函数图像变换与基本初等函数
函数图像变换与基本初等函数
一、函数的图象与图象交换
函数解析式
与图象的
对称性
对称点坐标
关于x轴对称（x，y）与（x，－y）
关于y轴对称（x，y）与（－x，y）
关于原点对称（x，y）与（―x，―y）
关于直线y=x对
称
（x，y）与（y，x）
是偶函数，其图象关于y轴对称，图象在y 轴右侧部分与图象重合。
图象全部在x轴上方（含x轴）：保留图象在x
轴上方部分，将图象在x轴下方部分沿x轴翻折上去。（即作出这部分关于x轴的对称图形）
基础例题
1、已知函数，且满足，则a=________。
解析：，
∴的曲线关于（1，0）点对称。
又是由y=x3左右平移得到的，易知a=－1。
2、利用图象变换画出下列函数的图象
（1）；（2）；（3）。
解析：
（1）
∴的图象可由的图象向右平移一个单位得。
（2）
（3）
3、已知函数的图像过点（0，1），那么函数的反函数的图像一定经过下列各点中的（）
A．（4，―1）B．（1，―4）C．（―4，1）D．（1，4）
解析：原函数向左平移，相应反函数向下平移。答案选B。
4、填空：
（1）将函数y=3x2―4x―12的图象沿向量平移后的解析式为__________。
（2）函数与的图像关于直线x=1对称，则________。
解析：
（1）∴
即
∴
（2）的图象与图象关于直线x=1对称，
即，∴
5、若函数在R 上单调递减，则的单减区间为（―2，+∞）。
解析：由复合函数单调性可知，的单减区间即为|x+2|=u的单增区间。二、几个具体常见的函数
二次函数指数函数对数函数
解析式
，，2，
3
，，2，3
定义域R R （0，+∞）
值域、最值a＞0
，
a＜0
，
（0，+∞）R
图象a＞
单调性a＞0，在
递减
a＜0，在
a＞0，递增
a＜0，递减
a＞1，递增
0＜a＜1，递减
递增
奇偶对称性b=0时偶非奇非偶非奇非偶
反函数无
1、设二次函数满足，且图象在y轴上的截距为1，截x轴所得线段的长为，求的解析式。
解析：∴图象关于x=―2对称，
∴①
图象在y轴截距为1，∴c=1 ②
截x轴所得线段长为，即的2根③
由①②③可解，b=2，c=1，
∴
2、已知函数的值域为R，求a的取值范围。
解析：的值域为R，∴u=x2―2x+a要取遍（0，+∞）
∴Δ=4―4a≥0，∴a≤1
3、比较大小：
（1）与；
（2）和；
（3）、和；
（4）和；
（5）和
（6）、和。
解析：
（1），
∴，即。
（2）α=－1.2的幂函数在（0，+∞）上单减，
0.7＞0.17，
∴
（3），，
又的幂函数在（0，+∞）上单增，
∴
∴
（4）0.5＜1 ∴
∴
（5）
∴，即。（6），，
∴
综上。
4、解关于x的不等式
（1）（且）
（2）（且）
解析：
（1）若a＞1，则2x2－3x+1＞x2+2x－5，即x＜2或x＞3
若0＜a＜1，则2x2－3x+1＜x2+2x－5，即2＜x＜3
∴a＞1时不等式解集为（－∞，2）∪（3，+∞），
0＜a＜1时不等式解集为（2，3）
（2）若a＞1，则x须满足
或若0＜a＜1，则x须满足
或。
三、对数运算性质及指数、对数方程
1．指、对数运算性质
对数运算指数运算
定义
底数、真数、对数
底数、指数、幂
运算性质
恒等式
换底公式
1、计算：
（1）_______；（2）________；
（3）_________；（4）________。
解析：
（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
。
2、已知a=lg2，b=lg3，用a、b 表示________。
解析：。
2．指、对数方程
指数方程对数方程
基本类型及解法（1）同底法
（2）换元法
（3）取对数法
（1）同底法（定义域、同解混合组）
（2）换元法
1、解下列方程：（1）；
解析：
法一，同底，原方程即，∴2x=x+1，∴x=1
法二：即，∴2x=x+1，∴x=1 法三：令，t2=2t，∴t=2 ，∴x=1
（2）；
解析：，即，∴x=1
（3）；
解析：令，则t＞0，t2+3t－18=0（t＞0），∴t=3，∴x=1 （4）；
解析：原方程相当于
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
高中数学三角函数知识点(复习)
三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：）
2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为：
§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
图象
定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心
1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象：
7.6用锐角三角函数解决问题(3)
7.6锐角三角函数解决问题(3) 学习目标： 1.掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、角有关的实际问题，培养学生。 2.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 教学流程提纲 1.仰角、俯角的定义：如图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线 与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是俯角，∠2就是仰角。 2.课本例题讲解 3.课本练习 4.拓展例题 如图，飞机在距地面9km高空上飞行，先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°，飞行一段距离后，在B处测得该小岛的俯角为60°．求飞机的飞行距离． 变式：如上图，飞机在一定高度上飞行，先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°，飞行10km 后，在B处测得该小岛的俯角为60°,求飞机的飞行高度。 本节课2个目标你达成个？分别是：
7.6锐角三角函数解决问题(3)过关检测 1.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B处的仰角为30o，看这栋高楼底部C处的俯角为60o，若热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋高楼有多高？（结果保留整数，2≈1.414，3≈1.732） 2.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离． 3.据黄石地理资料记载：东方山海拔DE＝453.20米，月亮山海拔CF＝442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图，已知tanα＝0.15987，tanβ＝0.15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0．1秒）
高中数学三角函数知识点总结(非常好用)
高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + —
sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
教案正弦型函数的图像和性质
教案 正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把 图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+
一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作 由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的 图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。 又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=， 又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-， 所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<） 的最小值是5-， 图x 3 3 π 56 π 3 O
7.6用锐角三角函数解决问题(2)学案
7.6用锐角三角函数解决问题(2)学案 学习目标: 通过具体的一些实例,能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。 教学过程: 一、复习巩固: 1、在△ＡBC中，∠C=9０°,∠Ａ=45°,则ＢＣ：AC:AB = 。 2、在△ABC中，∠Ｃ＝90°。 （1)已知∠A＝30°,BC=8cｍ，（2)已知∠A=60°,ＡC＝3ｃm, 求:AB与AC的长; 求：ＡB与ＢC的长。 二、例题学习： 问题1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20ｍ，旋转１周需要１2ｍin。小明乘坐最底部的车厢(离地面约０．３m)开始1周的观光,2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)？ 拓展延伸：１、摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达15.３m? 2、小明将有多长时间连续保持在离地面3０.3m以上的空中? 三、练习巩固
, B B A 1、如图，单摆的摆长A B 为90cm ，当它摆动到∠B ＡB '的位置时,∠BAB '＝30°。问这时摆球B ＇ 较最低点B 升高了多少? 2、已知跷跷板长4m ，当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面32m.求此时跷跷板与地面的夹角. 3、如图,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子 拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米收绳.问：8秒后船向岸边移动了多少米?（结果精确到0.１米) 四、小结 五、课堂作业
B A O B A 初三数学课堂作业 １、如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为５米，那么这两树在坡面上的距离A Ｂ为 （ ） A. αcos 5 B. αcos 5 C ． αsin 5 D. αsin 5 第１题 第3题 第４题 2.(０9甘肃定西)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角）不能大于6０°,否则就有危险，那么梯子的长至少为 （ ） A ．8米??B.83米? C .833米? Ｄ.433 米 3.(0９潍坊)如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的距离为( )米. A ．２5 ??Ｂ.253 C.10033 ?D ．25253+ ４．已知跷跷板长4m ，当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面2m 。时跷跷板与地面的夹角为＿＿＿__ ＿＿__。 7.如图,秋千链子的长度为3m,当秋千向两边摆动时,两边摆动的角度均为30°.求它摆动到最高位置与最低 位置的高度之差。 5.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B 到Ｃ处的距离. 6. 单摆的摆长ＡB 为90cm,当它摆动到A Ｂ’的位置时, ∠BAB’＝11°,问这时摆球B’ 较最低点B 升高了多少(精确到1ｃm)? sin110.191?≈cos110.982?≈tan110.194?≈
三角函数图像变换小结(修订版)
★三角函数图像变换小结★ 相位变换： ①()sin sin()0y x y x ??=→=+> 将sin y x =图像沿x 轴向左平移?个单位 ②()sin sin()0y x y x ??=→=+< 将sin y x =图像沿x 轴向右平移?个单位 周期变换： ①sin sin (01)y x y wx w =→=<< 将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 w 1倍 ②sin sin (1)y x y wx w =→=>将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 w 1倍 振幅变换： ①()sin sin 01y x y A x A =→=<<将sin y x =图像上所有点的横坐标不变， 纵坐标缩短为原来的A 倍 ②()sin sin 1y x y A x A =→=>将sin y x =图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 A 倍 【特别提醒】 由y ＝sin x 的图象变换出y ＝Asin(x ω＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右（0?<）平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0)或向()0?<右平 移ω ?| |个单位，便得y ＝sin(x ω＋?)的图象 【特别提醒】若由sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移| |?ω 个单位
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 课堂练习： 1. 将函数y=sin2x 的图象向左平移6 π 个单位，则平移后的图象的解析式为（ ） A ．y=sin(2x+6π) B ．y=sin(2x+3π) C ．y=sin(2x －6π) D ．y=sin(2x －3 π ) 2. 要得到函数2sin(2)4 y x p =+（x ?R ）的图象，只需将函数2sin 2y x =（x ?R ） 的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动4p 个单位长度 B. 向右平行移动4p 个单位长度 C. 向左平行移动8p 个单位长度 D. 向右平行移动8 p 个单位长度 3. 4.把函数sin(2)4 y x π =+的图象向右平移 8 π 个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2 ，则所得图象的解析式为 （ ） A ．3sin(4)8y x π=+ B ．sin(4)8 y x π =+ C ．sin 4y x = D ．sin y x = 5. 将函数sin()3 y x π =- 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再 将所得的图象向左平移 3 π 个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ） A 1sin 2y x = B 1sin()22y x π=- C 1sin()26y x π=- D sin(2)6 y x π =- 6.要得到函数)3 2sin(2π +=x y 的图象，只须将函数x y sin 2=的图象 （ ） A ．向左移3π 个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．向右移3π 个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左移3 π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21 倍，纵坐标不变 D ．向右移3 π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21 倍，纵坐标不变 7.要得到函数y=cos(42π-x )的图象，只需将y=sin 2 x 的图象（ ） 《用锐角三角函数解决问题》教案1 教学目标 1、了解测量中坡度、坡角的概念． 2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题． 3、进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 重点难点 重点：有关坡度的计算． 难点：构造直角三角形的思路． 教学设计 一、引入新课 如下图所示，斜坡AB 和斜坡A 1B 1哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A 1B l 的倾斜程度比较大，说明∠A 1＞∠A ．从图形可以看出，1111 B C BC AC AC ，即tan A 1＞tan A ． 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度． 二、新课 1．坡度的概念，坡度与坡角的关系． 如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝AC BC ，坡度通常用l ：m 的形式，例如上图中的1：2的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角．从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tan B ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡． 2．习题讲解． 1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0．1米) 分析：四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12．51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决．2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角．和坝底宽AD．(i ＝CE：ED，单位米，结果保留根号) 三、练习 课本第114页课内练习． 四、小结 会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决． 五、作业 课本117页习题7．6的1、2题． 《用锐角三角函数解决问题》教案2 教学目标 知识与技能 1．通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系． 2．把实际问题转化为数学问题，同时借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明． 数学思考与问题解决 经历实际问题数学化的过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用，不断探索解决实际问题的方法和规律． 情感与态度 在独立思考探索解决问题方法的过程中，培养学生不断克服困难，增强应用数学的意识和解决实际问题的能力． 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 函数sin()y A x ω?=+的图像 一、教学目标 1. 会用TI 图形计算器作出函数sin()y A x ω?=+（其中0,0A ω>>）的图像。通过观察图像，猜想,,A ω?对函数图像的影响; 2. 会借助计算器的图像功能, 领会控制变量法,体会定量地分析问题的过程; 3. 通过实践, 感受数学解决问题的方式, 获取定量地处理问题的经验. 二、教学难点与重点 重点: ,,A ω?对函数sin()y A x ω?=+图像的影响； 难点:定量分析,,A ω?对图像的影响. 三、教学过程 1. 引例. 动点P 绕原点O 作逆时针匀速圆周运动，初始位置如图所示，已知圆半径为3，角速度为2/rad s ，试建立点P 纵坐标y 与运动时间x 之间的函数关系，并作出该函数的图像。 [学生建立函数关系式：3sin(2)6y x π=+，并利用TI 图形计算器画出该函数的图像。] 观察这个函数的图像走势，与我们学过的哪个函数图像很接近？ [学生：正弦函数] 这两个函数图像虽然很接近，但仍有差异。是什么因素造成这种差异？ [学生： 3,2,6π ] 那么这三个参数对函数图像分别带来什么影响呢？ 如果从正弦函数sin y x =的图像入手，可以通过怎样的变换得到3sin(2)6y x π =+的图像呢？ {目的：引出控制变量法} [学生：操作TI 图形计算器观察函数图像的变化。] 教师引导学生想到利用控制按钮建立对应的参量，并想到控制变量法。 2. 提出课题 sin()y A x ω?=+ 形如sin()y A x ω?=+（其中,,A ω? 为常数）的函数，我们称为正弦型函数。 根据我们已有的知识，知道这个函数是周期函数，那么我们研究这类型函数时可以根据需要，锁定它的一个周期进行研究。对于一个函数，我们可以探究这个函数的哪些方面？ [学生：研究函数的性质和函数的图像。] 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换 一、知识要点： ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 , 0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。 3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ =T 4．图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A (2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→ ?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? ?? ????????????→?<<>倍 到原来的 或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→ ?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图 象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。 二.基础练习 1． 函数1π2sin()23 y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4．函数2 2cos()()363 y x x ππ π=- ≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ??????? 的图象经过点(01)， ，则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ??? 的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． ⑤R x x x f ∈+ =),32sin(3)(π 的图象关于点)0,6 (π - 对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析： 题型1：三角函数图像变换 例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1 cos 2 y x =的图象怎样变换？ 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间． 锐角三角函数的简单应用 板 书 设 计 7.6锐角三角函数的简单应用（1） 教 学 环 节 学生自学共研的内容方法 （按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容） 教师施教提要 （启发、精讲、 活动等） 再 次 优 化一、 例题 教学 【【典型例题】 1. “五一”节,小明和同学一起到游乐场游玩. 游乐场的大型 摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min.小明乘坐最底部的 车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光,经过2min后,小明离地 面的高度是多少? (1).摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次达到 10m? (2).小明将有多长时间连续保持在离地面10m以上的空中? 2．1.单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到AB’的位置时, ∠ BAB’=11°,问这时摆球B’较最低点B升高了多少(精确到 1cm)? 分析：如图，小 明开始在车厢点 B，经过2min后 到了点C，点C 离地面的高度就 是小明离地面的 高度，其实就是 DA的长度 DA= AE - sin110.191 ?≈cos110.982 ?≈ tan110.194 ?≈ sin110.191 ?≈cos110.982 ?≈tan110.194 ?≈ 二、（1）巩固练习3．已知跷跷板长4m,当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离 地面1.5m.求此时跷跷板与地面的夹角(精确到0.1°). 4．如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形 面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为 1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m， 当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起比较方便. 他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断 他安装是否比较方便? 课后练习 【基础演练】 1．如图，秋千链子的长度为3m，当秋千向两边摆动时，两 边的摆动角度均为30o。求它摆动至最高位置与最低位置的 高度之差（结果保留根号）． 让学生小结 60o O A B 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 三角函数图像及其变换 一、 知识梳理 1、sin y x =与cos y x =的图像与性质 2、sin y x =与sin()y A x ωφ=+ （1） 形如sin()y A x ωφ=+的函数图像的画法 （2） sin y x =与sin()y A x ωφ=+图像的关系 二、 典型例题 1、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π =+，x R ∈ （C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)3 2y x π =+，x R ∈ 2、为得到函数πcos 23y x ? ?=+ ???的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移 5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 3、函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2??-???? ，的简图是（ ） 4、下面有五个命题： ①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a = Z k k ∈π ,2 |. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36 )32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π π+= ⑤函数.0)2 sin(〕上是减函数，在〔ππ - =x y 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 5、将函数3sin()y x θ=-的图象向右平移3 π 个单位得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4 x π =,则θ的一个可能取值是 A. π125 B. π125- C. π12 11 D. 1112π- 三、高考再现 1、已知函数2 π()sin sin 2 f x x x x ωωω?? =++ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03?????? ，上的取值范围． 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o正弦型函数的图像变换
《用锐角三角函数解决问题》教案
人教版 高中数学必修4 三角函数知识点
正弦型函数的图像
高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)
三角函数图像及其变换
高中数学必修三角函数知识点与题型总结
苏科初中数学九年级下册《7.6 用锐角三角函数解决问题》教案 (1)
高一三角函数知识点梳理总结
三角函数图像变换
高中数学三角函数知识点