2014年全国卷1(理科数学)含答案

绝密★启用前

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国Ⅰ卷）

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则=【A 】

.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）

2.=【D 】

. . . .

3.设函数

，的定义域都为R ，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确

的是【B 】

.是偶函数 .||是奇函数

.||是奇函数 .||是奇函数

x 2230x x --≥x x A B ?A B C D 3

2

(1)(1)i i +-A 1i +B 1i -C 1i -+D 1i --()f x ()g x ()f x ()g x A ()f x ()g x B ()f x ()g x C ()f x ()g x D ()f x ()g x

4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为【A】

..3 ..

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率【D】

....

6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，

终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离

表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为【B】

7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=【D】

....

F C223(0)

x my m m

-=>F C

A3B C3m D3m

A

1

8B

3

8C

5

8D

7

8

x OA OP P OA M M OP

x()

f x y()

f xπ

,,

a b k M

A

20

3B

16

5C

7

2D

15

8

8.设

，

，且

，则【B 】 .

.

.

.

9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：

：，：,

：

，：.

其中真命题是【C 】

.， .， .， .，

10.已知抛物线：

的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若

，则

=【C 】

. . .3 .2

11.已知函数=

，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为【C 】

.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为【C 】

. . .6 .4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

(0,)

2πα∈(0,)

2πβ∈1sin tan cos β

αβ+=

A 32π

αβ-=

B 22π

αβ-=

C 32π

αβ+=

D 22π

αβ+=

124x y x y +≥??

-≤?

D 1p (,),22x y D x y ?∈+≥-2p (,),22x y D x y ?∈+≥3

P (,),23x y D x y ?∈+≤4p (,),21x y D x y ?∈+≤-A 2p 3P B 1p 4p C 1p 2p D 1p

3P C 28y x =F l P l Q PF C 4FP FQ

=||QF A 72B 5

2C D ()f x 3231ax x -+()f x 0x 0x a A B C D A 62B 42C D

第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.的展开式中

的系数为 -20 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 A .

15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若，则与的夹角为 90° .

16.已知

分别为的三个内角的对边，=2，且

，则面积的最大值为

.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为

，

=1，

，

，其

中为常数. (Ⅰ)证明：

；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.

解：（I ）由题设，

两式相减得

由于

，所以

（II ）由题设，，，可得

由（I ）知，

令

，解得

8()()x y x y -+22

x y 1

()

2AO AB AC =+AB AC ,,a b c ABC ?,,A B C a (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-ABC

?n

a n n

S 1

a 0

n a ≠11

n n n a a S λ+=-λ2n n a a λ

+-=λn

a 11211, 1.

n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-121().

n n n a a a a λ+++-=10

n a +≠2.

n n a a λ+-=11a =1211

a a S λ=-2 1.

a λ=-3 1.

a λ=+213

2a a a =+ 4.λ=

故

，由此可得

是首项为1，公差为4的等差数列，； 是首项为3，公差为4的等差数列，.

所以

，

.

因此存在，使得数列为等差数列.

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值

作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

(i)利用该正态分布，求

；

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求.

12.2.

若～

，则=0.6826，=0.9544. 24

n n a a +-={}21n a -2143n a n -=-{}2n a 241n a n =-21

n a n =-12

n n a a --=4λ={}n a x 2

s Z 2

(,)N μδμx 2δ2

s (187.8212.2)P Z <

(,)N μδ()P Z μδμδ-<<+(22)P Z μδμδ-<<+

解：（I

）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为

=200

（II ）（i ）由（I ）知，

，从而

（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.682 6， 依题意知X -B(100，0.682 6)，所以 19. (本小题满分12分)如图三棱锥中，侧面

为菱形，

.

(Ⅰ) 证明：；

（Ⅱ）若

，

，AB=Bc ，求二面角

的余弦值.

解：(Ⅰ)连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点，又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO ，由于AO ?平面ABO ，故B 1C ⊥AO.(线面垂直?线线垂直)

又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1.

(Ⅱ)因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点， 所以AO ＝CO ，又因为AB ＝BC ， 所以△BOA ≌△BOC ，

x 2

s 1700.021800.091900.222000.33x =?+?+?+?2100.242200.082300.02+?+?+?2222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s =-?+-?+-?22200.33100.24200.08300.02

150.

+?+?+?+?=~(200,150)Z N (187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.P Z P Z <<-<<+=）1000.682668.26.EX =?=111

ABC A B C -11BB C C

1AB B C

⊥1

AC AB =1

AC AB ⊥o

160CBB ∠=111

A A

B

C --

故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两互相垂直．

以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz.

因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又AB ＝BC ，

则A(0，0，33)，B(1，0，0)，B 1(0，33，0)，C(0，－33，0)，＝(0，33，－3

3

)，＝＝(1，0，－

33)，＝＝(－1，－3

3

，0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的一个法向量，

则，即???33y －33z ＝0x －33z ＝0

，

所以取n ＝(1，3，3)．

设m 是平面A 1B 1C 1的一个法向量，则. 同理可取m ＝(1，－3，3)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1

7

，

所以二面角A －A 1B 1－C 1的余弦值为1

7

.

20. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

(Ⅰ)求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于

两点，当的面积最大时，求的方程.

解：(Ⅰ)设F(c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝3，又c a ＝3

2，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，

故E 的方程为x 24

＋y 2

＝1.

(Ⅱ)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2

＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.

当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞3

4时，

x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1

，

A E 22

2

21(0)

x y a b a b +=>

>2F AF 3O E A l E ,P Q OPQ ?l

从而|PQ|＝k 2

＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－3

4k 2＋1

.

又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝1

2d ·|PQ|＝44k 2－34k 2＋1.

设4k 2－3＝t ，则t>0，S △OPQ ＝4t t 2＋4

＝4

t ＋4t

.

因为t ＋4t ≥4.当且仅当t ＝2，即k ＝±7

2时等号成立，且满足Δ＞0.

所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝

72x －2或y ＝－7

2

x －2. 21. (本小题满分12分)设函数

，曲线在点（1，处的切线为

. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.

解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －

1.

由题意可得f(1)＝2，f ′(1)＝e .

故a ＝1，b ＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f(x)>1等价于x ln x>x e －

x －2e .

设函数g(x)＝x ln x ，则g′(x)＝1＋ln x.

所以当x ∈(0，1e )时，g ′(x)<0；当x ∈(1

e

，＋∞)，g ′(x)>0.

故g(x)在(0，1e )单调递减，在(1e ，＋∞)单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)的最小值为g(1

e

)＝

－1

e

. 设函数h(x)＝x e －x －2e

，则h′(x)＝e －

x (1－x)．

所以当x ∈(0，1)时，h ′(x)>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)<0，

故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h(x)在(0，＋∞)的最大值为h(1)＝－1

e .

综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后

1

(0ln x x

be f x ae x x -=+

()y f x =(1)f (1)2y e x =-+,a b ()1f x >

的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；

（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.

解：(Ⅰ)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE. 由CB ＝CE 得∠CBE ＝∠E ， 故∠D ＝∠E.

(Ⅱ)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由BM ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上．

又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点， 故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD.

所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE.

又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E ，由(Ⅰ)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形． 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线：，直线：（为 参数）. (Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求

的最大值与最小值. 解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为?

????x ＝2cos θ

y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.

(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝

5

5

|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA|＝

d sin 30°

＝255|5sin (θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4

3.

当sin (θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为225

5；

当sin (θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为

25

5

.

C 22

1

49x y +=l 222x t y t =+??=-?

t C l C P l o 30l A ||PA

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

若，且.

(Ⅰ) 求的最小值；

（Ⅱ）是否存在

，使得？并说明理由.

解：(Ⅰ)由ab ＝1a ＋1b ≥2

ab ，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．

故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．

所以a 3＋b 3的最小值为4 2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.

由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.

0,0a b >

>11

a b +=33

a b +,a b 236a b +=