对数函数及其性质公开课
..对数函数及其性质公开课
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
漳州正兴学校2011-2012学年上学期高一数学备课组教案
教师林晓玲授课
时间
课时数 1 备
注
课
题
对数函数及其性质第一课时课型新授课
教学目的1、理解对数函数的概念；
2、根据图象分析对数函数的性质。
教
学
重
点
掌握对数函数的图象和性质．
教
学
难
点
对数函数的定义及性质
教学环节新
课
导
入
（
3
分
钟
）
某种细胞1个分裂成2个，2个分裂成4个…，则1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y是分裂次数x的函数，关系式为：2x
y=
这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……
细胞?
分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．这个函数写成
对数的形式是
2
log
x y
=.
如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是
2
log
y x
=
1.对数函数概念
一般地，函数y=log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=log a x的定义域是（0，+∞），值域是R.
注意：自变量x在真数的位置，x的次数和系数都是1；
像2log,log2
a a
y x y x
==只能说与对数函数有关的对数型函数
教学环节新
课
讲
授
（
10
分
钟
）
课
堂
讨
论
与
分
析
（
7
分
钟
）
探究：（1）在函数的定义中，为什么要限定a＞0且a≠1．
（2）为什么对数函数log
a
y x
=（a＞0且a≠1）的定义域是（0，+∞）．
2. 对数函数的图象.
在同一坐标系中画出下列函数的图象，并观察函数的图象，探求它们之间的关系.
（1）y=log2x；（2）y=log
2
1
x.
观察发现：y=log2x与y=log
2
1
x两个图像关于x轴对称;
用几何画板演示总结图像的特征
对数函数有以下性质
0＜a＜1 a＞1
图
象
定
义
域
（0，+∞）
值
域
R
性
质
过定点（1，0），即x=1时，y=0
在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数例题讲解
例1. 已知对数函数的图像过点（27,3），求f(x)的解析式
例2. 分析：设对数函数的解析式为log
a
y x
=，(a＞0，a≠1）
例3. 代入得，3=log27
a
解得 a=3
演
示
几
何
画
板
与
学
生
一
起
观
察
分
析
提
高
学
生
归
纳
能
力
教
学
环
节
例
题
讲
解
（
22
分
钟
）例4.
3
()log
f x x
∴=
例2 求下列函数的定义域：
（1）y=log a x2；（a＞0，a≠1）
（2）
(1)
log2
x
y x
-
=+.
分析：求函数定义域时应从哪些方面来考虑？
①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意
义.④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.
解：（1）由x2＞0，得x≠0.
∴函数y=log a x2的定义域是{x|x≠0}.
（2）满足
101
112
2
20
x x
x x
x
x
?->>
?
??
-≠?≠
??
??>-
+>?
?
得到定义域为(1,2)(2,)
?+∞
小结：求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
例3：比较下列两个值的大小：
(1)log
2
3.4，log
2
8.5；
（2）log
0.5
3.4，log
0.5
8.5；
（3）log a3.4，log a8.5；
请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小
的方法和步骤，并完成以下练习.
解：（1）对数函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，且3.4
＜8.5. 于是log
2
3.4＜log
2
8.5.
（2）对数函数y=log0.5x在（0，+∞）上是减函数，且3.4
＜8.5. 于是log
0.5
3.4＞log
0.5
8.5.
（3）当a＞1时，对数函数y=log a x在（0，+∞）上是增函
数，于是log a3.4＜log a8.5；
当0＜a＜1时，对数函数y=log a x在（0，+∞）上是减函数，
于是log a3.4＞log a8.5.
小结：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大
例2
要
与
学
生
一
起
观
察，
分
析
提
高
学
生
归
纳
能
力
教学环节
小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，
把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的
自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比
较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨
论来比较两个对数的大小.
练习：已知下列不等式,比较正数m,n的大小关系
(1)log,log
log,log
a a
a a
m n
m n
（0 (2)（a>1）, 课堂拓展 0.30.5 2 3.4 3.42 (1)log 3.4,log 3.4 (2)log 3.4,log2 (3)log2,log0.8 小结：体现数形结合思想的应用 “介值法”体现了问题的转化思想 与 学 生 互 动， 培 养 学 生 探 索 和 发 现 问 题 能 力课 堂 小 结 ： （ 3 分 钟 ） 1.对数函数的定义. 2.对数函数的图象和性质. 3．求函数定义域的途径 4.比较两个对数值大小的方法 教 学 反 思 主备课：林晓玲 备课组： 对数函数及其性质 【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠． 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 要点二、对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函 数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，y＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0 要点诠释： 关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律 课题：对数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点：对数函数的图象和性质 教学难点：对数函数的图象和性质及应用 教学过程： 一、复习准备： 1. 画出2x y =、1 ()2 x y =的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 2. 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log P =， 生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数） 二、讲授新课： 1.教学对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数， 而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 0(>a ，且)1≠a ． ③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x = ⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？ 列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点） 引申：图象的分布规律？ 2、总结出的表格 对数函数及其性质 尤溪五中 开课班级：高一（3）开课时间：2019.10.24 一、教材分析 本节教材的地位和作用：基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 二、三维目标 1．知识与技能： （1）理解对数函数的概念； （2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法： （1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力； （2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力； （3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养； 3．情感、态度与价值观： 在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。 三．教学重难点 重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。 难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。 四、教学过程： 然后由学生讨论完成下表：（空白表，由学生填） 函数 log a y x = 的图象 特征函数 log a y x = 的性质 图象都位于y轴的右方 高中数学教学设计大赛 获奖作品汇编 4、对数函数及其性质（1） 一、教材分析 本小节主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计 对数函数及其性质（一） 班级_____________姓名_______________座号___________ 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 2．函数y ＝x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(0，12 ) 4．设a ＝2log 3，b ＝2 1log 6，c ＝6log 5，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 6．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 7．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是________． 8．若函数f (x )＝log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． 《对数与对数运算》（第一课时） 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性. 三、学生学情分析 数学教案－指数函数与对数函数的性质 及其应用 教案 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。 指数函数与对数函数关系一览表函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集r 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集r 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数 函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1） 图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1) x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关 于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反 函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的 值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x 2．2．2 对数函数及其性质（1） 教学目标： 1、理解对数函数的概念； 2、掌握对数函数的性质，了解对数学函数初步应用； 3、通过师生间，学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习； 4、通过探究、思考、培养学生思维迁移能力和主动参予能力。 教学重点： 1、对数函数的定义、图象和性质； 2、对数函数性质的初步应用。 教学难点： 底数a 对对数函数性质的影响 教具准备：多媒体课件、投影仪 教学过程： 一、创设情景，引入新课 古谚云：一尺之木，日截其半，万世不竭……若设木长为x ，则其与经过的天数y 存在着一种关系，这个关系应如何表示呢？ （师）：则x 与y 的关系式为x=(2 1)y …… 那能否根据（*）式把经过天数y 表示出来？（学生讨论并回答） （师）：经过的天数y 可以表示为y=2 1log x 研究发现：在关系式y=2 1log x 中，把木长x 看作自变量，则每一个确定x 值，都有唯一一个经过的天数y 的值与之对应，由函数的定义，经过的天数y 就可以看作木长x 的函数，这样的函数称作为对数函数，即为本节课所要研究的内容。 （引入新课，书写课题：对数函数） 二、讲解新课 （一）对数函数的概念 问题1.1：由实例一我们是不否能得到对数函数的一般式吗？ 问题1.2 ：y=x a log 式中的底数a 有什么具体限制条件吗？请给合指数式给以解释。 问题1.3：你能否根据指数函数的定义给出对数函数的定义吗？ （生交流，师结合学生回答总结、归纳并多媒体显示对数函数定义） 定义：一般地，函数y=x a log (a>0，且a ≠1)叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=x a log 的定义域是（0，+∞），值域为R 。 问题1.4：为什么对数函数的定义域是（0，+∞）？ 问题1.5：函数y=x a log 和函数y=x a log (a>0，a ≠1)的定义域，值域之间有什么关系？ （二）对数函数的图象和性质 （1）讨论对数函数的图象 1、利用“几何画板4.03”软件在同一坐标系中画出下列两组函灵敏图象并观察图象，探究它们之间关系。 （1）y=2x （2）y=x a log （3）y=(21)x y=x 21log 2、当a>0、a ≠1时，函数y=a x 、y=x a log 的图象之间有何种关系？ （多媒体函数图像，提示（1）（2）两组图象之间的关系，由老师引导，学生讨论总结。） Ⅱ对数函数的性质 分析两组函数的图象，对照指数函数的性质，总结归纳对数函数性质。 （老师引导，学生相互讨论交流总结、归纳） 《对数函数及其性质》 学校：广西师范大学院系：数学科学学院 作者： 学号： 对数函数及其性质 一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的， GUANGXINOPMAL UNlVEPSITY 人教A版第二章第2.2.2节 针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计： 第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 （一）学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。 （二）学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a 的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受对数函数中底数a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的 规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。 三、教材分析 （一）教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质, 掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一, 对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作 对数函数及其性质（1） （万宁中学吴刚） 一、教材分析 本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教A版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．知识目标：使学生理解对数函数的定义并了解其图象的特征及对应函数性质； 2．能力目标：培养学生动手操作的能力以及自主探究数学问题的素养； 3．情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。 五、教学重点与难点 教学重点：掌握对数函数的图象和性质； 教学难点：是底数对对数函数值变化的影响。 六、教学准备 教师：将整个教学内容用几何画板制成课件。 学生：2～4人分成一组；科学计算器。 七、教学过程设计 教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结 对数公开课教学反思 本节课是高中数学必修1第二章对数的第一节课，是一节概念课。我首先想着要从具体实例引入，要让学生感受到引入对数的必要性，于是查看了对数的起源，其实对数的起源来源于运算，将乘法运算简化为加法运算。我采用了这样的一个例子 思考：测量地震级别常采用里氏震级.汶川地震为8.0级，我们似乎很少去关心3级，4级的地震，事实上，这些级别的地震能量（震源所释放的能量大小）远远小于7级，8级，地震能量E 与地震震级M 的关系式为30M E =， (1)8级地震释放的能量是4级地震释放能量的多少倍？ (2)测得某地震所释放的能量1.8×104，问它是多少级的地震？ (3)比较地震伤害能力的大小采用地震能量来比好，还是采用里氏震级好呢？ 后来评课的时候，大家对这个引例给出过讨论，这个例子是好还是不好？有没有必要，其实就是想达到吸引学生，调动积极性，然后让学生感受我们有必要去引入这个符号来进行对数运算而已。我觉得在课堂中，他达到了他的目的。另外这里，可以为换底公式那一节做个铺垫。 班级是自己当班主任的班级，学生的配合是到位的。 这节课的知识点是很少的，就觉得数学思维性的东西很难去展现，但是新课的味道又太淡了，感觉就是知识点讲完之后，开始灌注练习，会给人这种感觉，我的想法是，这些练习都是为了学生更好地去掌握概念。但是，如何要把这节课上的生动，让学生去发现一些东西，而不是给出练习，让学生纯粹地去练，就感觉学生参与课堂是被动的，如何让学生很主动地参与课堂中。 听课老师给我很多意见和建议：比如在给出log 10a =，log 1a a =，可以像玩游戏一样的，让学生自己去发现，多算几个，让学生自己来推导，这样课堂的趣味性会更好的。 对于个人，自己要很开心地去上一堂课，去很激动很投入地上一堂课，要有激情，声音上才会抑扬顿挫啊！ 对数函数及其性质 相关知识点总结： 1.对数的概念 一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数，记作x＝log a N．a叫做对数的底数，N叫做真数． 2. 对数与指数间的关系 3.对数的基本性质 (1)负数和零没有对数．(2)log a1＝0(a＞0，a≠1)． (3)log a a＝1(a＞0，a≠1)． 10.对数的基本运算性质 (1)log a(M·N)＝log a M＋log a N．(2)log a M N ＝log a M－ log a N． (3)log a M n＝n log a M(n∈R)． 4.换底公式 （1）log a b＝log c b log c a (a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞ 0)．（2） 5.对数函数的定义 一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 6.对数函数的图象和性质 a＞10＜a＜1 图 象 性质 定义域(0，＋∞) 值域 R 过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 7.反函数 对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a ＞0且 a ≠1)互为反函数． 基础练习： 1.将下列指数式与对数式互化： (1)2 －2 ＝1 4 ； (2)102＝100； (3)e a ＝16； (4)64－13＝1 4 ； 2. 若log 3x ＝3，则x ＝_________ 3.计算： (1); (2) ; (3)2 4.（1） log 29 log 23 ＝________． （2） 2.2.2对数函数及其性质（1） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数函数的概念； 2． 对数函数的图像与性质． （二） 能力训练要求 1． 理解对数函数的概念； 2． 掌握对数函数的图像、性质； 3． 培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图像、性质． 教学难点 对数函数的图像与指数函数的关系． 教学过程 一、复习引入： 1、指对数互化关系： b N N a a b =?=log 2、 )10(≠>=a a a y x 且的图像和性质． 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示． 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4 人教A版必修1 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数运算 一、教材分析： 人教版普通高中数学课程标准实验教科书《必修①》中，本节课是在学生学习了指数函数及其性质之后学习的，其主要内容是对数概念及指对数互化、对数运算等。教材采用欧拉提出的指对运算关系，通过实际问题直接引入对数概念，简明扼要地指出“对数”研究的必要性，揭示了对数与指数之间的内在关系，同时也很好地保持了“基本初等函数”这一章节的系统性。本节学习内容蕴含转化化归数学思想，类比与对比等基本数学方法。对数与指数的互化是对指数函数及其性质的巩固，也是后面学习对数函数的基础。 二、学情分析： 学生在§2.1学习了指数以及指数函数的主要性质，对指数相关知识已很清晰；另外，在第一章学习了函数及其性质，对学习本课已具备前提条件。尽管如此，对学生而言，“对数”毕竟是一种新的运算，它的表示及其运算规则都是之前所不熟悉的。因此，接受起来还是比较困难，且不能很好的领悟其中的“算理”。教材在“课后阅读与思考”中特别介绍了“对数的发明”，供学生了解对数的发展史。但从实施情况来看，大部分学生并未给予应有的关注，而教师常常因为课时的限制未能将之纳入到课堂之内。因此，对数这一在历史中近乎狂喜的发明也就被淹没了，学生体会不到其中的奥妙。 三、教学重难点： 重点：对数概念的理解；对数与指数的互化. 难点：对数概念的理解. 四、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下： （1）知识技能目标 ①理解对数的概念； ②熟练地进行指数式与对数式互换； ③掌握对数的运算性质，并应用运算性质解决相关问题； （2）过程与方法目标 ①经历对数发展历程，引出对数的定义与性质，掌握指数式与对数式互化方法. ②在得出对数运算性质的过程中通过证明强调数学的严谨同时体会转化化归思想. （3）情感态度与价值观 ①通过指数式与对数式的互化，使学生感受对数式是指数式的另一种表达形式，进一步体会运用指数式探求对数的基本思路及方法，发展学生的数学表达能力和严谨有序的思维品质. ②让学生探索、体会、感受对数概念的形成和发展过程；了解历史发展过程，数学家的奋斗精神；以此激发学生的学习兴趣，增强学生的成功感体验，帮助学生认识自我、建立自信. 对数函数及其性质 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠． 学习策略： 在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质，在学习过程中，要处处与指数函数相对照． 二、学习与应用 指数函数图象及性质： y =a x 01时图象 图象 性质 （1）定义域 ，值域( ， ) “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ （2）a0= ，即x=0时，y= ，图象都经过(，)点 （3）a x=a，即x=1时，y等于底数 （4）在定义域上是单调函数（4）在定义域上是单调函数 （5）x<0时，a x> x>0时， 0时，a x> （6）既不是奇函数，也不是偶函数 要点一：对数函数的概念 1．函数 叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是() 0,+∞． 2．判断一个函数是对数函数是形如log(0,1) a y x a a =>≠ 且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为； （2）底数为的常数； （3）对数的真数仅有． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像 log(1),2log,log3 a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是 对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求，底数大于 零且不等于1；②对含有字母的式子要注意． 要点二：对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质定义域： 值域： 过定点，即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，＜0， 当x≥1时，≥0 当0＜x＜1时，＞0， 当x≥1时，≤0 要点诠释： 关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起， 应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#12255#392183 §2.7.2 对数的运算性质 教学目标 （一） 教学知识点 1. 对数的基本性质. 2. 对数的运算性质. (二) 能力训练要求 1. 进一步熟悉对数的基本性质. 2. 熟练运用对数的运算性质. 3. 掌握化简,求值的技巧. 教学重点 对数运算性质的应用. 教学难点 化简,求值技巧. 教学方法 启发引导法 教学过程. 一、 复习回顾 上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得： l o g b a a N b N =?= （0a >且1a ≠，0N >） 本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质. 二、讲授新课 1 . 对数的基本性质 由对数的定义可得：log 10a = l o g 1a a = （0a >且1a ≠） 把log a b N = 代入 b a N = 可得 log a N a N =（0a >且1a ≠，0N >） 上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数N 转化为以a 为底的指数 形式。 把b a N = 代入 log a b N = 可得 log b a b a = （0a >且1a ≠） 通过上式可将任意实数b 转化为以a 为底的对数形式。 例如： log 2 2 2log a a a a == （0a >且1a ≠） 2 . 对数的运算性质 接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。 指数的运算性质 p q p q a a a +?= 在上式中 设 p a M =， q a N = 则有 p q MN a += 将指数式转化为对数式可得： l o g a p M = l o g a q N = l o g a p q M N += ∴ l o g l o g l o g a a a M N M N += （0M > 0N > 0a >且1a ≠） 这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。 请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何？ log log log a a a M M N N -= 证明如下：∵ l o g l o g l o g l o g a a a a M M N N N N = +- l o g ()l o g a a M N N N =?- l o g l o g a a M N =- 对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。 根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘， 即 1212 l o g l o g l o g l o g a a a N a n N N N N N N +++= 若 12N N N N M ==== 则上式可化为 l o g l o g n a a n M M = n N +∈ 若将n 的取值范围扩展为实数集R ，上式是否还会成立？ 下证 l o g l o g n a a n M M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈） 证明：设 l o g a M p = 则有 p M a = ∴ n np M a = ∴ log n a M np = 即 l o g l o g n a a M n M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈） 对数的乘法法则：M 的n 次方的对数会等于M 的对数的n 倍。 例如：3222log 8log 23log 23=== 初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案 编订：XX文讯教育机构 指数函数与对数函数的性质及其应用 - 初中数学第五 册教案 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 教案 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。 指数函数与对数函数关系一览表 函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集R 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集R 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数 函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 2.1.2 对数函数及其性质 教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，激发学生的学习兴趣，体会对数函数是一类重要的函数模型。 2. 通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。掌握对数函数的图象与性质，并会初步应用。 3. 培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。 教学重难点 重点是掌握对数函数的图像和性质，难点是探究底数对对数函数图像的影响。 教学内容 一、新课导学 探究一：什么是对数函数？ 问题引入：前面我们学习了细胞分裂次数x 与所得细胞个数y 之间的函数关系为 x y 2=，若已知细胞个数y ，如何确定分裂次数呢？ 问题一：你能类比指数函数的定义给对数函数下个定义吗？ 问题二：定义中需要注意什么问题？ （一）函数函数的定义 一般地，函数 叫做对数函数，x 是自变量，函数的定义域为 。 做一做 下列函数是对数函数吗？ ）（2-3log 2x y = x y 5-log = x y x ）（1log -= 5l o g 32+=x y 探究二：对数函数的图像和性质 1．用列表、描点、连线的作图步骤，画出对数数函数、的图像。 观察图像，分析以下问题： 问题1：从图像看，两种函数的有哪些图像特征？ 问题2：根据图像特征，你能分别说出函数的性质吗？ 问题3：底数大小与图像有什么关系？ 2．对数函数x a y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质如下： 三、课堂小结 四、课后反思 你能用今天学到的知识探究函数 比较、对照指数函数与对数函数的图像与性质，函数 与 函数 有什么关系？ a x y =x a y =x y a log = 对数的概念说课稿 说课人：尹斌 尊敬的各位专家评委，大家下午好： 今天我与大家分享的课题是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修1第三章第2节对数及其运算。我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学过程、板书设计、特色说明六个方面谈谈对本节课的教学设想。 一、教材分析 1、本节在教材中的地位和作用 对数”是学生深入学习了指数与指数函数后的一个崭新内容，既是对指数知识的复习与巩固，又是后面学习对数函数的基础，起到承上启下的作用，同时也是高考的热点内容之一。 2、教学目标 鉴于本节在教材中有这样的地位和作用，根据教学大纲要求，我将教学目标确定为以下三方面： (1) 知识与技能：理解对数的概念，掌握对数运算与指数运算互化过程，了 解常用对数和自然对数。 (2) 过程与方法：通过对数与指数的互化,培养学生转化与化归的数学思想方 法,培养学生分析问题和解决问题的能力。 (3) 情感态度与价值观：通过生生互动、师生互动的教学过程，让学生体会成功的愉悦，激发学生学习兴趣，树立学习数学的信心。 3、教学重难点 再由本节课的教学内容及高一学生的认知水平，我将对数的定义和指数与对数的互化确定为本节重点，对数的产生是数学发展的需要，在高中后继课程中，有着很重要的作用，故认识对数是很必要的，又由于高一学生对概念理解能力较弱，很多学生不知从什么角度去分析、理解概念，因此将对数概念的理解和应用确定为本节课的难点． 二、教法分析 建构主义教学理论认为，教学不仅是授与受的过程，而是学习者主动学习的过程。再根据学生已有的认知结构和心理特征，本节课我采用引导发现式和自主探究与合作交流相结合的形式，利用多媒体教学，增强教学的直观性，增大课堂容量，提高课堂效率。 对数函数及其性质 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域 是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像 log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。 （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。 类型一、对数函数的概念 例1.下列函数中，哪些是对数函数？ （1）log 0,1)a y a a =>≠； （2）2log 2;y x =+ （3）28log (1)y x =+； （4）log 6(0,1)x y x x =>≠； （5）6log y x =． 【答案】（5） 【解析】（1）中真数不是自变量x ，不是对数函数． （2）中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）中真数为1x +，不是x ，系数不为1，故不是对数函数． （4）中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数． （5）中底数是6，真数为x ，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【总结】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件． 定义域：（0，+∞）知识讲解对数函数及其性质提高
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