题．教学方法探究发现、启发式教学．教学手段多媒体辅助教学．二、教学准备课件、学案、笔记本电脑、焟烛、网络等三、教学流程四、教学过程 1、导入新课（1）复习变量、常量的概念；（2）利用网络，了解当日天气情况。进入“南康整点天气实况”，导入新课思考概念详解探究拓展延伸例题讲解小结提高课堂巩固课后思考

从气温、湿度、风向风力和降水量等几个方面了解变化关系。时间/h 9 11 13 15 …… 气温/0C …… （3）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶里程为S千米，行驶时间为t 时，其中变量是．用含t的式子表示S：．共同特征：1．两个变量；２．当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的对应值. 2、思考：（1）.下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x 表示时间，纵坐标y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量，在心电图中，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的对应值吗？x y

函数及其表示方法教案

函数及其表示方法一、目标认知学习目标： (1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．难点: 对函数符号)(x f y =的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．二、知识要点梳理知识点一、函数的概念 1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：)(x f y =，x A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示．区间表示： {x|a ≤x ≤b}=[a ，b]；；； .

高一数学《函数的概念》教案

教案：§1.2.1函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题 1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题 1．求函数定义域课本P20例1 解：（略）说明： ○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； ○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2 解：（略）说明： ○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

变量与函数--教学设计

课题：19.1.1 变量与函数（第1课时）教学设计李新卫（湖北省武汉市经济技术开发区第四中学）一、内容和内容解析 1. 内容人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册：“19.1.1变量与函数”第1课时. 2. 内容解析本节内容为《一次函数》第一课时. 在学生学习了二元一次方程和找规律的基础上，学生对变量和常量已有一些模糊的认识. 通过生活实例的感悟，由具体到抽象，抽象出量的意义，并对量进行分类得出变化的量和不变的量，归纳出变量与常量的概念. 同时在讨论问题过程中，引出变量间的单值对应关系，体会建模思想，为学习函数的定义、函数的表达方式、函数的取值范围及函数的应用做出铺垫，为《一次函数》全章的学习打下基础. 根据以上的分析，本节课的教学重点确定为：通过列举生活实例，理解量的意义，逐步形成常量与变量的概念，并能指出实际问题中的常量与变量. 二、目标和目标解析 1. 目标（1）理解量的意义、常量与变量的概念，并能指出实际问题中的常量与变量；（2）在实际问题的探究过程中，感受生活中变量间的对应关系，学会分辨不同表达方式中的变量与常量，经历从具体到抽象、从感性认识到理性分析的思维过程，体会函数与方程、数形结合和分类讨论的数学思想，提升数学抽象和数学建模的核心素养. 2. 目标解析本节内容从学生熟悉的实际问题出发，让学生体会变量间的单值对应关系，感受一个变量随另一个变量的变化而变化，渗透自变量与函数的关系，从具体到抽象，通过表格、关系式及图象让学会生认识运动过程中的变量和常量概念，进而认识相关概念的联系和区别. 达成目标（1）的标志：在探究过程中，正确找到变量与常量，并找出变化规律；达成目标（2）的标志：在练习和拓展中，找到图表中隐藏的变量与常量，能读取不同的数量关系和表达方式. 三、教学问题诊断分析学生在字母表示数中，接触过当字母取值变化时，代数式的值随之变化，但学生对量的意义较为模糊.学生在生活中具有对两个量之间关联的体验，如气温随时间变化等，学生对变量与常量的定义理解困难不大，但是对变化中的单值对应关系及在变化过程中寻找变量与常量较难把握，特别是函数中的“唯一确定”仅局限于通过公式求出的唯一值，对不能用公式求出值的单值对应关系难以理解. 因此教学难点确定为：理解变化过程中的变量与常量，以及变量与常量的相对性.

函数与方程教案

第四章：函数应用 §1：函数与方程教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。教学目标：1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点：根据二次函数图像与x 轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。复习引入：同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a ≠0) 这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=－a b .②ax 2+bx+c=0(a ≠0) 这是一个一元二次方程，在对一元二次方程求解时我们会先用判别式△=b 2－4a c 来判断方程是否有实解。当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x 1≠x 2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x 1=x 2;当△＜0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=a ac b b 242-±-。③x 5+4x 3+3x 2+2x+1=0

我们知道这是一个一元五次方程，对于这样一个高次方程大家会不会求解？能不能知道这个方程是否有解？下面我们就来学习怎样判断一个给定方程的解是否存在的问题？（写标题）1.1利用函数性质判定方程解的存在一、例1：给出三个方程：x2-2x-3=0； x2-2x+1=0 ；x2-2x+3=0 分析：这三个都是简单的一元二次方程，我们可以通过判别式△来判断方程是否有解，若有解，也能很容易的求出。解：①△＞0 x 1=3，x 2 =-1；对应函数：f(x) = x2-2x-3 ②△=0 x 1= x 2 =1；对应函数：f(x) = x2-2x+1 ③△＜0 无实解；对应函数：f(x) = x2-2x+3 图像：提问：观察求出的三个方程的根与对应函数的图像有什么关系？总结：①一元二次方程的根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。 ②一元二次方程根的个数与对应函数图像与x轴交点的个数相等。对于函数图像与x轴的交点，我们来学习一个新的数学名词——函数零点。二、函数零点 1．概念：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个

函数的概念教案

【课题】函数的概念授课人：石磊班级：12金融2班时间：【教学目标】知识目标： (1) 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型； (2) 理解函数的概念及其构成要素； (3) 理解函数值的概念及表示. 能力目标： (1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力； (2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力. 【教学重点】体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念. 【教学难点】函数的概念及记号)(x f y 的理解. 【教学过程】 *复习旧知，为新课铺垫问题世界充满变化，函数无处不在，今天我们又开始接触函数了，你们还记得初中学习过哪些函数吗？函数的定义又是什么？归纳一次函数、反比例函数及二次函数；定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其相对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数. 通过对初中学过的函数模型的回忆，帮助学生回忆函数的“变量说”；此外注意变量与选取字母无关. *创设情景兴趣导入我们在了解初中函数的概念之后，下面一起来看三个实例，分析其中的变量，说明它们之间能否构成函数关系？（1）某水库的存水量Q 与水深h （指最深处的水深）如下表：水深h （米） 5 10 15 20 25 存水量Q （万立方） 0 20 40 90 160 275 （2）设时间为t ，温度为0 ()T C ，自动测温仪测得杭州10月21日从凌晨0点到白天14点的温度曲线如下图：

（3）今年中国海军在东海进行实弹演习，通过数据监测，一枚炮弹发射后，炮弹距地面的高度h （单位m ）随时间t （单位s ）变化的规律是2 1305h t t =-. 归纳判断两个变量的对应关系能否构成函数的标准是“对一个变量的每一个取值，另一个变量都有唯一的值与之对应”，而表现这种“对应”的数学形式，除了大家熟悉的函数解析式外，还可以有列表法、图像法. 问题在（3）中，请大家计算，当30t s =时，所对应的h 值是多少？ 600h m =-，而经过计算，得到炮弹从发射到落到海面爆炸只经历26s . 归纳由此看来，初中的函数定义，只强调了两个变量x 和y 的对应关系，而没有明确给出自变量x 的取值范围，所以我们说这个定义是不够严密的，事实上，例（3）中的变量时间t 的取值范围是[0，26]，例1、2中自变量也有取值范围，因此我们把初中函数的概念稍加修饰. 通过观察三个实例，使学生进一步认识函数的实质：对一个变量的每一个取值，另一个变量都有唯一的值与之对应. 从实例发现已有的函数定义没有明确指出自变量的取值范围，从而催生更严密的函数定义. *动脑思考探索新知概念 D x f 对应法则y

《1.2.1 对应、映射和函数》教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

《1.2.1 对应、映射和函数》教案【教学重难点】 1.了解映射、一一映射的概念； 2.初步了解映射与函数间的关系； 3.会判定一些对应关系是不是映射、一一映射．【教学过程】通过对教材上实例的研究，引入映射的概念. 通过映射与函数的对比，加深对函数概念的理解，进一步体会特殊与一般的辩证关系. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象． 2.映射的定义域、值域集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)． 3.一一映射的概念如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射. 4.函数与映射的关系由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特殊在构成函数的两个集合A、B必须是数集. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]大家想一想，如果我们都没有名字了，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是居民集合到声音符号集合的一种确定的对应．在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射．探究点一映射的概念及应用问题1初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例，你能举出几个？

《变量与函数》教案设计

对《变量与函数》的教学研究超予一．容和容解析【容】变量与函数的概念【容解析】 “14.1变量与函数”是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第十四章第一单元，本设计是第1课时，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心容．函数概念的核心是两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想。本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到研究主要从化繁就简入手，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．本设计把重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义。”而函数图象较为直观形象，有助于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分容提前到本课时学习。二．目标和目标解析【目标】理解常量、变量与函数的概念．【目标解析】（1）借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可

以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。（2）借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。（3）从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。三、教学问题诊断分析变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中。学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数，另外，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等朴素的函数关系的生活实例。但是学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义。【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念。【教学难点】怎样理解“唯一对应”．四、教学过程设计（一）导言：

高中数学-函数的概念教案

高中数学-函数的概念教案教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题 1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题 1．求函数定义域课本P19例1 解：（略）说明： ○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； ○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数课本P20例2

—数学人教A必修1同步教学案：1. 函数的表示法第课时分段函数及映射

第一章集合与函数概念 1．2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题. 2.了解映射的概念．

1．分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应_____________________________________________________． 2．映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的__________．一、选择题 1．已知，则f(3)为() A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()

3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：每间房定价 100元 90元 80元 60元住房率 65% 75% 85% 95% A ．100元 B ．90元 C ．80元 D ．60元 4．已知函数，使函数值为5的x 的值是( ) A ．－2 B ．2或－5 2 C ．2或－2 D ．2或－2或－5 2 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．18立方米 D ．26立方米 6．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )

山东省高密市第三中学高中数学2.1映射与函数教案新人教B版必修1

§ 2.1.1(4)映射与函数(课前预习案) 重点处理的问题(预习存在的问题) 、新知导学 1. 映射的概念：设A、B都是_________ ，如果按照某种对应法则f,对A中的_________ ，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的____________ 。这时，称y是x在映射f 的作用下的___ ，记作f(x)，于是x称作y的_。映射f也可记为____________________ 。其中A叫做映射f的______ ，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的___________ ，通常记作____ 。 2. ------- 映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在__________ ，并把这个映射叫做从集合A到集合B的 ____________ 。 3. 正确理解映射的概念： (1) A B一定为非空集合，可以为数集，也可以为其它集合； (2)A中不同的元素在B中可以有相同的象，即多对一的形式； (3)B中的元素可以没有原象； (4)--- 映射即 --- 对应. 4. 映射观点下的函数概念：如果A, B都是非空的 ____ ，那么A到B的映射f : A^B就叫做A到B的函数，记作y=f(x ), 其中x€ A, y€ B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的_______ ，象的集合(C B)叫做函数y=f(x) 的_. _____ 函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，简记作函数f(x). 二、课前自测 1. 已知映射f : A B，下列说法正确的是( ) A. A中的每一个元素在B中必有象 B.B 中可能有元素在A中没有原象 C. A中两个不同的元素在B中的象一定不相同 D. B中的某个元素在A中的原象可能不止一个 2. 已知(x, y)在映射f下的象为(3x,x y)，则(1, 2)在f下的原象为. 3. 已知集合A= {a,b } B={m,n}则由A到B的一一映射的个数为______________ 个. § 2.1.1(4)映射与函数(课堂探究案)

《变量与函数》教案

对《变量与函数》的教学研究郑超予一．内容和内容解析【内容】变量与函数的概念【内容解析】 “14.1变量与函数”是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第十四章第一单元，本设计是第1课时，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容．函数概念的核心是两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想。本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到研究主要从化繁就简入手，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．本设计把重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义。”而函数图象较为直观形象，有助于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到本课时学习。二．目标和目标解析【目标】理解常量、变量与函数的概念．【目标解析】（1）借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可

高考一轮复习教案函数及其表示

第一节函数及其表示 1．函数的概念及其表示 (1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． (2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．知识点一函数与映射的概念函数映射两集合A， B 设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数． [自测练习] 1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是() 知识点二函数的有关概念

1．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．易误提醒(1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． (2)误把分段函数理解为几个函数组成．必备方法求函数解析式的四种常用方法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法； (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． [自测练习] 2．(2016·贵阳期末)函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为() A．(0，＋∞)B．[－1，＋∞) C．(－1，＋∞)D．(1，＋∞)