一阶线性方程与常数变易法习题及解答

§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答 求下列方程的解

1．dx

dy =x y sin + 解: ｙ=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +)

=e x ［—

2

1e x -（x x cos sin +)＋c] ＝ｃ ｅx —21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt

dx +3x ＝e t 2 解:原方程可化为：dt

dx =-３x+ｅt 2 所以：ｘ=e ?-dt

3 (?ｅt 2 ｅ-?-dt 3c dt +） =e t 3- (5

1e t 5＋c ） ＝ｃ e t 3-+5

1e t 2 是原方程的解. 3.dt ds =—s t cos +2

1t 2sin 解：s ＝e ?-tdt cos （t 2sin 2

1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -（?+c dt te t t sin cos sin )

＝ e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )

＝1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．

dx dy n x x e y n

x =- ， n 为常数。 解：原方程可化为:dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n

n x dx x n

+??=?-

)(c e x x n += 是原方程的解． ５．dx dy +1212--y x

x =0

解：原方程可化为：dx dy =—1212+-y x

x ?=-dx x x e

y 212(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1

ln 2?+--c dx e x x =)1(12x

ce x + 是原方程的解.

6． dx dy 234xy

x x += 解:dx dy 234xy x x += =23y

x +x y 令

x

y u = 则 ux y = dx dy =ｕdx du x + 因此:dx du x u +=2

u x 21u dx du = dx du u =2

c x u +=33

1 c x x u +=-33 （*)

将x

y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解。

3

3

3

2

()21()2

27.

(1)1

2(1)1

2(),()(1)1(1)(())

1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++??==+??++??P(x)dx 232解：方程的通解为：

y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+2

32

2

1

(1)()2

11,()(())

dy y x c dy y dx x y dx x y dy y y

Q y y y

e y Q y dy c -+++==+=??==??+??2

243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)

=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。 8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为：

x=e e 23

31*)2

2y dy c y

y cy y ++? =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。