“数学文化”课
1.0 关于“数学文化”课
【摘记】
★ 数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力之一。
数学与人类文明、与人类文化有着密切的关系。
★2002年，在北京国际数学家大会期间，陈省身先生为“中国少年数学论坛”活动题词“数学好玩”，鼓励青少年喜爱数学、学好数学。
★数学，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位。
★“数学文化”一词的内涵，简单说，是指数学的思想、精神、方法、观点，以及他们的形成和发展；广泛些说，除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。
★“数学文化”课的宗旨是提高学生的数学素养。
★不管从事什么工作，从数学课程学习中获得的数学素养，数学的思维方法和看问题的着眼点等，倒会随时随地发生作用，使人们在实践中终生受益。
★一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了。
★一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量。
★数学不仅是一种重要的“工具”或“方法”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。
★“数学素养”的通俗说法是“把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西”。例如，从数学角度看问题的出发点；有条理的思维，严密的思考、求证；简洁、清晰、准确的表达；在解决问题时、总结工作时，逻辑推理的意识和能力；对所从事的工作，合理的量化、简化，周到的运筹帷幄。
★“数学素养”包含五点：一是主动寻求并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；二是熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己的数学思想的素养；三是具有良好的科学态度和创新精神，合理的提出新思想、新概念、新方法的素养；四是对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多种角度探寻解决问题的方法的素养；五是善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。
★“数学文化课”虽然要以知识为载体，却并不以传授数学理论知识为主要目的，而是以教授数学思想为主，以提升学生的数学素养为主。
★“数学文化课”是从数学问题、数学典故、数学观点等角度切入，并以他们为线索来组织材料，进行教学。
★在“数学文化课”中可能得到的收获有：了解数学的历史，拓宽对数学认识，引起对数学的兴趣，感悟数学的思想，提高数学素养，学会以数学方式的理性思维观察世界的方法。
1.1数学是什么？
【摘记】
★恩格斯说：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科。
★美国数学家柯朗说：数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。
★法国数学家伯雷尔说：数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。
★英国数学家罗素说：数学是所有形如p蕴含q的命题的类，而其中命题p是否对，却无法判断，因此，数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。
★南京大学方延明教授搜集的数学的15种定义：
哲学说：数学是一种哲学。哲学从一门学科中的退出，意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。（古希腊许多数学家同时也是哲学家。）
符号说：数学是一种高级语言，是符号的世界。
科学说：数学是精密的科学，数学是科学的皇后。
工具说：数学是其他所有知识工具的源泉。
逻辑说：数学推理依靠逻辑，数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。
创新说：数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。
直觉说：数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。
集合说：数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。
结构说（关系说）：数学是一种关系学。
模型说：数学就是研究各种形式的模型。
活动说：数学是人类最重要的活动之一。
精神说：数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。
审美说：数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。
艺术说：数学是一门艺术。
万物皆数说：数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。
★方延明教授本人对数学的定义：数学是研究现实世界中数与形之间的各种形式模型的结构的一门科学，
★数学家徐利治关于数学的定义：数学是实在世界的最一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多样性的量与空间形式的科学。
★数学的三大特点：抽象性、精确性和应用的广泛性。
★数学的研究对象本身就是抽象的：数学的研究对象是从众多的物质及物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。如：数学中研究的圆。
★数学抽象的重点在于事物的数量关系和空间形式。
★数学的抽象程度大大超过了其他学科。
★核心数学主要处理抽象概念以及概念间的抽象关系。
★数学的精确性，表现在数学推理的严格和数学结论的确定两个方面
★德国数学家汉克尔说：在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼
★华罗庚先生说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。
★历史上数学应用的精彩例子：哈雷彗星的发现、海王星的发现、电磁波的发现。
★有趣的中国现象：作为思想教授的大学校长
丁石孙——北京大学苏步青——复旦大学
谷超豪——中国科学技术大学潘承洞——山东大学
齐民友——武汉大学伍卓群——吉林大学
吴传喜——湖北大学王梓坤——北京师范大学
陆善镇——北京师范大学王建磐——华东师范大学
史宁中——东北师范大学侯自新——南开大学
李岳生——中山大学曹策问——郑州大学
杨思明——湘潭大学展涛——山东大学
黄达人——中山大学周明儒——徐州师范大学
路钢——华中师范大学邱玉辉——西南师范大学
王国俊——陕西师范大学……
★数学与文学:用数学方法对作品进行写作风格的分析、词汇相关程度分析和句型频谱分析，如《红楼梦》前八十回与后四十回的作者是否相同？
★数学与史学：考古对数学史的推进，如“四阶完全幻方”。
★数学与哲学：迪莫林说“没有数学我们就无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度，而若没有两者，人们就什么也看不透。”
★数学与经济：获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背景的人占一半以上。★数学与社会学：社会学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的地步。
★2000年是联合国宣布的“世界数学年”，联合国教科文组织指出“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。”世界需要这把钥匙，生活在现代社会的每个人都需要这把钥匙。
1.2数学发展简史
【摘记】
★数学发展简史分四个阶段：数学起源时期、初等数学时期、近代数学时期、现代数学时期★ 数学主要起源于四个“河谷文明”地域，即非洲的尼罗河、西亚的底格里斯河和幼发拉底河、中南亚的印度河与恒河、东亚的黄河与长江。
★刻痕记数是人类最早的数学活动。古埃及的象形数字出现在约公元前3400年；巴比伦的楔形数字出现在约公元前2400年；中国的甲骨文数字出现在约公元前1600年。
★远古人类的活动，从数数开始逐渐建立了自然数的概念，创造了简单的计算方法，认识了简单的几何图形，逐步形成了数学。
★初等数学时期分三个阶段：希腊、东方和欧洲文艺复兴时代。
★数学的希腊阶段最辉煌的著作是欧几里得的几何《原本》。
★在算术与代数方面，希腊人做了不少工作，他们奠定了数论的基础，研究了丢番图方程，发现了无理数，找到了求平方根、立方根的方法，知道了算术级数与几何级数的性质。
★中国最早的数学著作《周髀算经》，实际上是从数学上讨论中国“盖天说”古代宇宙模型。该书在数学上的主要成就是分数运算、勾股定理及其天文测量中的应用。
★《九章算术》是中国古代最重要的数学著作，书中已经给出了三元一次方程组的解法，同时在世界历史上第一次使用负数，叙述了对负数进行运算的规则，也给出了求平方根与立方根的方法。
★刘徽是中国古代最杰出的数学家，被称为“中国古代数学第一人”，他大量使用的“出入相补原理”是我国古代数学特有的推理论证方法，另外他的另一个重大贡献是发明了割圆术，并用割圆术计算圆周率π，现在称为“徽率”的157/50即3.14，作为圆周率的近似值以精确到小数点后两位。
★祖冲之在历法和数学上都有重大贡献，他计算出圆周率的上限为 3.1415927，下限为3.1415926,，他的另一成就是在刘徽工作的基础上给出了球体积的计算公式，其中不仅用到了“出入相补原理”，还用到了“祖氏原理”，即“幂势既同，则积不容异”。
★宋元数学四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。
★古代印度人发明了现代记数法，特别是发明了“0”。
★花拉子米的《还原与对消计算概念》开创了作为“解方程的科学”的代数学。
★伽利略说：宇宙这本书是用数学的语言写成的。
★变量数学建立的第一个里程碑是1637年笛卡尔的著作《几何学》。这本书引入了“坐标”的概念，借此把平面上的点与有序实数对建立了一一对应的关系，从而奠定了解析几何的基础。
★恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”
★微积分的起源，主要来自对解决两个方面问题的需要：一是力学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度，以及已知速度对时间的关系求路程；二是几何学的一些老问题，作曲线在某点的切线问题，以及求面积和体积的问题。
★微分方程论研究的是一种方程，方程中的未知项不是数而是函数；变分法研究的是一种极值问题，所求的极值不是点或数，而是函数；微分几何是关于曲线和曲面的一般理论。18世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的“分析“，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科之一，并在18世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。
★现代数学时期分三个阶段：现代数学酝酿阶段、现代数学形成阶段、现代数学繁荣阶段。★庞加莱是高斯和柯西之后无可争议的数学大师，他在微分方程自守函数、天体力学、拓扑学等方面的研究都有开创性的工作，可以说他是一位“万能数学家”。
1.3数学的魅力
【摘记】
★数学是最具有魅力的，就如同音乐、图画具有魅力一样。
★渔网的几何规律：
相信大家都见过渔网，如果没有见过的话，你一定见过用绳索编织的其他某种网。你是否知道，用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数（V），网眼数（F），边数（E）都必须符合下面的公式： V+F-E=1
网，可以是多种多样的，纷繁复杂的，但是，他们全都满足同样的规律，这里，当然有其内在的本质。而用数学方法，不但可以表达这种本质，还可以证明这种本质。你看，是不是具有某种魅力？
事实上，这种规律在三维的情形，就是多面体的欧拉公式：V+F-E=2。这里， V 表示凸多面体的顶点数，F表示凸多面体的面数，E表示凸多面体的棱数。你可能知道多面体的这个欧拉公式，它对任何凸多面体都普遍适用，而上述关于绳索织网的公式，是欧拉公式在二维时的情形。
数学就是有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。★任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多
标题中给出的问题在数学上是一个“存在性问题”。可以改述为“任何一个省会城市中一定存在两个头发根数一样多的人”。
对于存在性问题，通常有两类证明方法：一类是构造性证明方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。
上述命题如果采用构造性证明的方法，就是一个一个地去数省会城市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，他们的头发根数一样多，便完成了证明。
这个命题如果采用纯存在性证明的方法，则完全是另外一种途径。我们先形象的介绍一个“抽屉原理”：四个苹果放在三个抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果；n个苹果放在少于n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。现在我们来
证明这个命题，体会一下抽屉原理的用法。首先介绍一个事实：任何一个人的头发根数都不会多于20万根。省会城市中的人数则远远大于20万，例如50万人。现在把头发根数为1至头发根数为20万分别当作20万个抽屉，把50万人放到20万个抽屉里，根据“抽屉原理”，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的人。而同一个抽屉里的人，是头发根数一样多的人。于是便证明了“任何一个省会城市至少存在两个头发根数一样多的人”。这就是纯存在性的证明方法，这就是数学推理的力量！
这里并没有具体给出哪两个人的头发一样多，但是依靠逻辑推理，让你不得不承认，确实存在两个头发一样多的人。
★圆的魅力
圆是非常美丽的图形，圆又非常有用，圆的魅力来自多方面。
车轮可以说是古代最伟大的发明之一。圆没有起点，也没有终点，浑身光滑，毫无瑕疵，这使得车轮能够不停的平稳转动。更加重要的是圆上任意一点到圆心的距离都是定长，这使得车轮滚动时，坐在车上的人不会有上下起伏的感觉。所以想到用圆作为车轮的形状，实在是了不起的发明。而在世界的不同地域，人们都各自独立的发明了车轮，就如同人们都各自独立地发明了陶器、各自独立地创造了数字一样。这表明它们是人类智慧进化发展到一定事期的必然产物。
无论大圆还是小圆，圆的周长与直径之比总是一个常数。而求出这个常数的近似值，竟成为历史上数学家投入巨大精力解决的难题，并且该近似值的精确度的高低，竟成为一个地域数学发展程度的标志，这个常数后来被称为圆周率，并记作π。圆周率π不但是常数，是无理数，而且是超越数。
在相同面积的平面图形中，圆具有最短的边界。
★“三角形三内角之和等于180度，这个命题不太好”
这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的,后来又多次说过。所以,这不是随便说的一句话。陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度,这个命题不对”,而是说“这个命题不好”。
三角形三内角之和 = 180 度
n 边形 n 内角之和 = 180 度× ( n – 2 )
n 边形 n 外角之和 = 360 度
★四色问题
四色问题也称为“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生古色利（Francis Guthrie）提出。他在为一张英国地图着色时发现，为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但他证明不了这个猜想。于是写信告诉她的弟弟弗雷德里克（Frederick），弗雷德里克转而请教他的数学老师，即杰出的英国数学家德摩根（Augustus dergan,1806-1871），希望老师帮助给出证明。
德摩根很容易证明了三种颜色是不够的，至少要四种颜色。但德摩根没能解决四色问题，就又把这个问题转给其他数学家，其中包括著名的数学家哈密顿（W.R.Hamilton, 1805-1865），但这个问题当时没有引起数学家的重视。直到现1878年，英国数学家凯来（A.Cayley,1821-1895）对这问题进行了一番思考后，认为这不是一个轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数学回文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章，才引起了更大的关注。一个看起来简单，且容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。
100多年来许多数学家对四色问题进行了大量研究，获得了一系列成果。1920年富兰克林（Philip Franklin,1898-1965）证明了，对于不超过25个国家的地图，四色猜想是正确的，1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个，1936年富兰克林将国家数目提高到31个。1968年，挪威数学家奥雷证明了，不超过40个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明四色猜想。
直到1972年，美国依利诺大学的哈肯（W.Haken）和阿佩尔（K.Appel）在前人的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月，他们终于获得成功。他们使用3台IBM360型超高速电子计算机，耗时1200小时，终于证明了四色猜想。
★素数的奥秘
音乐家用1，2，3，4，5，6，7谱写悦耳的歌曲，数学家用1、2、3、4、5…编织美妙的数学。自然数是整个数学中最重要的的元素之一。而自然数中又有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数；大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”；1则既不是素数也不是合数。由于大于1的自然数中，素数的因数最少，所以素数是特别简单的数。又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。关于素数的规律，有很多猜想，到现在既没有证明，也没有被否定。
素数很早就被古希腊的数学家所研究。2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理20,就给出了“数有无穷多个”的漂亮证明。但是,素数的有些规律,虽然表述出来很容易听懂,研究起来却出人意料的苦难。当然,素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。
关于素数的规律,人类有许多的“猜想”。今还有不少关于素数的重要猜想,既没有被证明,也没有被否定。
有的猜想的解决,现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言,“人类探寻素数规律的历史,将等同于人类的整个文明史”。
三个关于素数规律的问题：
1、从加法的角度研究素数
两个猜想:
每一个足够大的偶数都是两个素数的和（简称1+1）（“哥德巴赫猜想”）”；
“每一个足够大的奇数都是三个素数的和（简称1+1+1）”。
后一个猜想1937年已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例,也没有人给出证明。前者现在也简称为“哥德巴赫猜想”。
2、从乘法的角度研究素数
算术基本定理:任一个大于1的自然数,都可以被表示为有限个素数(可以重复)的乘积,并且如果不计次序的话,表法是唯一的。
算术基本定理早已被证明,但不是采用'构造性'的证明。
未解之谜:这个问题是:对任一个大于1的自然数,试给出一个一般的方法,以便较快地找到有限个素数(可以重复),使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数.
下面用'构造性'证明的思路,来试图找到解决的办法,同时也体会它的困难所在.
3、找一个公式来表示素数
2n
费马素数 (1640年)：Fn = 2 + 1
n
梅森素数 (1644年)：Mn = 2 – 1 (n = 2,3,5,7,13,17,31,67,127,257 )
“梅森数中是否有无穷个素数”的问题,也是未解之谜。
关于费马素数 ,n = 5 时, Fn = 4294967297 = 641 × 6700417
梅森的判断中有五个错误:n = 67,257时 Mn不是素数；而n = 61,89,107
时 Mn是素数。
科尔:《大数的因子分解》 1903年10月267 — 1
193707721 × 761838257287
267 —1 = 193707721 × 761838257287
科尔一言未发;会场上爆发了热烈的掌声.
★“蒲丰投针”的故事
蒲丰是几何概率的开创者，并以蒲丰投针问题闻名于世，发表在其1777年的论著《或然性算术试验》中。其中首先提出并解决下列问题：把一个小薄圆片投入被分为若干个小正方形的矩形域中，求使小圆片完全落入某一小正方形内部的概率是多少，接着讨论了投掷正方形薄片和针形物时的概率问题。这些问题都称为蒲丰问题。其中投针问题可述为：设在平面上有一组平行线，其距都等于D，把一根长l ★“化归”的方法 “化归”,是把未知的问题,转化为已知的问题;把待解决的问题,归结为已 解决的问题,从而解决问题的过程。 数学家波利亚用一个“烧水”的浅显例子，把“化归”的数学思想解释得非常明白。 他说，给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个空水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么做？你于是回答：把空水壶放到水龙头下，打开水笼头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开。 他说，对，这个问题解决得很好。现在再问你一个问题：给你一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个已装了半壶水的水壶，让你烧一满壶开水，你又应该怎么做？然后波利亚说，物理学家这时会回答：把装了半壶水的壶放到水笼头下，打开水龙头，灌成一满壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开。但是数学家的回答是：把装了半壶水的水壶倒空，就化归为刚才已解决的问题了。 ★ 体会公式中X的数学美 公式用“等号”连接了数学中五个重要的常数0，1，i，e，π,反映了数学的“统一美”。她是最美的数学公式之一，理由如下： 1、自然界的 e 含于其中。自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，谁能够离开它？ 2、最重要的常数π 含于其中。世界上最完美的平面对称图形是圆。“最伟大的公式”能够离开圆周率吗？ 3、最重要的运算符号 + 含于其中。之所以说加号是最重要的符号，是因为其余符号都是由加号派生而来。减号是加法的逆运算，乘法是累计的加法…… 4、最重要的关系符号 = 含于其中。从你一开始学算术，最先遇见它，相信你也会同意这句话。 5、最重要的两个元在里面。零元 0 ，单位元 1 ，是构造群，环，域的基本元素。如果你看了有关《近世代数》的书，你就会体会到它的重要性。 6、最重要的虚单位 i 也在其中。虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面，而在哈密尔的4 元数与凯莱的 8 元数中也离开不了它。 7、我之所以说她美，是因为这个公式的精简。她没有多余的字符，却联系着几乎所有的数学知识。 有了加号，可以得到其余运算符号； 有了0，1，就可以得到其他的数字； 有了π 就有了圆函数，也就是三角函数； 有了 i 就有了虚数，平面向量与其对应，也就有了哈密尔的 4 元数，现实的空间与其对应；有了 e 就有了微积分，就有了和工业革命时期相适宜的数学。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。是通过无穷趋近而确定某一结果。罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。 关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合 一、前言 数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机的产与发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。 二、数学史上的第一次“危机” 第一次数学危机是发生在公元前580～568年之间的古希腊。那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为“万物皆数”。所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。在那个时期，上述思想是绝对权威、是“真理”。但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的，绝对的权威受到了严重的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，按照他们的观点，这种长度不是数！另一方面，他们不承认自己的观点有问题，这就陷入了极大的矛盾之中，这是第一次数学危机。 三、第二次数学危机 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到很多年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 四、数学史上的第三次危机 1.悖论的产生及意义 (1)什么是悖论 悖论来自希腊语，意思是“多想一想”。这个次的意义比较丰富，它包括一切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出原命题成立。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如 《数学小故事》校本课程纲要 一、课程开发原则与开发背景 1、开发原则:《数学小故事》课程就是要通过讲故事的 方式让学生轻松学到数学知识,本课程让孩子在趣味化、生活 化的数学教学活动中,自主地建构数学知识,创设轻松、活泼 的教学氛围，使教学活动源于孩子生活，源于孩子好奇之事, 引导孩子积极运用自己有的生活经验去探索、去发现、去体验,让他们亲身感悟数学知识。根据自己对小学数学节本的了解,设计出有趣的数学课程,对学生进行无痕的引导，降低学 生接受的难度。通过学生的探究和发现感受到有趣有用的数学。同时体会我们中国古代光辉的数学成就,有信心学好数 学。游戏是儿童最好的学习方式和途径,而数学语言却以简练 和逻辑为特点。为了把抽象的数学符号变为生动活泼的形象 符号，让儿童更乐于接受,更容易掌握,《数学小故事》将寓 教于乐的传统教学理念移植到单调枯燥的数学教学中,让孩 子在看图朗诵、动手动脑中潜移默化地掌握操作学习法、阅 读学习法、迁移类推学习法、发现学习法、尝试学习法等众 多学习方法,让孩子通过饶有兴趣的认知方式轻松掌握所学 的知识。 2、开发背景：“数学是思维的体操”。作为一门研究数量关系与空间形式的科学,数学不仅具有高度的抽象性、严密的逻辑性,而且具有广泛的应用性。数学以高度智力训练价值以及学科本身 所具有的特点，为培养发展学生的创造性思维品质提供了极大的空间。 数学是学习现代科学技术必不可少的基础和工具,是基础教育的重要组成部分,通过数学思维训练，不仅使学生能够掌握渊博的数学知识，也使那些数学尖子有发挥自己特长的用武之地，更重要的是可以训练他们的思维，增强分析问题和解决问题的能力，促使学生发展，形式健全人格，具有终身持续发展能力的力量源泉。开展教学思维训练活动,对于扩大学生的视野，拓宽知识,培养兴趣爱好,发展教学才能,提供了最佳的舞台，未来的数学家、科学家、诺贝尔奖金的获得者就在他们当中诞生。 二、课程主题与内容 课程主题:数学思维训练 课程内容: 1、通过趣味数学故事了解数学历史知识; ２、通过学习掌握数学速算技巧； ３、通过学习掌握时间的一些知识; ４、掌握生活中的等量代换趣味问题; 5、通过学习了解转化的相关知识； 6、通过学习了解逻辑推理的知识,提高推理能力; 7、通过学习了解数学中一些有趣的规律； 三、课程目标 学生感言：数学选修课给我的帮助 ——062班白璐 庞卡莱（poincare）曾经说过：“数学是一种语言，我们不能用这种语言表达不精确或含混不请的思想。”因此，数学表述的简单，具有哲学趣味和清晰性。数学是一种表达所有合理思想的简洁方式，是形成所有合理思想的基础。 学数学的人和不学数学的人在处理问题和处理事件上的态度和方法往往不尽相同。学数学的人在事情处理上，往往更加严谨，更加讲求效率，更加讲究方法。 数学在人的一生中是必不可少的，如果一个人的寿命长达70年，那么数学在他的生命中就占了2/7，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 我喜爱数学，自然喜欢上数学选修课。 我认为，数学选修课给了我们很大的帮助，平时课堂上所学的知识，有时不能一下子弄懂，一些基础性的知识也掌握的不是很牢固，在上数学选修课的时候，老师专门为我们出了一些基础性的题，在做题的过程中，再次温习了基础知识，使我们掌握的更加牢固。巩固了基础知识后，老师会出一些难度较大的题，在这过程中，我们会小组合作，每个人都有自己的思路，我们把这些思路汇总、结合到一起。当然，有时也有我们解决不了的题，这时就需要老师给我们指导了，老师告诉的不是答案，而是做题的思路、方法。 数学选修课不仅使我把基础知识掌握的更加牢固，而且发散了我的思维。 我爱数学选修课！ 益智数学，快乐学习 ——059班韩雪数学这门课充满了乐趣，而在益智数学的课堂上我也更加体会到了这一点，而且随着老师的讲解与一堂堂有趣的课，我对数学又充满了好奇，有一种探索的欲望。 一道道有趣的、灵活的题，带给每个人深思。大脑在快速转动，手在练习本上写写画画，小组中成员的热烈讨论，课堂上的积极发言……这一切都让人感到那么快乐，那么充实！“古板”的数学题似乎变成了一个充满稚气的孩子，让人很想去了解它，并且课堂不再沉默、紧张，而是一种探求知识、解决问题的美好思想。 尤其是当解开一道道“谜团”后，心中的成就感涌上心头。在小组讨论中，大胆说出自己的见解又是那么的自豪，大家一起讨论时，勇敢向同学，老师说出自己的看法，正确了，也就得到了大家的肯定；错误了，就当作是一次经验总结。 益智数学，让我对数学这门深奥的学科产生了浓厚兴趣，同时，也提高了我的数学水平，让我更全面地学习，体会数学带给人们的便利。也培养了我的好奇心，锻炼了我独立思考解决问题的能力，提高了对数学的见解。总之将我推向了“全面性”！ 益智数学，打造了一个全新的对数学的认识，让我有信心学好这门课！ 益智数学，学生有感 ——062班杜雅平 数学与逻辑思维选修课程 一、总体目标 数学不仅具有基础性、工具性和广泛的应用性价值，而且蕴含了丰富的人文价值。数学在育人方面主要有以下体现：一是有利于学生思维能力与创新能力的培养，二是可以为学生的发展奠定基础，三是可以优化学生的个性品质。 着眼于学生发展和社会发展的需要，学生在学习数学知识的同 时，应当对数学问题的破题思路和解题方法有所了解和认识，这不仅因为数学的发展为人类文明积累了大量宝贵的科学思想和科学方 法，需要学生去学习和掌握，更重要的是为学生将来能独立地开展科 学探究、创新活动奠定坚实的基础和所必须具有的思想与方法。因此本课程着眼于：把“学生所求的、把学生所缺的、把学生所急的” 数学好东西尽可能以通俗易懂、深入浅出的方式传授给学生；引领学生拓宽数学知识视野，渗透常用数学思想方法，加深对数学本质的认识；培养学生的应用意识、创新意识、协作意识和良好的思维品质与 科学态度；感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，让学生学得兴致，学有所成。 二、具体目标 具体目标表现为以下几个方面： 1．知识与技能 学习和掌握高中数学知识基底，完成高中知识与大学知识的衔 接。深刻理解数学的有关概念，掌握数学相关规律。掌握数学的科学 思想和科学方法，初步能应用数学的思想和方法来分析数学问题和解决数学问题。 2．过程与方法 经历学习过程，懂得如何进行科学探究的活动；体会数学的科学思想和科学研究方法；学会如何分析数学情景，学会如何进行建模， 熟练掌握分析问题和解决问题的常规和典型的方法与技巧。 3．情感态度及价值观 通过对数学思想和方法的学习，培养学生热爱数学、关注数学的 发展和数学为社会的发展所带来的巨大贡献，树立热爱科学、崇尚科学的科学观和人生观。 三、课程内容 本课程以高中数学与大学数学衔接点为抓手，充分注意到现有高中数学教材的课程简介：通常定位于那些核心类、支撑性知识。选修 课程中的基础性内容是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的。提高性内容则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的.拓展性内容则是对数学有兴趣和希望进一步提高数学 素养的学生而设置的。对于数学探究、数学思想方法、数学建模、数 学文化则是贯穿于整个选修数学课程的重要内容，这些内容不单独设置。 数学文化选修课心得 第一次上选修课选科目的时候我就选了“数学文化”，因为当我看到这个名字时，我觉得学到一 些数学的周边知识对我的学习与生活可能还是有点用的，所以我报了名。 “数学文化”这门课给我们介绍了很多数学的知识，包括数学的历史、数学的发展等等，我们国 家是一个数学大国，也是一个数学古国，早在2000多年前，我们的祖先就有“周三经一”的思 想，也就是今天人们讲的圆周率π，而西方国家到了17世纪才有这样的概念，陈景润关于“哥 德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震惊。实际上，我们每一个人，天天都在跟数字打交道。一 个人不识字完全可以生活，但是若不识数，就很难生活了，现代科技进步，对数学的要求越来 越高，所以我觉得“数学文化”这门课程为我们剖析“数学”这门神秘而又与我们息息相关的科 学，对我们来说是获益匪浅的。 听讲了几次课后，我觉得我收获蛮多，在老师的带领下，我们在数学的王国里漫游着，学习着，就像参观景点一般浏览了数学世界的奥秘，第一堂课的时候，老师就给我们讲了数学的历史：数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概 是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。除了 认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类亦了解了如何去数抽象物质的数量，如时间－日、 季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。 到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生 使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中， 微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和 数理逻辑等也开始慢慢发展。 除了数学的历史以外，老师还给我们点评了数学史上的一些重大事件，如三次数学危机，这三 次数学危机每一次都是数学探索者们在进行对数学这门学科的探索时产生的问题，每次出现了 数学危机后，数学家们都努力地对其进行探究，通过各种各样的方法把这些问题解决。那节课 让我了解到数学的世界是时时刻刻都会有矛盾的世界，研究数学就是在研究把这些矛盾解决掉 或者用正当的理论把矛盾解释清楚的方法。 在这门课上我还第一次真正了解了欧式几何、非欧几何等数学分支以及它们诞生的意义和对人 类文明的深刻影响等等很多关于数学的知识，让我第一次了解到在我们这个世界上，任何事物 并不一定就像我们平时所看到的那样，三角形的内角和在某种情况下可能小于180°，也可能大 课程名称：《妙趣数学魅力无限》 前言 数学是打开知识大门的钥匙，是整个科学的基础知识。创新教学的先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。我们选取的都是从学生生活实践中取材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价值观的目标。 数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。 课程纲要 课程目标： 1、通过学习趣味数学题目，培养学生对数学的兴趣。 2．开拓学生的知识面，开阔学生的数学视野。 3．通过利用数学知识进行数学社会实践活动，增强学生的动手能力。 4、课堂上围绕“趣”字，把数学知识容于活动中，使学生在好奇中，在追求答案的过程中提高自己的观察能力，想象能力，分析能力和逻 辑推理能力。力求体现我们的智慧秘诀：“做数学，玩数学，学数学”。课程内容： 1、结合教材，精选数学的教学内容，以适应社会发展和进一步学习的需要。力求题材内容生活化，形式多样化，解题思路方程化，教学活动实践化。 2、围绕数学快乐游戏、数学图形剪拼、数学智力竞赛等开展学习。 3、教学内容形式力求生动活泼，符合学生年龄特点，赋予启发性，趣味性和全面性，扩大学生的学习数学的积极性。 教学原则与方法： 1、实践性、趣味性、主体性原则。让学生体会到数学除了严谨性以外，还有很多的趣味性，让学生从中体会到数学的乐趣。 2、面向全体与关注个别差异相结合。教学中，面向学生全体开展各种活动，同时根据学生个性特点，指导他们选择不同的练习内容。课程评价： 1、教学过程中，教师对学生的参与态度、活动表现等情况及时评价，评价采取生生互评、小组点评、教师评价等多样化的方式进行。 2、学习成果展示评价。 课程目录 第一课时参观森林公园 第二课时快乐运算 第三课时迷惑人的数学故事 第四课时七巧板的来历 第五课时莫比乌斯带 第六课时平移和旋转 浅谈个人选修《数学欣赏》感想 浅印象里提起数学一词，对于我个人来说，数学就是一堆堆死板无活力的公式，像是一个个严肃的战士，需要各种证明来计算我们课本或者卷纸上的问题。幼稚园时候，数学就是数数，简单的计算，简单到用手指头就能计算出结果；小学时候，数学就是不停的计算鸡鸭鹅狗笼子里多少只脚的问题；初中时候，问题变得多元化，但是从此开始了更没有什么趣味的代数和几何，不停的计算来证明，得分。唯一的一点趣味也无了踪影；高中时候，数学变成了高数，每天脑子里的正余弦定理，一切依旧没了趣味；大学时候，学的依旧叫高数，只是名字由高中数学变成了高等数学，依旧对数学提不起兴趣。无意中选修了这门选修课，却让我收获了另一种看法，一改以往的印象，其实数学是需要欣赏的，数学有它自己的文化和趣味，并不是一门枯燥反反复复的计算。 关于数学我这样理解：数学，用公式的话来解释它就是研究数量.结构.变化及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用。由计数.计算.量度和对物体形状及运动的现象中产生。数学家们拓展这些概念，为了公事新的猜想以及从何时选定的公式及定义中建立起严谨推导出的真理。 虽然说，数学存在着各种逻辑与抽象的问题，但是，这些都掩盖不住数学的没，数学的美不在于表面，而在于它的内在，数学的表面枯燥乏味，但是它的内在却是充满了乐趣。数学的美吸引了许许多多的人们来探索，人们喜欢数学，探索数学，其实就是被数学的美吸引。爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。欧拉给出的公式：v－ｅ＋ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数ｖ、棱数ｅ、面数ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？ 数学的发展无须社会的推动，其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特(L.A.White)的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因(M.Kline)的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学:确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文色彩。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学与文化》，汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值，特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化效应。以上的著作以及许多的论文，都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值。 课上我们看了个视频，名字记不住了，但是确实很吸引我们，让我们感受到数学确实很重要，我们在不断的实践，无论哪个国家。这是人类的探索。 我们国家是一个数学大国，也是一个数学古国，早在2000多年前，我们的祖先就有“周三经一”的思想，也就是今天人们讲的圆周率π，而西方国家到了17世纪才有这样的概念，陈景润关于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震惊。实际上，我们每一个人，天天都在跟数字打交道。一个人不识字完全可以生活，但是若不识数，就很难生活了，现代科技进步，对数学的要求越来越高，所以我觉得“数学文化”这门课程为我们剖析“数学”这门神秘而又与我们息息相关的科学，对我们来说是获益匪浅的。听讲了几次课后，我觉得我收获蛮多，在老师的带领下，我们在数学的王国里漫游着，学习着，就像参观景点一般浏览了数学世界的 专题12 高中课程标准中的数学史选修课与数学文化 我们为什么关注这样一个话题？新的高中数学课程标准设置了数学史选修课和数学文化模块。作为数学教师的基本素养。国际趋势。数学史融入数学课程；数学教育与人文教育的结合，数学教育的人文价值。当今数学教育研究中的热点问题。 第一部分高中数学史选讲及其相关问题 一、对高中数学史选修课的基本看法 高中数学史选修课应该主要是一门数学课，而不是历史课。它的目标和重点应该在很大程度上围绕高中数学课程的目标和重点，同时兼顾义务教育阶段已经涉及的一些重要数学内容。在知识性问题上不应要求过高，重在突出数学思想方法，突出启发性和引导性，激发学生的兴趣和思考。 由于只有18课时，不可能系统讲授。又由于这门选修课是为在数学方面具有一定实力和足够兴趣的学生开设的，因此在内容选取上要精心考虑。教材要有足够的引导性和相当程度的开放性。为使课程有适当的容量，适当的扩展阅读是非常必要的。 我设想了两种模式：讲授为主的模式，引导为主的模式。无论哪种模式，它们都一方面对教师的数学专业素养和数学史素养提出了较高的要求，另一方面也对配套的课程资源提出了要求，如教师参考用书，学生课外读物，电子音像资料，多媒体教学课件等。 数学史与数学文化的结合应该是必要的，而且几乎是必然的。对此，课程标准在教学要求和选题上已经有明确的考虑，例如，“数学文化”模块中有一半左右的推荐选题与数学史有直接关系。 二、课程标准中的相关内容 系列3、系列4说明（数学史选讲属于系列3） 系列3，系列4所涉及的内容都是基础性的数学内容，不仅应鼓励那些希望在理工、经济等方面发展的学生积极选修，同时也应鼓励那些希望在人文、社会科学方面发展的学生选修这些课程。 这些专题的学习有利于学生的终身发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识。 数学史选讲，内容与要求 通过生动、丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。 完成一个学习总结报告。对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告。 本专题由若干个选题组成，内容应反映数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法，选题的个数以不少于6个为宜。以下专题可供选择。1．早期算术与几何——计数与测量 纸草书中记录的数学(古代埃及)。 泥板书中记录的数学(两河流域)。 中国《周髀算经》，勾股定理（赵爽的图）。 十进位值制的发展。 本专题需要具备的基本数学史知识与能力：对古代埃及、巴比伦、中国、印度一般历史和数学史的基本了解。阅读古汉语的基本能力。如何看待古代数学中的叙述方式？一般结论还是 趣味数学校本课程实施方案 一、指导思想： 1、认真贯彻《基础教育课程改革纲要》的精神，确立现代教育观、课程观、质量观，利用课程分级管理的体制，优化课程结构，充分发挥教育资源的功能，促进学生的发展，努力创建符合新课标精神并具有我们学校特色的应用性数学校本课程。 2．促使学生个性潜能的充分发挥，促进学生的个性全面和谐的发展，以促进学生全面的、主动的、有个性地可持续发展为指导思想。利用社会资源、学校资源和家庭资源，开发校本课程，使学校形成办学特色。探索校本课程开发的程序，校本课程的教学模式、评价体系。体现“一切为了学生，一切为了学生的发展”的课程改革方针，落实课程改革的总体目标，提升学生的人文素养，培养学生的实践能力和创新精神。 3．校本课程是由学校自主开发的课程，由学生自愿参加，以学生活动为主，与必修课程一起构成学校课程体系。但它与必修课程在内容、要求的深广程度和活动形式等方面又不尽相同。校本课程更突出学生的自主性、自愿性和灵活性。它对培养学生的个性特长、创新思维和实践能力，培养学生分析和解决问题的能力，团结协作的能力、社会活动能力，具有十分重要的意义。我校根据：一切为了学生、为了学生一切、为了一切学生的办学宗旨，在“创造适合每个学生发展的课程”的目标指导下，致力于建构适应学校特点、适合学生成长的校本课程。 4．学校课程的开发不以编写教材为目的，学校课程的开发和实施是以师生共同参与、共同开发、共同生成为基本特征的。 二、设置依据 1、政策依据，《基础教育课程改革纲要》是我们目前开设校本课程的主要依据。 2、学校以“一切以学生的发展服务”作为学校今后发展的办学主导思想和追求，让每一个个体都具有开阔的胸怀与视野、全面的素质与富有个性发展的特长，真正体现了作为学校主人的教师与学生在学校教育哲学上的认同。 3、通过问卷和座谈会等多种形式，获取校本课程的设计与编制方面的信息并诊断这些信息，总结经验。几乎所有的学生都对学校开设校本课程表现出极大的兴趣，而尊重学生的个体差异，满足学生不同的学习兴趣需求，最大程度地确立学生的主体地位，促进学生主动地富有个性地学习，需要通过为学生提供丰富多彩的校本课程来保障。 4、评估学校的课程资源，我校有多媒体教室，为开展科技校本课程提供了完善设备。 三．校本课程的教学原则。 校本课程与其他课程一样．都是由学生全员参加的学校教育活动，在遵循一般教学原则的同时，还要考虑到其自身的特点和规律。应注意以下原则： 数学文化研究文献综述 段灿松曲靖2013 年5月25日星期六 “数学是一种文化”的新观点起于20 世纪60 年代，是美国学者怀尔德 ( R.Wilder ，1896-1982 )在他的数学著作《作为文化系统的数学》中最早提出来的, 怀尔德从文化生成和发展的理论等方面提出了数学文化的概念及有关理论体系，他的数学文化观是长时间以来出现的第一个比较成熟的数学哲学观。 国内最早关注数学文化的是北京大学的孙小礼教授，1992 年，她与邓东皋、张祖贵合编了《数学与文化》一书，书中精选了一批国内外著名的数学家以及研究数学的哲学家的文章，从各个侧面来说明数学在整个文化中的地位。该书提出：“数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不过是它微不足道的方面，它们远不能代表数学, 就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。数学在形成现代生活和思想中起重要作用” ，“数学一直是形成现代文化的主要力量” ，[1]他们都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，充分揭示数学文化的内涵，肯定数学文化存在的价值。自从邓东皋等编著的《数学与文化》出版以来，相关人士开始从文化的角度关注数学及其文化价值，开始对数学与文化的关系进行深刻思考, 并且有越来越多的人投身于研究之中。 齐民友著的《数学与文化》一书探讨了数学与文化的关系，从数学和文化的起源谈起，直至它们的演变和进化，用诸多的事例，说明数学对人类文化的影响不仅显示在现代科学技术方面，更重要的是它表现了一种理性的探索精神，该书还特别指出：“一个没有现代数学的文化是注定要衰落的。” [2]王宪昌等出版的专著《数学文化学》，强调并指出数学文化是“数学共同体”产生的文化效应，数学文化并非是自生自灭的封闭系统，而是一个开放的系统。[3]院士王梓坤在《今日数学及其应用》一文中总结了数学的四个作用，数学对全体人民的科学思维与文化素质的哺育就是其中的一个作用，他指出:“数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括。[4] 近几年来，我国从事数学文化教育研究的人越来越多，许多文章、书籍相继面世。如郑毓信的《数学的文化价值何在、何为—语文课反照下的数学教学》，张顺燕的《数学教育与数学文化》，王新民、马崛兴在《新课程中“数学文化”的涵义诊释》等 【高中数学校本课程】 数学文化 目录 总体规划…………………………………………………………课程实施…………………………………………………………第一节有趣的数学谜语………………………………………第二节鸡兔同笼问题…………………………………………第三节九宫图的应用…………………………………………第四节大衍求一术……………………………………………第五节让梨游戏………………………………………………第六节幻方与魔阵……………………………………………第七节数学中的简单逻辑推理问题…………………………第八节欺骗眼睛的几何问题…………………………………第九节抽屉原理的简单应用…………………………………第十节帕斯卡三角形与道路问题…………………………第十一节数独……………………………………………… 第二部分课程实施 实施对象：高二学生 实施时间：校本选修课2 实施步骤： 分四步：1）自行研读，思考 2）合作探究、推理 3）老师指导、解答 4）创新运用、提高 实施计划： 拟在高二实施，共需18课时。高二年级每周2课时。 课时安排： 第一节有趣的数学谜语………………………………………2课时 第二节鸡兔同笼问题…………………………………………1课时 第三节九宫图的应用…………………………………………1课时 第四节大衍求一术……………………………………………2课时 第五节让梨游戏………………………………………………1课时 第六节幻方与魔阵……………………………………………2课时 第七节数学中的简单逻辑推理问题…………………………1课时 第八节欺骗眼睛的几何问题…………………………………2课时 第九节抽屉原理的简单应用…………………………………2课时 第十节帕斯卡三角形与道路问题……………………………1课时 第十一节数独………………………………………………2课时 体会与反思………………………………………………………1课时 评价与考核 本课程采用考核与考试相结合的评价方式。 作业：结合课本知识及相关内容，以作业形式，考查学生的解决问题的能力，以了解学 数学是打开知识大 门的钥匙，是整个科学的 基础知识。创新教学的先 行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。我们选取的都是从学生生活实践中取材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价值观的目标。 数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。选题要尊重学生的实际、学生的 探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。 一、课程目标： 以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成功，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。 二、课程内容与活动安排： 让学生体会数学史可发生在我们的周围，我们的生活空间是无穷的数学世界，在课堂上多设情景，应用数学解 决问题，让他们充分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣，在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识，从而培养学生良好的学习习惯，观察事物的能力，形成正确的人生观、价值观。 数学校本课程总的内容： 一、目标： 以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成功，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。 一、课程介绍： 1、生活中的数学 以体会数学与人、自然的关系为切入点，使学生感触学习数学的价值，增强学习数学和应用数学的信心，培养学生 学习“数学文化”的心得体会 在上学期我学习了“数学史”，这学期我又选修了“数学文化”，主要是我比较喜欢文化，想更多的了解一些关于数学文化上的知识，增加自己的一些知识和见解。 当时在选课的时候我看到我们系上开了一门选修课“数学文化”，我就好不犹豫的选了这门课，我觉得学习更多关于我们周边的数学文化和数学知识对我还是非常有用的， “数学文化”给我们介绍了一些经典的数学知识，很清楚的记得其中就有一个问题是微软公司招聘经理的一个题目，是关于5个海盗分100枚金币的事情，题目是：“加勒比海有5个海盗，分别为老大、老二、老三、老四、老五，有一次他们得了100枚金币，现在要来分这100枚金币，前提条件是老大先提出分配方案，如果有一半以上的人同意，就按这个分配方案进行分配，否则就杀掉老大，再由老二提出分配方案，如果有一半以上的人同意，就按这个分配方案进行分配，否则就杀掉老二，再由老三提出分配方案，如果有一半以上的人同意，就按这个分配方案进行分配，否则就杀掉老三，再由老四提出分配方案，如果有一半以上的人同意，就按这个分配方案进行分配，否则就杀掉老四，如果你是老大，应该怎样提出分配方案？”那么要解决这个问题就一定要有一个好的思路和方法，既然是人就要考虑是要钱还是要命，如果你要钱不要命，那么要再多的钱也没有用，如果不要钱只要命这也不符合实际，所以说就应该是要命的前提下来得到更多的钱。首先我们就假设我们是其中的一个海盗，让自己身临其境的想一想此时这个海盗的心里想法，既然是老大现提出分配方案就应该想一想其余的四个此时的心里想法，那样才能够有胜算，不然自己就丢了命。从这个例子中让我了解到数学问题与我们的实际生活是息息相关的，任何一个问题脱离实际生活太多都没有什么研究的意义。 下一个就是给我们讲解“博弈”的知识，博弈跟我们所学的概率统计是有联系的，我们的概率统计就是从赌博当中产生的一门新的数学学科，其中有一句重要的话就是：“在赌博当中，第十一次的输赢跟前十次没有一点关系”，就是说前十次都输了第十一次不一定会输，第十一次的输赢跟前面的根本就没有关系。概率统计是一门模糊的数学，不像其他的数学学科的出身那么的好，结果是那么的准确，概率统计出生于赌博，而它的结果也是模糊的。 一些经典的数学问题都在数学文化中有了身影，前面就是两个明显的例子。 老师的讲解使我了解了数学，并让我看到了数学的美丽和壮观，让我对数学—这门把一切食物抽象化的科学产生了更浓厚的兴趣。作为一名数学专业的学生，我会努力的去学习数学这门课程，并去学习数学家们坚持不懈、开拓进取的精神。 姓名：学号： 数学课程标准中的10个核心概念 通过整理新课标中关于数学标准，发现在其中提出的10个核心概念非常具有指导性。也就是：数感.符号意识.空间观念.几何直观.数据分析观念.运算能力.推理能力.模型思想.应用意识和创新意识。一．数感。数感是一种感悟，是对数量、对数量关系结果估计的感悟；学习数学是要会去思考问题，一个本质的问题就是要建立数学思想，而数学思想一个核心就是抽象，而对数的抽象认识，又是最基本的。 二．符号意识。新课标把符号感修改为符号意识，符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。关于符号意识，注意到它在用词上，标准的修改稿和实验稿有一个区别，原来是叫符号感，现在把它称为叫符号意识。因为符号感更多的是感知，是一个最基本的层次。而符号意识对学生理解要求更高一些。在标准里边它是这样来表述的，符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。就是用符号来表示，表示什么，表示数，数量关系和变化规律，这是一层意思。还有一层意思，就是知道使用符号可以进行运算和推理，另外可以获得一个结论，获得结论具有一般性。所以标准上，大概用分号隔开是两层意思，一个是会表示，另外一个进行分开进行推理，得到一般性的结论。符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和数学思考的重要形式。 三．空间观念。空间观念是培养学生初步的创新精神和实践能力需要的基本要素。空间观念表现为对现实世界里的物体的形状、大小、位置、变化及相互关系的理解与把握。空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形， 由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。空间观念主要是指根据物体特征，抽象出的几何图形，根据几何图形想象出所描写实物，想象出实物的方位和它们的相互位置关系，描述图形的运动和变化，根据语言的描述，画出图形等等。 四.几何直观。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 五．数据分析观念。数据分析的观念是指：了解在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。《标准》将“统计观念”更名为“数据分析观念”，点明了统计的核心是数据分析。进一步，“数据分析观念”更加突出了统计与概率独特的思维方法：体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。体会数据中蕴含着信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。一方面对于同样的事物，每次收到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就可以从中发现规律，数据分析是统计的核心。 六．运算能力。《标准》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。是学生学习数学的一个重要标志，学运算的目的是要解决一些问题，所以仅仅停留在运算的巧和快，可能误导了对运算的理解。运算能力是指能够根据法则和运算进行正确的运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算，寻求合理、简洁的运算途径解决问题。运算始终是中小学教学里边非常重要的组成部分，对数的认识，数的运算，一直都占很大的篇幅，另外也是学生学习数学的一个重要的标志。 七．推理能力。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的主要形式。推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎 一年级趣味数学社团活动计划 一、指导思想： 展示数学的神奇智慧和艺术般的魅力，激发学生的数学兴趣和探索求知的欲望，在不知不觉中将学生引入奇妙的数学世界之中。 二、活动目标： 通过活动，激发学生学习数学的兴趣和积极性，提高他们的学习质量，拓宽他们的思维，培养正确的数学学习方法。 三、实施措施： 1、认真备课，选择适合一年级学生年龄特征的内容展开教学活动，数学性与趣味性相结合。 2、多采取游戏式的教学，引导学生乐于参与数学学习活动。 3、通过多种形式的动手实践活动，让学生体验数学学习的乐趣。 4、结合学生的生活实际选择适合的教学内容，让学生走进生活学数学。 四、活动内容及安排： 活动一：数字小儿歌（1课时） 活动二：数字连线（1课时） 活动三：几与第几（1课时） 活动四：认识图形（2课时） 活动五：巧移小棒（1课时） 活动六：按规律填数（2课时） 活动七：按规律填图（1课时） 活动八：趣谈间隔（2课时） 活动九：移多补少（2课时） 活动十：单数和双数（1课时） 活动十一：活动总结，表彰优秀（1课时） 1.2 年级第 1 课时 教学内容： 数字小儿歌 教学目标：通过活动，激发学生学习数学的兴趣和积极性，提高他们的学习质量，拓宽他们的思维，培养正确的数学学习方法。 教学过程： 活动一：数字小儿歌 资料1：数字小儿歌《数青蛙》 一只青蛙一张嘴，二只眼睛四条腿，扑通一声跳下水。 二只青蛙二张嘴，四只眼睛八条腿，扑通、扑通跳下水。 三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿，扑通、扑通、扑通跳下水。 四只青蛙四张嘴，八只眼睛十六条腿，扑通、扑通、扑通、扑通跳下水。 五只青蛙五张嘴，十只眼睛二十条腿，扑通、扑通、扑通、扑通、扑通跳下水。 小朋友，你还能接着数再数下去吗？ 资料2：数字小儿歌《数字歌》： 我说一，一一一，一张纸来一只笔，学习数学做练习，都要用到纸和笔。 我说二，二二二，身上长着多少二，左右右边数一数，眼睛、手脚和耳朵。 我说三，三三三，鲜红领巾胸前戴，三个角，三条边，我们人人都喜爱。 我说四，四四四，眼前一张长桌子，四个角，四条边，用它读书和写字。 我说五，五五五，五角星，亮晶晶，国旗上有五颗星，我是那颗小星星。 我说六，六六六，六一节啊真快乐，唱歌跳舞做游戏，祖国花朵真幸福。 我说七，七七七，一个星期有七天，星期天，不上学，做个妈妈的好帮手。 我说八，八八八，慰问军属老大妈，你扫地，我擦窗，大妈对我笑哈哈。 我说九，九九九，九月十日教师节，尊敬老师有礼貌，人人夸我好宝宝。 我说十，十十十，两只手上有手指，十个手指用处大，学习雷锋做好事。 《数学课程标准》考核试卷参考答案 一、填空（每空 1 分，共 30 分） 1、数学是研究（数量关系）和（空间形式）的科学。 2、(数学)是人类文化的重要组成部分，（数学素养）是现代社会每一个公民所必备的基本素养。 3、数学课程能使学生掌握必备的(基础知识和基本技能)，培养学生的（抽象思维和推理能力），培养学生的（创新意识和实践能力），促进学生在(情感、态度与价值观)等方面的发展。 4、数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，面向全体学生，适应学生个体发展的需要，使得：（人人都能获得良好的数学教育），（不同的人在数学上得到不同的发展。） 5、《数学课程标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识技能、（数学思考）、（问题解决）和情感态度四方面具体阐述。力求通过数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）。体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用（数学的思维方式）进行思考，增强（发现和提出问题）的能力、（分析和解决问题）的能力。 6、教学活动是师生（积极参与）、（交往互动）、共同发展的过程。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现（“以人为本”）的理念，促进学生的全面发展。 7、《数学课程标准》中所说的“数学的基本思想”主要指：数学（抽象）的思想、数学（推理）的思想、数学建模的思想。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。 8、创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己（发现和提出问题）是创新的基础；（独立思考、学会思考）是创新的核心；归纳概括得到（猜想和规律），并加以验证，是创新的重要方法。 9、统计与概率主要研究现实生活中的（数据分析）和客观世界中的（随机现象）。 10、数学教学过程中恰当的使用（数学课程资源），将在很大程度上提高学生从事数学活动的水平和教师从事教学活动的质量。 11、学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的（过程和结果），激励学生学习和改进教师教学。在实施评价时，可以对部分学生采取（延迟评价）的方式，提供再次评价的机会，使他们看到自己的进步，树立学好数学的信心。第二学段可以采用（描述性）评价和（等级评价）评价相结合的方式。 12、“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的（知识与方法）解决实际问题，培养学生的（问题）意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。 一、填空 1、新课程的“三维”课程目标是指（知识与技能），（过程与方法）、（情感态度与价值观）。数学文化选修课论文
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