CT图像重建
昆明理工大学信息工程与自动化学院学生实验报告
（ 2009—2010学年 第 一 学期 ）
课程名称：医学成像系统与放射治疗装置 开课实验室： 3208 2008 年 12 月24 日
一、实验目的与意义
医学成像技术是生物医学工程专业的一门重要的专业课程,课程主要涉及X 光仪器，CT 仪器，MRI 仪器和核医学仪器的工作原理及成像方法。其中CT 算法的出现又为后来数字化医学成像技术的发展提供了基础。该门课程为生物医学工程专业的专业基础课。
CT 技术是医学成像系统中的一种重要手段。它通过特定的算法，利用计算机的高速运算功能，可以在短时间内快速呈现人体断层图像。让学生练习CT 图像的重建有助于学生理解CT 算法的内容，熟悉数字图像重建的过程。同时也能培养学生的团队精神和解决实际问题的能力。
二、实验算法原理
1、MATLAB 处理数字图像的基本函数；
2、X-CT 三维图像重建的基本算法。
CT 图象重建有四种基本的算法:矩阵法,迭代法,傅立叶算法,反投影算法.我们采用的方法为卷积反投影. 卷积反投影有:平行光束投影的卷积反投影算法, 等角扇形光来投影的重建算法. 1）.平行光束投影的卷积反投影算法 从投影重建三维物体的图像，就是重建一个个横断面。这样三堆图像的重建就归结为二维图象的重建。二维图像的重建问题可以从数学上描述如下。
假定),(y x g 表示一个二维的未知函数，通过),(y x g 的直线称为光钱(见图2．1)。沿光线),(y x g 的积分称作光线积分。沿相同方向的一组光线积分，就构成一个投影。图2．1中垂直于直线'
CC (与X 轴夹角为 )的光线所形成。
图2.1 ),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ
的投影)(t P θ，称之为),(y x g 在θ方向的投影。光线积分和投影在数学上可以定义如下：
在图2.1中直线AB 的方程为：
1sin cos t Y X =+θθ (2.1) 其中1t 是AB 到原点的距离，),(y x g 沿AB 的积分为：
dxdy t y x y x g ds y x g t P AB
)sin cos (),(),()(11-+==??+∞
∞
-θθδθ (2.2)
对于给定的θ，),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ是t 的函数。如果),(y x g 在各个方向的投影已知，),(y x g 就可以唯一确定。下面就讨论卷积反投影重建算法。
假定投影方向θ，如图2.2，将坐标),(y x 旋转θ角（逆时针方向）形成坐标系),(s t 。),(y x g 在),(s t 坐标系中为),(s t g 。
图2.2 傅立叶切片定理示意图
坐标系),(s t 与),(y x 之间的关系为：
???
?
?????? ??-=???? ??y x s t θθθθcos sin sin cos （2.3）
显然
()ds s t g t P ?
+∞
∞
-=
),(θ （2.4）
令)(w S θ为)(t P θ的傅立叶变换则 dt wt j t P w S )2ex
p()()(πθθ-=?
+∞
∞- dsdt wt j s t g )2ex p(),(π-=
?
+∞
∞
- （2.5）
将上式变换到),(y x 坐标系中，注意到变换的可比行列式
1cos sin sin cos =-=????????=?θθθθy
s y t
x s t t （2.6） 从而得到： dxdy y x j y x g w S ?+-=??
+∞∞-+∞
∞-)]sin cos (2ex p[),()(θθπωθ
dxdy vy ux j y x g )](2ex p[),(+-=??
+∞∞-+∞
∞
-π （2.7）
其中
??
?==θ
ωθ
ωsin cos v u （2.8）
若令),(y x g 的傅立叶变换为),(v u G ，由（2.8）可知
),(),()(θωωθG v u G S == （2.9） 若),(y x g 的傅立叶变换为),(v u G 的极坐标表示。这说明),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ
傅立叶变换)(w S θ等于),(v u G 在与u 轴成θ角的直线上的值。这就是著名的傅立叶投影切片定理。可见在整个),(v u 平面),(v u G 可以利用各个方向的投影来得到，从而),(y x g 也可以通过求),(v u G 的傅立叶反交换的办法求得： dudv vy ux j v u G y x g )](2ex p[),(),(+=??
+∞∞-+∞
∞
-π （2.10）
变换到极坐标中
?
??==θωθωsin cos v u ， ω=?
得到
θωθθπωθωπd d y x j G y x g )]sin cos (2ex p[),(),(20
+=??
∞
（2.11）
经推导得 ?
???
????=+∞∞-π
θθωπωωω0
)2exp()(),(d d t j S y x g （2.12）
其中
θθsin cos y x t += 若令
ωπωωωθθd t j S t Q )2ex p()()(?+∞
∞
-= （2.13）
则
?
+=
π
θθθθ0
)sin cos (),(d y x Q y x g (2.14)
(2.13)式右端是两频谱函数)(w S θ和)(ωH 的乘积的傅立叶反变换。)(w S θ是投影)(t P θ 傅立叶变换。若)(ωH 的傅立叶反变换为)(t h ，则根据卷积定理有： ?
+∞
∞
--=τττθθd t h P t Q )()()( （2.15）
或
)()()(t h t P t Q *=θθ 其中
ωπωωd t j t h )2ex p()(?
+∞
∞
-=
（2.16）
当图像的频谱是有限带宽时，则上式变为 ωπωωωω
d t j t h )2ex p()(0
?+-=
（2.17）
由于图象及其频谱都是离散采样的， 假定图象采样间隔为τ， 则根据采样定理τω2/10=。为了进行数学处理，只需知道h (t)在有限带宽上的离散采样点的值．这样我们有
??
?
??-=2222/10)4/(1)(τπττn n h （2.18）
其中n 为正负整数。 （2.18）的离散形式为 ∑∞
-∞
=-=m m n h m P n Q τ
ττ
τθθ)()()( （2.19）
假定)(τθm P 在1,1,0-??????=N m 之外的值为0，则上式变为 []∑-=-=1
)()()(N m m n h m P n Q ττττθθ （2.20） 或
∑---=-=1
)
1()(][)(N N m m h m n P n Q τττ
τθθ （2.21）
其中1,2,1,0-??????=N n 从而可见为确定)(t P θ的N 个采样点上的)(τθn Q 的值，需要使用)(τn h 的2N — 1个点上的值，从n=一(N — 1)到(N — 1)。
为求得)(τθn Q ，利用傅立叶变换计算卷积是比较快的方法，为清除循环卷积的周期交叠效应，实际上)(τn h 取2N 个点，)(τθm P 补0，使之有(2N —1)个元素，则)(t P θ在N 个采样点上就避免了交叠，如果使用以2为基的FFT(快速傅立叶变换)算法， )(τθm P 和)(τn h 都必需朴0至(2N 一1)个元素，(2N 一1)为大于等于2N —l 的最小的2的整数幂。计算)(τθn Q 的过程可以写为
]0)((]0)([([)(ττττθθn h FFT n P FFT FFT n Q ??= （2.22）
其中FFT 和IFFT 分别表示快速傅立叶变换和反变换， 光滑窗是在滤波过程中加入的光滑因子，例如引用汉明窗 ，有时可以改进重建效果。对于各个θ方向的投影， 得到)(τθn Q 之后就可以由(2.22)来计算
),(y x g 。重建步骤可以归纳为：
第一步：卷积，也称滤波，由(2．22)对每个θ方向计算)(τθn Q 。
第二步。反投影，由(2．14)的近似形式
∑=+=
M
i i i
i
y x Q M
y x g 1
)sin cos (),(θθ
π
θ （2.23）
来计算),(y x g 的近似值),(?y x g
。M 为投影个数i θ为投影方向角，他们均匀的分布在0~π的范围内。 当计算)sin cos (i i y x Q i θθθ+时，i i y x t θθsin cos +=，不一定在)(τθn Q 的整离散点上，这就需要插值求得，预先将)(τθn Q 插值加密，即最靠近的点，可以提高计算速度。
2).等角扇形光来投影的重建算法
几乎所有的快遗CT 设备都是用的扇形光束。这里叙述的是等角度光束投影，如图2.3，测量投影数据的探测器等间距地分布在1D 2D 弧上，弧的半径为2D ， D 为光源到图像中心的距离。在下文中，),(φr f 图象在极坐标中的表示。)(γβR 表示在方向角为β的投影中位量角为γ的光线产生的投影数据。通过中心的光线其γ为0。L 表示从光源到像素),(φr 的距离。
图2.3 等扇形束投影重建算法中的变量
)sin(2),,(22φβφγβ-++=Dr r D L （2.24）
γ表示在方向角为β的投影中通过像素),(φr 的光线的位置角
)
sin()
cos(tan tan
),,(11
'
φβγφβγφγβγ-+-==--D E S E P （2.25） 图像),(φr f 和扇形投影)(γβR 有下述关系