初中数学竞赛专题：代数式

初中数学竞赛专题：代数式

2.1整式的运算

2.1.1★化简()()

1

2311n x x x x x -??+-+-+

+-??

,其中n 为大于1的事数． 解析 原式()

()

()1

1

23231n n n x x x x x x x x x --=-+-+

+-+-+-

--+-()1n

x =+-．

评注

本例可推广为一个一般的形式：

()()1221n n n n n n a b a a b ab b a b -----++

++=-．

2.1.2★计算

（1）()()a b c d c a d b -+----； （2）()()()422422816x y x y x x y y +--+． 解析

（2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数,所以可考虑应用平方差公式,分别

把相同项结合,相反项结合． 原式()()c b d a c b d a =--+---????????

()2

2c b d a =---

2222222c b d bd bc cd a =+++---．

（2）()()22x y x y +-的结果是224x y -,这个结果与多项式4224816x x y y -+相乘时,不能直接应用公式,但

()2

4224228164x x y y x y -+=-

与前两个因式相乘的结果224x y -相乘时就可以利用差的立方公式了． 原式()()()2

3

222222444x y x y x y =--=-

()()()()()2

2

2

3

22222234344x x y x y y =-+-

642246124864x x y x y y =-+-．

2.1.3★设()2321g x x x =-+,()3231f x x x =--,求用()g x 去除()f x 所得的商()q x 及余式()r x ． 解析1用普通的竖式除法

232

32221739

32131

213374

133714739926299x x x x x x x x x x x x x x --+----

+----+--- 因此,所求的商()1

739q x x =-,余式()26299

r x x =--． 解析2 用待定系数法

由于()f x 为3次多项式,首项系数为1,而()g x 为2次,首项系数为3,故商()q x 必为1次,首项系数必为1

3,而余式次数小于2,于是可设商式()13

q x x a =+,余式()r x bx c =+． 根据()()()()f x q x g x r x =+,得

()()

32231

13213x x x x x x a bx c ---??

=-++++ ???

()32213233x a x b a x a c ???

?=+-+-+++ ? ????

?．

比较两端系数,得

233312131a b a a c ?

-=-??

?

-+=-??

?+=-??

解得79a =-,269b =-

,29c =-,故商式()1739q x x =-,余式()26299

r x x =--． 2.1.4★已知当7x =时,代数式58ax bx +-的值为4,求当7x =时,代数式532

2

a

b x x ++的值． 解析

比较两个代数式,发现它们的相同与不同．

当7x =时,

()551

387222

a b x x ax bx ++=+-+

1

4792

=?+=． 2.1.5★若23

y z

x ==,且12x y z ++=,试求234x y z ++的值． 解析

2y x =,3z x =,代入

12x y z ++=

得2x =,故4y =,6z =,所以23440x y z ++=．

2.1.6★★试确定a 和b ,使422x ax bx +-+能被232x x ++整除． 解析

由于()()23212x x x x ++=++,因此,若设

()422f x x ax bx =+-+,

假如()f x 能被232x x ++整除,则1x +和2x +必是()f x 的因式,因此,当1x =-时,()10f -=,即

120a b +++=,①

当2x =-时,()20f -=,即

164220a b +++=,②

由①,②联立,则有

6,

3a b =-??

=?

2.1.7★若()()()32115x x x x bx cx d -++=+++,求b d +的值． 解析()()()()()2321151555x x x x x x x x -++=-+=+--, 所以b =,5d =-．

0b d +=．

2.1.8★将2357x x +-表示成()()2

22a x b x c -+-+的形式． 解析

()()22

357

3225227

x x x x +-=-++-+-????????

()()2

3217215x x =-+-+．

2.1.9★已知210a a +-=,求3222a a ++的值． 解析1 由21a a +=,有

()32322222a a a a a ++=+++

()()222

22123

a a a a a a

=+++=++=+=．

解析2由21a a =-,有

()()()3222222122a a a a a a ++=++=-++

22224a a a a =--+=-- ()41413a a a a =---=--+=．

评注 解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法．

这两种方法在整式恒等变形中常用．

2.1.10★★已知x y m +=,33x y n +=,0m ≠,求22x y +的值． 解析

因为x y m +=,所以

()()3

3333m x y x y xy x y =+=+++

3n mxy =+,

所以233m n

xy m

=-

． 所以()2

222x y x y xy +=+-

22

233m n m m ??

=-- ???

2233m n

m

=+

． 2.1.11★★若214x xy y ++=,228y xy x ++=,求x y +的值． 解析

把两个方程相加,得()()2

42x y x y +++=,于是有

()()670x y x y +-++=,

故6x y +=或7x y +=-．

2.1.12★★★已知1x y +=,222x y +=．求77x y +的值． 解析

因为222x y +=,所以()2

221222x y x y xy xy =+=++=+,从而12

xy =-．所以

()()3

333x y x y xy x y +=+-+

31513122??

=-?-?= ???

．

()2

4422222x y x y x y +=+-

2

2

172222??

=-?-= ???

．

故()()()3

7

7

3

3

4

4

3

3

57171

12228

x y x y x y x y x y ??+=++-+=?--?= ?

??． 2.1.13★★已知19992000a x =+,19992001b x =+,19992002c x =+,求多项式222a b c ab bc ca ++---的值． 解析

由222a b c ab bc ca ++---

()()()222

12a b b c c a ??=-+-+-?

?, 又因为1a b -=-,1b c -=-,2c a -=,故

原式()()22

2111232??=-+-+=?

?

．

2.1.14★★已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=,5ax by +=,求()()2222a b xy ab x y +++的值． 解析

由2a b x y +=+=,得

()()4a b x y ax by ay bx ++=+++=．

因为5ax by +=,所以1ay bx +=-． 因而,()()2222a b xy ab x y +++

()()5ay bx ax by =++=-．

2.1.15★★已知()7

7657651031x a x a x a x a x a -=+++++,试求76510a a a a a +++++的值．

解析

多项式()f x 的系数和,就是()1f ．

()

7

765107

3112128

a a a a a +++

++=?-==．

2.1.16★★求一个关于x 的二次三项式()f x ,它被1x -除余2；被()2x -除余8；并且被1x +整除． 解析

设这个二次三项式为

()2f x ax bx c =++．

则

()()()12,2428,10,

f a b c f a b c f a b c =++=??

=++=??

-=-+=?①②③

①-③得 代入②、③得

46,1,

a c a c +=??

+=?④⑤

④-⑤得

53

a =, 代入⑤得

23c =-．

所求二次三项式为2523

3

x x +-． 2.1.17★未知数x 、y 满足

()()2

222220x

y m y x n m y n +-+++=,

其中m 、n 表示非零已知数,求x 、y 的值． 解析

两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经过配方之后,看是否能化成

非负数和为零的形式． 将已知等式变形为

222222220m x m y mxy mny y n +--++=,

()()22

2222220m x

mxy y m y mny n -++-+=,

即()()2

2

0mx y my n -+-=． 所以0,

0.mx y my n -=??

-=?

因为0m ≠,所以n y m =

,2n

x m

=． 2.1.18★★已知x 、y 、z 满足x y z xyz ++=,求证：

()()()()()()222222111111x y z y x z z x y --+--+--

4xyz =．

解析 因为x y z xyz ++=,所以

左边()()()222222222222111x z y y z y z x x z z y x x y =--++--++--+

()222222222222x y z xz xy xy z yz yx yx z zy zx zx y =++--+--+--+

()()()()xyz xy y x xz x z yz y z xyz xy yz zx =-+-+-++++ ()()()()xyz xy xyz z xz xyz y yz xyz x xyz xy yz zx =------+++

xyz xyz xyz xyz =+++

4xyz ==右边．

2.1.19★已知222a b c ab bc ca ++=++,证明a b c ==． 解析

因为222a b c ab bc ca ++=++,所以

()()222220a b c ab bc ca ++-++=,

即()()()222

0a b b c c a -+-+-=, 因此0a b b c c a -=-=-=, 即a b c ==． 2.1.20★证明：

()

()()3

33

222y z x z x y x y z +-++-++-

()()()3222y z x z x y x y z =+-+-+-．

解析 此题看起来很复杂,但仔细观察,可以使用换元法．令

2y z x a +-=, ① 2z x y b +-=, ② 2x y z c +-=,

③

则要证的等式变为3333a b c abc ++=． 因为

()()

3332223a b c abc

a b c a b c ab bc ca ++-=++++---,

所以将①,②,③相加有

2220a b c y z x z x y x y z ++=+-++-++-=,

所以33330a b c abc ++-=,

所以()()()3

3

3

222y z x z x y x y z +-++-++-

()()()3222y z x z x y x y z =+-+-+-．

2.1.21★★已知44444a b c d abcd +++=,且a 、b 、c 、d 都是正数,求证：a b c d ===． 解析

由已知可得

444440a b c d abcd +++-=,

()()2

2

2

22222222240a b c d a b c d abcd -+-++-=,

所以

()()()2

2

2

2

22220a

b c d ab cd -+-+-=．

因为

()2

2

20a

b -≥,()2

220c d -≥,()2

0ab cd -≥,所以

22220a b c d ab cd -=-=-=,

所以()()()()0a b a b c d c d +-=+-=．

又因为a 、b 、c 、d 都为正数,所以0a b +≠,0c d +≠,所以

a b =,c d =．

所以

()()220ab cd a c a c a c -=-=+-=,

所以a c =．故a b c d ===成立． 2.1.22★★已知0a b c ++=,求证

()()2

4442222a b c a b c ++=++．

解析 用作差法,注意利用0a b c ++=的条件．

左-右

()()2

4442222a b c a b c =++-++

444222222222a b c a b b c c a =++--- ()2

222224a b c b c =---

()()22222222a b c bc a b c bc =--+---

()()22

22a b c a b c ????=---+????

()()()()a b c a b c a b c a b c =-++---++

0=．

所以等式成立． 2.2因式分解 2.2.1★分解因式：

（1）5131214242n n n n n n x y x y x y --+-+-+-； （2）33386x y z xyz ---； （3）222222a b c bc ca ab ++-+-； （4）752257a a b a b b -+-．

解析（1）原式()1422422n n n n x y x x y y -=--+

()()221222222n n n n x y x x y y -??=--+????

()2

1222n n n x y x y -=--

()()2

2

12n n n n x y x y x y -=--+．

（2）原式()()()()33

3232x y z x y z =+-+----

()()2222422x y z x y z xy xz yz =--++++-．

（3）原式

()()()()()

2222

2

2

2222a ab b bc ca c a b c a b c a b c =-++-++=-+-+=-+．

本小题可以稍加变形,解法如下： 原式

()()()()

2

222222a b c b c ca a b a b c =+-++-++-=-+．

（4）原式()()752257a a b a b b =-+-

()()522522a a b b a b =-+- ()()2255a b a b =-+

()()()()432234a b a b a b a a b a b ab b =+-+-+-+ ()()()2

432234a b a b a a b a b ab b =+--+-+．

2.2.2★分解因式：66x y -． 解析1

原式()()2

2

33x y =-

()()

()()()()

33332222x y x y x y x xy y x y x xy y =+-=+-+-++．

解析2 原式()()3

3

22x y =-

()()()22222222x y x x y y ??=-++????

()()()2

2222x y x y x y x y ??=+-+-????

()()()()2222x y x y x y xy x y xy =+-+++-．

评注 解析2中,

()()42242222x x y y x y xy x y xy ++=+++-

是因式分解中经常用到的一个结论,记住这个结论是必要的． 2.2.3★★分解因式：

()()()3

3

3

2

22222x

y z x y z ++--+．

解析

原式中()22x y +与()22z x -的和等于()22y z +,所以考虑用立方和公式

()()3

333a b a b ab a b +=+-+变开后,再进行分解．

原式()()()()()3

3

222222222222223x y z x x y z x x y z x y z =++--+-?++--+

()()()()()3

3

22222222223y z x y z x y z y z =+-+-+-+

()()()()22223x y z x z x y z =-++-+．

2.2.4★★分解因式：3333a b c abc ++-． 解析

原式()()3

333a b ab a b c abc =+-++-

()()3

33a b c ab a b c ??=++-++??

()()()()2

23a b c a b c a b c ab a b c ??=+++-++-++??

()()222a b c a b c ab bc ca =++++--- 3

评注

3333a b c abc ++-

()()2221

2222222

a b c a b c ab bc ca =++++--- ()()()()222

12

a b c a b b c c a ??=

++-+-+-??． 显然,当0a b c ++=时,则3333a b c abc ++=；当0a b c ++>时,则33330a b c abc ++-≥,即

3333a b c abc ++≥,而且,当且仅当a b c ==时,等号成立．

如果令20x a =≥,30y b =≥,30z c =≥,则有

3

x y z ++ 等号成立的充要条件是x y z ==．这也是一个常用的结论． 2.2.5★★分解因式：

15141321x x x x x +++

+++．

解析 这个多项式的特点是：有16项,从最高次项15x 开始,x 的次数顺次递减到0,由此想到应

用公式n n a b -来分解．因为

()()161514132111x x x x x x x -=-+++

+++,

所以 原式()()

15142111

x x x x x x -++

+++=

-

161

1

x x -=

- ()()()()()

8

42111111

x x x x x x ++++-=

-

()()()()8421111x x x x =++++．

评注在本题分解过程中,用到先乘以()1x -,再除以()1x -的技巧,这一技巧在等式变形中很常用． 2.2.6★分解因式：398x x -+． 解析

本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目

的与技巧．

方法1 将常数项8拆成19-+． 原式3919x x =--+

()3199x x =--+

()()()21191x x x x =-++--

()()218x x x =-+-．

方法2 将一次项9x -拆成8x x --． 原式388x x x =--+

()()388x x x =-+-+

()()()1181x x x x =+---

()()218x x x =-+-．

方法3 将三次项3x 拆成3398x x -． 原式339898x x x =--+

()()339988x x x =-+-+

()()()()2911811x x x x x x =+---++ ()()218x x x =-+-

方法4 添加两项22x x -+．

原式()()()()()

332222989818118x x x x x x x x x x x x x =-+=-+-+=-+--=-+-．

评注 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,

主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

2.2.7★★分解因式： （1）9633x x x ++-； （2）()()22114m n mn --+； （3）()()()2

4

4

2111x x x ++-+-；

（4）33221a b ab a b -+++． 解析（1）将3-拆成111---． 原式963111x x x =++---

()()()963111x x x =-+-+-

()()()()()36333311111x x x x x x =-+++-++- ()()363123x x x =-++

()()()2631123x x x x x =-++++．

（2）将4mn 拆成22mn mn +． 原式()()221122m n mn mn =--++

2222122m n m n mn mn =--+++

()()2222212m n mn m mn n =++--+

()()2

2

1mn m n =+--

()()11mn m n mn m n =+-+-++．

（3）将()2

21x -拆成()()2

2

22211x x ---．

原式()()()()2

2

4

4

2212111x x x x =++---+-

()()()()()2

4224

2121111x x x x x ??=+++-+---??

()()()2

2

22

2111x x x ??=++---??

()()()()2

2

2222221313x x x x =+--=++．

（4）添加两项ab ab +-． 原式33221a b ab a b ab ab =-++++-

()()()33221a b ab a ab ab b =-+-+++ ()()()()21ab a b a b a a b ab b +-+-+++

()()()211a a b b a b ab b =-+++++???? ()()211a a b ab b =-+++????

()()2211a ab b ab =-+++

评注（4）是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加ab ab +-,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是无将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在． 2.2.8★分解因式：4322221x x x x ++++． 解析原式()()4232122x x x x =++++

()()2

22121x x x =+++

()()22112x x x =+++ ()()2

211x x =++

2.2.9★★分解因式：

()()()bc b c ca c a ab a b ++--+．

解析

原式()()()()bc b c ca b c a b ab a b =+++-+-+????

()()()()bc b c ca b c ca a b ab a b =+++-+-+ ()()()()c b c a b a a b c b =++-++ ()()()a b b c c a =++-．

2.2.10★★分解因式：

()()()333x y z y z x z x y -+-+-．

解析

原式()()()333333x y y x y z x z z x z y =-+-+-

()()()22333xy x y z x y z x y =---+-

()()()223

x y xy x y z x xy y z ??=-+-+++?? ()()()()222

x y x y z xy y z z y z ??=--+---??

()()()22x y y z x xy zy z =--+--

()()()()x y y z z x x y z =----++．

2.2.11★★分解因式：()2

2331x x x x +++-．

解析

原式()()2

23263121x x x x x x x =++++++-

()()()2

232331211x x x x x x x =++++++-

()()()2233

1121x x x x x x x ??=++++++-??

()()223411x x x x x x =++++++．

2.2.12★★分解因式：

()()2

21212x

x x x ++++-．

解析将原式展开,是关于x 的四次多项式,分解因式较困难．我们不妨将2x x +看作一个整体,并用字母y 来替代,于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了． 设2x x y +=,则

原式()()21212310y y y y =++-=+-

()()()()222525y y x x x x =-+=+-++ ()()()2125x x x x =-+++．

评注本题也可将21x x ++看作一个整体,比如令21x x u ++=,可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试． 2.2.13★★分解因式：

()()2

23248390x

x x x ++++-．

解析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合．

原式()()()()12212390x x x x =++++-

()()()()12322190x x x x =++++-????????

()()2225325290x x x x =++++-．

令2252y x x =++,则

原式()219090y y y y =+-=+-

()()109y y =+-

()()222512257x x x x =+++- ()()()22512271x x x x =+++-．

评注 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元()y 的基础．

()()()2

221a b ab a b ab +-+-+-．

解析 令a b x +=,ab y =,则

原式()()()2

221x y x y =--+-

2222421x xy x y y y =--++-+ ()()2

2211x x y y =-+++

()2

1x y =-+???? ()2

1x y =--,

所以,原式()2

1a b ab =+--． 2.2.15★★分解因式：

()()()2

2

12121a a b a a b

--+--．

解析 令1a x -=,则

()2

222212122a a a a x a --=--=-．

原式()()222221x a b ax b =-+-

22222x b a b ab x ax =-+-

()()22222x b ax ab x a b =-+-

()()2xb a x ab =-+．

所以,原式()()112a b a a ab =---+????????

()()21ab a b a ab =--+-．

2.2.16★★分解因式：()()44

13272x x +++-．

解析令2y x =+,则 原式()()4

4

11272y y =-++-

()()2

2

222121272y y y y =-++++-

()()423242324142441424272y y y y y y y y y y =++-+-++++++-

42212270y y =+-

()4226135y y =+- ()()222915y y =-+

()()()223315y y y =+-+．

所以,原式()()()2251419x x x x =+-++． 2.2.17★★分解因式：

()()2

222483482x x x x x x ++++++．

解析 设248x x y ++=,则

原式()()22322y xy x y x y x =++=++

()()226858x x x x =++++ ()()()22458x x x x =++++．

评注 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入

必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式． 2.2.18★★分解因式：432673676x x x x +--+． 解析1

原式()()422617136x x x x =++--

()()422

2262127136x x x x x x ??=-+++--?? ()()22222

6127136x x x x x ??=-++--????

()()2

222617124x x x x =-+--

()()2

2213318x x x x ????=---+????

()()22232383x x x x =--+-

()()()()212313x x x x =+--+．

评注 本解法实际上是将21x -看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法

后,并非每题都要设置新元来代替整体．

解析2 原式22

27

66736x x x x

x ??=+--+

??

?

222116736x x x x x ?????

?=++-- ? ?????????

．

令1x t x -=,则2221

2x t x

+

=+,于是 原式()22

62736x t t ??=++-??

()()()22267242338x t t x t t =+-=-+

2112338x x x x x ????????=---+ ? ??????

???????

＝()()22232383x x x x --+-

()()()()212313x x x x =+--+．

2.2.19★★分解因式：

()()2

2

2224x

xy y xy x y ++-+．

解析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作

二元对称式．对于较难分解的二元对称式,经常令u x y =+,v xy =,用换元法分解因式．

原式()()2

2

2

42x y xy xy x y xy ????=+--+-????

． 令x y u +=,xy v =,则 原式()()2

2242u v v u v =---

()2

4222693u u v v u v =-+=-

()()2

2

222223x xy y xy x xy y =++-=-+．

2.2.20★分解因式：22232108x xy y x y --++-． 解析

原式()()32108x y x y x y =-+++-

()()342x y x y =-++-．

其十字相乘图为

3x y

x y

-+42

-

评注

凡是可以化成()2x a b x ab +++或()2abx ac bd x cd +++形式的二次三项式,都可以直接采

用十字相乘法把它分解成()()x a x b ++或()()ax d bx c ++的形式．

对于某些二元二次六项式()22ax bxy cy dx ey f +++++,我们也可以用十字相乘法分解因式,通常称为双十字相乘法．其因式分解的步骤是：首先用十字相乘法分解22ax bxy cy ++,得到一个十字相乘图（有两列）；然后把常数项f 分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey ,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx ． 2.2.21★分解因式：

226136222320x xy y x y -++-+．

解析原式()()2332222320x y x y x y =--+-+

()()234325x y x y =-+-+．

其十字相乘图为

-2y

-3y

3x 2x

5

4

2.2.22★分解因式：

22267372x xy y xz yz z ---+-．

解析 原式()()223372x y x y xz yz z =-+-+-

()()2332x y z x y z =-++-．

其十字相乘图为

z

-2z

2x

3x -3y

y

2.2.23★分解因式：

()()()()123424x x x x ++++-．

解析

原式()()22545624x x x x =++++-

()()225454224x x x x ??=+++++-??

＝()()2

225425424x x x x +++++-

()()2

2546544x x x x ????=+++++-????

()()25510x x x x =+++．

对于形如()()()()e x a x b x c x d f +++++（a 、b 、c 、d 、e 、f 为常数）,当a b c d +=+时,则把

()()x a x b ++与()()x c x d ++分别相乘后,构成有相同部分：()()22x a b x x c d x ++=++的项,使原式

得到简化,再用十字相乘法进行分解． 2.2.24★★分解因式：

()()()()2238124x x x x x ++++-．

解析

原式()()222142411244x x x x x =++++-

()()222

1424142434x x x x x x ??=++++--??

()()2

2221424314244x x x x x x =++-++-

()()22142441424x x x x x x ????++-+++????

()()2210241524x x x x =++++

()()46x x x x ??=++-?- ????

． 对地形如()()()()2e x a x b x c x d fx +++++（a 、b 、c 、d 、e 、f 为常数）,当a b c d ?=?时,则把

()()x a x b ++与()()x c x d ++分别先作法,构成具有相同部分22x ab x cd +=+的项,再用十字相乘法

进行分解．

2.2.25★★分解因式：

222382214x y z xy xz yz --+++．

解析 由于()()22233x xy y x y x y +-=+-．

若原式可以分解因式,那么它一定是()()3x y mz x y nz ++-+的形式．应用待定系数法即可求出m 和n ,使问题得到解决．

设()()2223822143x y z xy xz yz x y mz x y nz --+++≡++-+

()()222233x xy y m n xz n m yz mnz =-++?+-+．

比较两边对应项的系数,则有

2,314,8m n n m mn +=??

-=??=-?

解之,得 2m =-,4n =．

所以,原式()()324x y z x y z =+--+． 2.2.26★★分解因式：432435x x x x -+++． 解析

这是关于x 的四次多项式,若它可以因式分解,则必为关于x 的两个二次式之积．可用待

定系数法求之． 设432435x x x x -+++

()()2215x ax x bx =++++

()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++．

比较两边对应项的系数,则有

1,64,53a b ab a b +=-??

+=??+=?

解之,得1a =,2b =-．

所以,原式()()22125x x x x =++-+．

如果设原式()()2215x ax x bx =+-+-,那么由待定系数法解题后知关于a 与b 的方程组无解,所以设原式()()2215x ax x bx =++++．

2.2.27★★k 为何值时,2237x y x k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积？ 解析

因为()()22x y x y x y -=+-,所以如果2237x y x y k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积,

那么它的两个一次因式一定是()x y m ++与()x y n -+的形式,其中m 、n 都是待定系数． 设

2237x y x y k -+-+

()()x y m x y n =++-+, 2237x y x y k -+-+

22x xy mx xy y my nx ny mn =++---+++ ()()22x y m n x n m y mn =-+++-+．

比较两边对应项的系数,得