高一数学预科班讲义

高一数学预科第1讲：集合及其运算

一、集合的含义与表示：

1.集合的表示方法：① ② ③ 2．关于集合的元素的特征：

（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两

种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应

重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的

数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．常用数集的记法：

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {

} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，

210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}

整数与分数=Q

（5）实数集：全体实数的集合记作R {}

数数轴上所有点所对应的=R

5．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。 6. 有限集合、无限集合、空集的定义 例题1.下列各组对象不能组成集合的是( )

A.大于6的所有整数

B.高中数学的所有难题

C.被3除余2的所有整数

D.函数y=x

1

图象上所有的点

练习：下列条件能形成集合的是( )

A.充分小的负数全体

B.爱好足球的人

C.中国的富翁

D.某公司的全体员工 例题2、填空：或用符号?∈

（1） -3 N ； （2）3.14 Q ； （3）3

1

Q ； （4）0 Φ ；

（5）3 Q ； （6）2

1

- R ； （7）1 N +； （8）π R 。

练习：下列结论中，不正确的是( )

A.若a ∈N ，则-a ?N

B.若a ∈Z ，则a 2∈Z

C.若a ∈Q ，则｜a ｜∈Q

D.若a ∈R ，则R a ∈3

例题3：用列举法表示下列集合：

① {|x x 是15的正约数} ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈ ③{(,)|2,24}x y x y x y +=-= ④ {|(1),}n

x x n N =-∈ ⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈

例题4：用描述法表示下列集合：

① {1,4,7,10,13}； ②{2,4,6,8,10}----- ③1,1,1,1

课堂练习：

1.下列说法正确的是 ( )

A.{}1,2,{}2,1是两个集合

B.{}(0,2)中有两个元素

C.6|

x Q N x ?

?

∈∈????

是有限集 D.{}

2|20x Q x x ∈++=且是空集 2.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是( )

A.{}3,2,1,0,1,2,3---

B.{}2,1,0,1,2--

C.{}0,1,2,3

D.{}1,2,3

3.给出下列4个关系式：{}3,0.3,0,00R Q N +

∈?∈∈其中正确的个数是( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 4.下列元素与集合的关系中正确的是( ) A.N ∈2

1

B.2{x R|x ≥3}

C.|-3|N*

D.-3.2Q

5.给出下列四个命题：

(1)很小的实数可以构成集合； (2)集合{y|y=x 2-1}与集合{(x,y)|y=x 2-1}是同一个集合； (3)1,

23,4

6

,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素；

(4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y R}是指第二象限或第四象限内的点的集合. 以上命题中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

6.下列集合中表示同一集合的是( )

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={3,2},N={(2,3)}

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}

D.M={1,2},N={2,1} 7.已知x N,则方程2

20x x +-=的解集为( ) A.{x|x=-2}

B. {x|x=1或x=-2}

C. {x|x=1}

D.

1

8.已知集合M={m N|8-m N},则集合M 中元素个数是( ) A.6 B.7

C.8

D.9

9.方程组2

5x y x y +=??-=?

的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

10.已知集合Ａ＝{}

20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 11.用符号“”或“”填空：0_______N,

5______N, 16______N.

12.用列举法表示A={y|y=x 2+1,-2≤x ≤2,x Z}为_______________. 13.用描述法表示集合“方程x 2-2x+3=0的解集”为_____________. 14.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合？________

15.已知集合P={x|2

二、集合间的基本关系

1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；

（2）设A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合； （3）设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形

（4）

{2,4,6},{6,4,2}E F ==. 一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ??或 读作：A 包含于B(或B 包含A).如果两个集合所含的元素

完全相同，那么我们称这两个集合相等.

2.真子集：如果集合A B ，但存在元素x ∈B ，且x ?A ，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）

3. 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定空集是任何集合的子集

4.含有n 个元素的集合A 的子集个数为n

2，真子集的个数为n

2

1，非空真子集的个数为n 22

课堂练习：

1.用适当的符号填空：

（1）a {a,b,c} (2)0 {x|x 2=0} (3) {x ∈R|x 2+1=0} (4){0,1} N (5) {0} {x|x 2=x} (6) {2,1} {x|x 2-3x+2=0} 2.写出集合A={1,2,3,4}的所有子集

3.判断下列两个集合的关系

（1）A={1,2,4} B={x|x 是8的约数} （2）A={x|x=3k,k ∈N} ，B={x|x=6z,z ∈N}

（3）A={x|x 是4和10的公倍数，x ∈N +}，B={x|x=20m, m ∈N +}

4. 已知集合A=｛2，8，a ｝, B=｛2，a 2-3a+4｝,又A B ，求出a 之值

5. 已知集合A=｛x|-3≤x ≤4｝B=｛x|2m-1≤x ≤m+1｝,当B A 时，求出m 之取值范围

三、集合的基本运算

1并集：

已知集合A={1,2,3}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6}

一般地，由所有属于集合A 或属于集合A 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ∪B （读作：A 并B ），即A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}

用Venn 图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？

A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪

B B ∪A A ∪B ＝A ? , A ∪B ＝B ? .

例1.设A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求A ∪B

例2：设集合A={x|-1

2. 交集：

已知集合A={2,4,6,8,10}，集合B={3,5,8,12}，集合C={8}，集合A 、B 、C 之间有什么关系？

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B （读作“A 交B ”）即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}

用Venn 图表示：（阴影部分即为A 与B 的交集）

常见的五种交集的情况：

讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？

A ∩A ＝ A ∩＝ A ∩

B B ∩A

A ∩

B ＝A ? A ∩B ＝B ?

例1：设A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，求A ∪B ，A ∩B

例2.已知A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求A ∪B ，A ∩B

A B

A(B)

A

B

B

A B A

3. 补集

在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围，一般地，如果一个集合含有我们研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ，对于一个集合A ，由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于集合U A 的补集，记作记作：U C A ，读作：“A 在U 中的补集”，即

{},U C A x x U x A =∈?且

用Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）

讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析

,

,()U U U U A C A A C A U C C A A ?=??== ,U U C U C U =??=

练习：

(1) U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ； (2) 设U ＝{x|x<8，且x∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； (3) 设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。

集合及其运算巩固练习题

一、选择题：（以下每小题均有A,B,C,D 四个选项，其中只有一个选项正确） 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ） A.学校篮球水平较高的学生

B.校园中长的高大的树木

C.2007年所有的欧盟国家

D.中国经济发达的城市

2．方程组

2

0{

=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）

A ．)}1,1{(

B ．}1,1{

C ．（1，1）

D ．}1{

3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是（ ）

A. a

B. {a ，c}

C. {a ，e}

D.{a ，b ，c ，d} 4．下列图形中，表示N M ?的是（ ）

5．下列表述正确的是（ ）

A.}0{=?

B. }0{??

C. }0{??

D. }0{∈?

6、设集合A ＝{x|x 是参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 是参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( )

A.A∩B

B.A ?B

C.A∪B

D.A ?B

7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个

8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ）

A. 8

B. 7

C. 6

D. 5

10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是（ ）

A. A B

B. B A

C. B C A C U U

D. B C A C U U

11.设集合{|32}M m m =∈-<

N =∈-=Z 则，≤≤ ( )

A ．{}01，

B ．{}101-，，

C ．{}01

2，， D ．{}1012-，，， 12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 二、填空题(把答案填在题中横线上)

13．用描述法表示被3除余1的集合 ．

14．用适当的符号填空：

（1）? }01{2=-x x ； （2）{1，2，3} N ； （3）{1} }{2x x x =； （4）0 }2{2x x x =．

15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,

{a

b

a ，又可表示成}0,,{2

b a a +，则=+20042003b a . 16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合

M

N

A

M

N

B

N

M C

M

N D

=?)(N C M U ，=?N M .

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 设全集{}

{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数，，，，，，，求 A∩B，A∪B，U C A ，U C B ．

18.设全集{}{}{}

4,23,33U x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合，求U C A ，A B ?，

,(),()()U U U A B C A B C A C B ???

19. 不等式组?

??≤->-0630

12x x 的解集为A ，U=R ，试求A 及A C U

20. 已知U={ x ∈N| x ≤10}, A={x|x 是小于10的正奇数}, B={x|x 是小于11的质数},求C U A, C U B .

21. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ?，求实数a 的取值集合．

22. 已知集合}023|{2

=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{2

2

=-+++=a x a x x B ，

（1）若}2{=B A ，求实数a 的值； （2）若A B A = ，求实数a 的取值范围；

23．设全集U 为R ，{

}

{}

2

2120,

50A x x px B x x x q =++==-+=，若

{}{}()2,()4U U C A B A C B ?=?=，求A B ?。

24. 已知方程02=++b ax x ．

（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a ，b 满足的关系式； （2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a ，b 的值

高一数学预科第2讲：函数及其表示

一、函数的概念

1. 函数的定义

设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。

函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 2.研究函数时常会用到区间的概念 设a ，b 是两个实数，而且a

（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b] （2）满足不等式a

（3）满足不等式a ≤x

实数集R 可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作无穷大，我们可以把满足x ≥a ，x>a,x ≤b,x

x 2

（1）求函数的定义域 （2）求f(-3), 2f ()3

（3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值

练习1：求下列函数的定义域 （1）1

f (x)

4x 7

（2）f (x)x 31x 1 （3）2

6

f (x)

x 3x 2

（4）4x

f (x)

x 1

（5）2f (x)x （6）2f (x)x 6x 7

3. 相等函数

由函数的定义可以知道，一个函数的构成要素为：定义域，对应关系和值域，由于值域是由对应关系和定义域确定的，所以，如果两个函数的定义域相同，对应法则相同，那么我们就称这两个函数相等 例题2.下列函数中哪个与y=x 相等？ （1）2

y

x

（2）3

3

y

x （3）2

y

x （4）2

x y

x

练习：下列哪一组中的函数f(x)和g(x)相等 （1）f (x)

x 1，2

x g(x)

1x

（2）2

f (x)x ，4

g(x)

x

（3）2f (x)

x ，3

6g(x)

x

4．函数的三种表示方法： 、 、 例题 3.画出函数y x 的图象

例题4.某公共汽车的票价按如下规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象

4

我们把像例题3和例题4这样的函数称为分段函数 练习1：画出下列函数的图象 （1）0,(x 0)F(x)1,(x 0)

≤ （2）G(n)

3n 1,n {1,2,3}

练习2：设函数2

x

1,x 1

2

,x 1

x

f(x)=，则f(f(3))=

练习3. 设

1,x 0

0,x

01,x 0

f(x)=，1x g(x)

0x ，为有理数，为无理数

则g f(())的值为

5. 映射的定义

一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A

在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:A →B 为集合A 到集合B 的一个映射，活中，有很多映射的例子，例如：设集合A={x|x 是某场电影票上的号码}，集合B={x|x 对应关系f:电影票的号码对应于电影院的座位号，那么f: f:A →B 是一个映射 例题5. 以下给出的对应是不是集合A 到B 的映射？

（1）集合 A={P|P 是数轴上的点}，集合B=R ，对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应

（2）集合 A={x|x 是华兵实验中学的班级}，集合B={x|x 是华兵中学的学生}，对应关系f:里的学生。

6. 函数解析式的求法

1：已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x+3，则f(x)的解析式为 1：已知f(x)是二次函数，且2

f(x+1)+f(x -1)=2x -4x+4，则f(x)=

2：定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)，，若当0≤x ≤1，f(x)=x(1-x)，则当-1≤x ≤0时，

f(x)=

2：已知1

x

f(x)+2f(

)=3x ，求f(x)的解析式 3：已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x ，且f(0)=1， f(x)的解析式

（2）求f(x)在区间[-1,1]上的值域

二、函数的基本性质

1. 函数的单调性

首先，我们研究一次函数f(x)=x和f(x)=x2的单调性

对于二次函数f(x)=x2，我们可以这样描述：在区间（0，+∞）上，任取x1,x2,得到f(x1)=x12, f(x2)=x22,当x1

一般地，设函数f(x)的定义域为I

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1

在区间D上是增函数

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，

在区间D上是减函数

如果y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y= f(x)在这一区间上具有单调性，区间D叫做的单调区间

例题1.如图是定义在[-5,5]上的函数y= f(x)

是减函数

练习：根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数时增函数还是减函数

2.证明函数f(x)2x1在R上是减函数

②③④

2

f(x)x1在（0，+∞）上是增函数

同增异减

1：求函数

2

1

82x x

f(x)=的单调区间

6