2019-2020学年宁夏银川一中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年宁夏银川一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则集合A∪B的元素个数是（）A．8B．7C．6D．5
2．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）3．（5分）函数y＝的定义域是（）
A．[1，+∞）B．C．D．
4．（5分）下列函数中，是偶函数的是（）
A．y＝x3B．y＝2|x|C．y＝﹣lgx D．y＝e x﹣e﹣x 5．（5分）若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0，则加上下列哪个条件可确定f（x）有唯一零点
（）
A．f（3）＜0
B．f（﹣1）＞0
C．函数在定义域内为增函数
D．函数在定义域内为减函数
6．（5分）若0＜x＜1，则之间的大小关系为（）A．B．
C．D．
7．（5分）函数的单调递增区间为（）
A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）8．（5分）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为（）
A．3 000×1.06×7元B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元D．3 000×1.068元
9．（5分）函数f（x）＝log2x+x﹣10的零点所在区间为（）
A．（0，7）B．（6，8）C．（8，10）D．（9，+∞）10．（5分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）
A．B．
C．D．
11．（5分）函数的最大值是（）
A．B．C．D．
12．（5分）设函数，若f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷中的横线上．13．（5分）若a＞0，a≠1，则函数y＝a x﹣1+2的图象一定过点．
14．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（x）＝．
15．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣log23）＝．
16．（5分）已知函数，且对任意的x1，x2∈R，x1≠x2时，都有，则a的取值范围是．
三、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣7）≤0}．（1）A∪B，（?U A）∩（?U B）；
（2）若集合C＝{x|x＞a}，A?C，求a的取值范围．
18．（12分）计算：
（1）；
（2）．
19．（12分）已知函数f（x）＝，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若f（a）＝f（b）＝，求a+b的值．
20．（12分）已知函数f（x）＝2x﹣
（1）判断函数的奇偶性
（2）用单调性的定义证明函数f（x）＝2x﹣在（0，+∞）上单调递增．
21．（12分）已知函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．
（1）求函数的定义域；
（2）若f（x）＝lg（1+x），求x的值；
（3）求证：当a，b∈（﹣1，1）时，f（a）+f（b）＝f（）．
22．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数，其中g（x）为指数函数，且y＝g（x）的图象过定点（2，9）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）＝a有解，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2kt）+f（﹣2t2﹣4）＞0恒成立，求实数k的取
值范围．
2019-2020学年宁夏银川一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则集合A∪B的元素个数是（）A．8B．7C．6D．5
【分析】在解答时可以先根据集合A、B先求的A∪B，再数出A∪B中的元素个数利用元素个数为n时，子集个数为2n个的结得答案．
【解答】解：∵A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，
∴A∪B中元素的个数为6，
故选：C．
【点评】本题考查了并集以及运算，此题比较容易，是送分题．
2．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，
则M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
3．（5分）函数y＝的定义域是（）
A．[1，+∞）B．C．D．
【分析】结合根式成立的条件进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则3x﹣2≥0得x≥，
即函数的定义域为[，+∞），
故选：B．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合根式成立的条件建立不等式关系是解决
本题的关键．比较基础．
4．（5分）下列函数中，是偶函数的是（）
A．y＝x3B．y＝2|x|C．y＝﹣lgx D．y＝e x﹣e﹣x
【分析】根据函数奇偶性的定义判断每个选项的函数的奇偶性即可．
【解答】解：y＝x3和y＝e x﹣e﹣x都是奇函数，y＝﹣lgx是非奇非偶函数，y＝2|x|是偶函数．
故选：B．
【点评】本题考查了奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义及判断，考查了推理能力，属于基础题．
5．（5分）若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0，则加上下列哪个条件可确定f（x）有唯一零点
（）
A．f（3）＜0
B．f（﹣1）＞0
C．函数在定义域内为增函数
D．函数在定义域内为减函数
【分析】A，B可用反例说明是错误的．C函数不会是增函数，条件自相矛盾，C错．D结合减函数定义可知正确．
【解答】解：A如图，A错
B如图，B错
Cf（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0则函数不会是增函数．C错
D由已知，函数在（12）内有一个零点，函数在定义域内为减函数，则零点唯一．D对故选：D．
【点评】本题考查函数零点存在性定理及其应用．属于基础题．
6．（5分）若0＜x＜1，则之间的大小关系为（）A．B．
C．D．
【分析】考察幂函数y＝x n（0＜n＜1），利用幂函数的性质，可以得出
之间的大小关系．
【解答】解：由题意考察幂函数y＝x n（0＜n＜1），
利用幂函数的性质，
∵0＜n＜1，∴幂函数y＝x n在第一象限是增函数，
又2＞＞0.2
∴
故选：D．
【点评】本题考查大小的比较，求解本题的关键是根据幂函数的性质，利用单调性比较大小．
7．（5分）函数的单调递增区间为（）
A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【分析】本题是一个复合函数，外层是一个递减的对数函数故求出函数的定义域以及内层函数的单调区间，依据复合函数的单调性判断规则做出判断求出内层函数的增区间即为复合函数的递增区间，从而找出正确选项即可．
【解答】解：由题意，此复合函数，外层是一个递减的对数函数
令t＝x2﹣3x+2＞0解得x＞2或x＜1
由二次函数的性质知，t在（﹣∞，1）是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间（﹣∞，1）
故选：A．
【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，此题外层是一对数函数，故要先解
出函数的定义域，在定义域上研究函数的单调区间，这是本题易失分点，切记！8．（5分）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为（）
A．3 000×1.06×7元B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元D．3 000×1.068元
【分析】根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，
【解答】解：随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，
预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，
设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，
依题意有y＝3 000×1.06x，
因为2014年年底到2021年年底经过了7年，
故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067．
2021年年底该地区的农民人均年收入为3 000×1.067元．
故选：B．
【点评】本题考查2021年年底该地区的农民人均年收入的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）函数f（x）＝log2x+x﹣10的零点所在区间为（）
A．（0，7）B．（6，8）C．（8，10）D．（9，+∞）
【分析】要判断函数f（x）＝log2x+x﹣10的零点位置，我们可以根据零点存在定理，依次判断区间的两个端点对应的函数值，然后根据连续函数在区间（a，b）上零点，则f （a）与f（b）异号进行判断．
【解答】解：∵f（6）＝log2 6+6﹣10＜0
f（8）＝log2 8+8﹣10＞0
故函数f（x）＝log2x+x﹣10的零点必落在区间（6，8）
故选：B．
【点评】本题查察的知识点是函数的零点，解答的关键是零点存在定理：即连续函数在区间（a，b）上有零点，则f（a）与f（b）异号．
10．（5分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，
经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．
【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，
当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，
对比四个选项的图象可得结果．
故选：A．
【点评】本题考查函数图象，还可以正面分析得出结论：圆柱液面上升速度是常量，则V （这里的V是漏斗中剩下液体的体积）与t成正比（一次项），根据圆锥体积公式V＝πr2h，可以得出H＝at2+bt中，a为正数，另外，t与r成反比，可以得出H＝at^2+bt 中，b为正数．所以选择A．
11．（5分）函数的最大值是（）
A．B．C．D．
【分析】利用配方法求出1﹣x（1﹣x）的范围，取倒数得答案．
【解答】解：∵1﹣x（1﹣x）＝，
∴∈（0，]．
∴函数的最大值是．
故选：A．
【点评】本题考查函数的最值及其意义，训练了利用配方法求函数的值域，是基础题．12．（5分）设函数，若f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】求出f（x）的解析式，作出f（x）与y＝x的函数图象，根据图象的交点个数判断方程f（x）＝x的解的个数．
【解答】解：∵f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，
∴f（x）在（﹣∞，0）上的对称轴为x＝﹣2，最小值为﹣2，
∴，解得b＝4，c＝2．
∴f（x）＝，
作出f（x）的函数图象如图所示：
由图象可知f（x）与直线y＝x有三个交点，
∴方程f（x）＝x有三个解．
故选：C．
【点评】本题考查了方程解与函数图象的关系，属于中档题．
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷中的横线上．13．（5分）若a＞0，a≠1，则函数y＝a x﹣1+2的图象一定过点（1，3）；．【分析】利用指数函数过定点的性质进行判断．
【解答】解：方法1：平移法
∵y＝a x过定点（0，1），
∴将函数y＝a x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝a x﹣1+2，此时函数过定点（1，3），
方法2：解方程法
由x﹣1＝0，解得x＝1，
此时y＝1+2＝3，
即函数y＝a x﹣1+2的图象一定过点（1，3）．
故答案为：（1，3）
【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x的系数不为1，则用解方程的方法比较简单．
14．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（x）＝．【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式．
【解答】解：设幂函数的解析式为y＝x a，
∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），
∴＝2a，
解得a＝，
∴f（x）＝．
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法．
15．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣log23）＝﹣2．
【分析】根据奇函数的性质，结合指数恒等式进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，