统计学教案
统计学
设θ是未知参数，12(,,,)n X X X L 是来自总体的样本，构造两个统计量
11?T θ=12(,,,)n X X X L ，22
?T θ=12(,,,)n X X X L ，对于给定的α（0＜α＜1），若1?θ、2?θ满足
{
1?P θ≤ }2
?θθ≤ 1α=-
则称随机区间［1?θ，2?θ］是参数θ的置信水平为1α-的置信区间, 1α-称为［1
?θ，2?θ］的置信度，1?θ，2?θ称为置信限。
这里有几点需要说明：
(1)区间［1?θ，2?θ］的端点1?θ，2?θ及长度2?θ－1
?θ都是样本的函数，从而都是随机变量，因此［1?θ，2
?θ］是一个随机区间。 (2){
1?P θ≤ }2
?θθ≤ 1α=-是说随机区间
［1?θ，2
?θ］以1α-的概率包含未知参数真值，区间长度2?θ－1
?θ描述估计的精度，置信水平1α-描述了估计的可靠度。 (3)因为未知参数θ是非随机变量，所以不能说θ落入区间［1?θ，2?θ］的概率是1α-，而应是随机区间［1?θ，2?θ］包含θ的概率是1α-。
通俗地说，在点估计的基础上，给出总体参数的一个范围称为区间估计。 （二）总体均值的区间估计
1.正态总体且方差已知；或非正态总体、方差未知、大样本情况下
在这种情况下，样本均值的抽样分布呈正态分布，其数学期望为总体均值μ，方差为
2
n
σ。则2
X Z n
ασ
±?
称为总体均值在1α-置信水平下的置信区间。
区间估计步骤：
1.计算样本统计量
p
x ,p p )
1(-σ
2.计算抽样平均误差
3.计算极限误差
4.确定置信区间
5.估计总量指标
注意抽样方法的不同
［例］保险公司从投保人中随机抽取36人,计算得36人的平均年龄39.5X =岁，已知投保人平均年龄近似服从正态分布，标准差为岁，试求全体投保人平均年龄的置信水平为99%的置信区间。
解：10.99,0.01,αα-==查(0,1)N 表得2
2.575Z α=
2
7.2
39.5 2.57536.4136X Z n
α
σ
-=-?
= 2
7.2
39.5 2.57542.5936
X Z n
α
σ
+=+?
= 故全体投保人平均年龄的置信水平为99%的置信区间为[,] 若总体方差2σ未知，可用样本方差S 2
代替
即±=，，投保人平均年龄在90％的置信水平下的置信区间为岁～岁。
p
p x x μμαα2
2
Z =?Z =?[][]
p
p
x
x
p p x x ?+?
-?+?-,,NP
X
N
在简单随机不重复抽样条件下，
2
2
22222
Nz n N z αασ
σ
=
?+
σ或S 通常未知。一般按以下方法确定其估计值：
①过去的经验数据；②试验调查样本的S 。
[例] 在某企业中采用简单随机抽样调查职工月平均奖金额，设职工月奖金额服从标准差为10元的正态分布，要求估计的绝对误差为3元，可靠度为95%，试问应抽多少职工
解：已知2
10
3
10.95 1.96z ασα=?=-==则
2
2222
2
2
1.96104
2.68433
z n ασ
?=
==≈? 即需抽取43名职工作为样本进行调查。 （三）估计成数时样本大小的确定 在简单随机重复抽样条件下，得到样本容量：
2
22
(1)
P
Z P P n α-=
?（重复抽样条件下）
在简单随机不重复抽样条件下，我们可以得出估计总体比例时样本容量的计算公式为：
2
2
22
2(1)
(1)
P NZ P P n N Z P P αα-=
?+-（不重复抽样条件下）
[例]根据以往的生产统计，某种产品的合格率为90%，现要求绝对误差为5%，在置信水平为95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本
已知，90%P = 5%P ?= 2
1.96Z α=
则222
(1)P
Z P P n α-=?=221.960.9(10.9)
1390.05??-= 必要样本容量的影响因素
1.总体方差的大小；
2.允许误差范围的大小；
3.概率保证程度；
4.抽样方法；
5.抽样的组织方式。
第三节抽样的组织形式
抽样的组织形式有纯随机抽样、机械抽样、类型抽样、整群抽样和多阶段抽样。
一、纯随机抽样
1.含义：对总体单位逐一编号，然后按随机原则直接从总体中抽出若干单位构成样本
2.特点：最符合抽样调查的随机原则，是基本形式。简便易行。
3.范围：仅适用于单位数不多、标志变异较小、分布较均匀的总体
二、类型抽样
1.含义：先将全及总体中的所有单位按某一主要标志分组，然后在各组中采用纯随机抽样或机械抽样方式，抽取一定数目的调查单位构成所需的样本。又叫分层抽样或分类抽样。
2.方法：
A比例分配法 n i/n=N i/N
B 最佳分配法根据各层单位的变异程度的大小来分配
C经济分配法除了考虑单位数目和变异程度外，还有调查费用。
3.特点：能保证分布的均匀性，提高样本的代表性，误差较小；能同时推断总体指标和各子总体的指标
三、机械抽样
1.含义：是先将全及总体所有单位按某一标志顺序编号排列，然后按照固定顺序和相等的空间距离或间隔，从中抽取样本单位的一种抽样组织方式。又叫等距抽样或系统抽样。